Zusammenfassung
Während die Auszahlung der bisher ausführlich behandelten exotischen Optionen vom maximalen oder minimalen Aktienkurs während der Laufzeit der Option abhängt, ist bei Average Optionen das arithmetische Mittel aller Aktienkurse von Bedeutung.1 Wie bei Lookback Optionen kann dieses Mittel in der Auszahlungsfunktion der Option entweder an die Stelle des Ausübungspreises oder an die des Aktienkurses treten. Im ersten Fall handelt es sich um Average Rate und im zweiten um Average Strike Optionen.
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Literatur
Um die gesamten Kosten der Optionspositionen bereits zum Anfang des Jahres zu bestimmen, könnten die Average Rate Verkaufoptionen auch als Forward Start Average Rate Optionen bereits zum 1. Januar erworben werden. Der Käufer einer Forward Start Option bezahlt bereits heute eine Optionsprämie für eine Option, deren genaue Vertragsbedingungen erst zu einem späteren Zeitpunkt anhand des dann gültigen Aktienkurses bestimmt werden. Vgl. Ong(1996).
Verschiedene Zeitungsartikel haben Geschäfte in Allianz an beiden Frankfurter Börsen als Beispiel möglicher Kursmanipulationen von Aktien mit dem Ziel zusätzlicher Gewinne aus Aktienderivaten zitiert. Am 15. April 1997 wurden von einem Kreditinstitut innerhalb der letzen zwei Handelsminuten in IBIS der Frankfurter Wertpapierbörse so zahlreich Allianz Aktien verkauft, daß deren Kurswert innerhalb der ersten dieser beiden Minuten in mehreren Einzelschritten um insgesamt über 3% fiel und in der letzten Minute auch auf diesem niedrigen Niveau verblieb. Während der erste Kurs des folgenden Handelstages diesen kurzfristigen Einbruch nicht berücksichtigte und auf dem alten höheren Niveau lag, wurde der DTB-Settlementkurs am 15. April regelgerecht aus den Kursen der letzten Handelsminute berechnet und lag damit auf dem gedrückten Kursniveau. Durch Ausüben von an der DTB gehandelten Allianz Verkaufoptionen, die in Geld und nicht in Stück erfüllt werden, konnte das Allianz-Aktien verkaufende Kreditinstitut vom kurzfristig deutlich erhöhten inneren Wert seiner Optionen profitieren. Hätte sich der Settlementpreis demgegenüber als Mittel von Kursen einer längeren Zeitspanne bestimmt, wäre ein nur knapp zwei Minuten andauernder tieferer Kurs bei Berechnung des inneren Optionswertes kaum ins Gewicht gefallen. Vgl. z.B. Börsen-Zeitung vom 06.06.1997.
Vgl. z.B. die asiatischen Calls und Puts der DG Bank mit Fälligkeit September 1994.
Anders als bei arithmetischen Average Optionen ist bei geometrischen Average Optionen bereits J(t) und nicht erst J(t)/t das Mittel.
Ziel von Kemna, Vorst (1990) war ebenfalls die Bestimmung europäischer Average Rate Optionen mit arithmetischer Mittelwertbildung. Der Wert europäischer Average Rate Optionen mit geometrischer Mittelwertbildung wurde von ihnen nur im Rahmen der Control Variate Technik beim Einsatz der Monte Carlo Methode verwandt.
Die Monte Carlo Werte basieren auf 100.000 Simulationsläufe mit einer Unterteilung der restlichen Laufzeit (T-t) in 100 Schritte. Als Methode zur Reduktion der Varianz wurde die Antithetic Variable Technik angewandt. Der betriebene Rechenaufwand ist damit etwas höher als der bei Hull, White (1993).
Zur Bestimmung der beiden Grenzen eines 95%-Konfidenzintervalle wird der Monte Carlo Wert um jeweils 1,96 Standardabweichungen vermindert bzw. erhöht.
Vgl. Ingersoll (1987), S. 376 ff.
Der Quotient R kann nicht logarithmiert werden, da der Koeffizient der ersten Ableitung von W nach R kein Vielfaches von R ist.
Vgl. Wilmott, Dewynne, Howison (1993), S. 183.
An dieser Stelle rechtfertigt sich der zusätzlich Aufwand aus Kapitel 3, als die Matrixdekomposition für tri-diagonale Matrizen mit nicht konstanten Diagonalen durchgeführt wurde.
Eine zu (3.70), (3.71) oder (5.20) äquivalente Extrapolationsgleichung, die explizite Formeln für die Matrixdeterminanten enthält, wird hier nicht mehr gegeben. Wegen der Größe der Matrix wäre die Formel vergleichsweise komplex. Zudem beinhalten selbst einfache Spreadsheet Programme wie Excel eine Funktion zur Berechnung von Matrixdeterminanten.
Vgl. Merton (1973), S. 147
Die Differentialgleichung gilt streng genommen nur für europäische Average Rate Kaufoptionen. Bei europäischen Average Rate Kaufoptionen ist die gleiche Argumentation nicht möglich, da der Ausübungszeitpunkt der verkauften Option nicht bekannt ist. Wie in Abschnitt 5.3.3.1 über Lookback Rate Optionen kann jedoch auch hier gezeigt werden, daß die Ableitung in einem Intervall liegt, daß den eingetragenen Wert beinhaltet. Der Fehler, der aus dieser ungenauen Bestimmung der Ableitung für den gesuchten Optionswert folgt, ist vernachlässigbar gering.
Vgl. Hull (1997), S. 378 und Weßels (1992), S. 112.
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© 1998 Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden
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Schäfer, M. (1998). Average Optionen. In: Einsatz und Bewertung von Exotischen Optionen. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97770-0_6
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-97770-0_6
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