Zusammenfassung
Bevor in den folgenden Kapiteln die verschiedenen exotischen Optionen beschrieben und bewertet werden, soll in diesem Kapitel durch die Behandlung von Standard Optionen eine Grundlage gelegt werden. Dafür wird in diesem Absatz der zugrundeliegende Bewertungsrahmen beschrieben und die Optionsbewertungsdifferentialgleichung hergeleitet, bevor in den folgenden Abschnitten insgesamt fünf häufig verwandte analytische und numerische Lösungsmethoden vorgestellt werden.
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Literatur
Die Anzahl aber nicht der Gehalt der Annahmen unterscheidet sich sowohl von Black, Scholes (1973) als auch von Hull (1997), S. 235 f., oder Weßels (1992), S. 25, die Optionen im gleichen Rahmen bewerten. Der Grund hierfür ist zum einen die im folgenden näher erläuterte Einführung einer konstanten Dividendenrendite, zum anderen die in dieser Arbeit verwandte Bedingung eines perfekten Marktes, die mehrere Bedingungen anderer Arbeiten zusammenfaßt.
Für eine detaillierte Erklärung Brown’scher Bewegungen vgl. Dothan (1990), S. 164 ff.
Vgl.Weßels(1992),S. 126 ff.
Vgl. Hull (1997), S. 235 ff.
Für eine detaillierte Behandlung des Ito Lemmas vgl. Dothan (1990), S. 193 f.
An dieser Stelle unterscheidet sich das Vorgehen wegen der in dieser Arbeit angenommenen kontinuierlichen Dividendenrate von dem bei Hull (1997), S. 238.
Die Begriffe geschlossene und analytische Lösung werden in dieser Arbeit synonym genutzt.
Die Wärmeleitgleichung beschreibt den Fluß von Wärme in einem perfekt isolierten dünnen Stab. Zu ihrer Lösung wird neben der Anfangstemperatur des gesamten Stabes auch die Temperatur an beiden Rändern benötigt. Diese Informationen entsprechen den Randwertbedingungen der Option. Die Wärmeleitgleichung ist ausführlich bei Richtmyer, Morton (1967), S. 4 ff., behandelt.
Vgl. Wilmott, Dewynne, Howison (1995), S. 97 ff.
Vgl. Loistl (1996a), S. 187 ff.
Da dieser Lösungsansatz auf ein numerisches Verfahren aufbaut, erscheint seine Einordnung in den Kontext geschlossener Lösungen fragwürdig. Es muß jedoch angemerkt werden, daß auch die zuvor beschriebenen Formeln europäischer Optionen auf die numerische Bestimmung der Werte der Standardnormalverteilung angewiesen sind. Jede analytische Lösung ist deshalb letztendlich eine auf numerische Lösungen angewiesene Approximation.
Die geschlossene Bewertung von Compound Optionen ist in Geske (1979a) hergeleitet.
Geske (1979b) hat gezeigt, daß die direkte Bewertung dieser amerikanischen Optionen ohne Einsatz eines duplizierenden Portfolios möglich ist und zu einer einfacheren Formel führt. Auch dieser Ansatz ist auf die numerische Bestimmung des Aktienkurses angewiesen, ab dem Ausüben sinnvoll ist. Whaley (1981) hat auf Ungenauigkeiten in den Arbeiten von Roll und von Geske hingewiesen und diese korrigiert.
Geske, Johnson (1984) umgehen das Problem der positiven Ausübungswahrscheinlichkeit zu jedem Zeitpunkt, indem sie Verkaufoptionen bewerten, bei denen Ausübung nur zu bestimmten vorab definierten Zeitpunkten zulässig ist. Den Wert einer Option, die zu jedem Zeitpunkt ausgeübt werden kann, schätzen sie mittels Extrapolation aus mehreren zuvor bestimmten Optionswerten.
Zur Anwendung analytischer Approximationen bei der Bewertung exotischer Optionen vgl. Kapitel 6 über Average Optionen.
Simulationsrechnungen bei Barone-Adesi, Whaley (1987) bestätigen Ungenauigkeiten analytischer Approximationsmethoden für ausgewählte Parameterkonstellationen.
Die folgende Herleitung des Bewertungsalgorithmus von Optionen im Binomialmodell unterscheidet sich von der bei Cox, Ross und Rubinstein durch die in dieser Arbeit verwandte kontinuierliche Dividendenrendite.
Anders als im Binomialmodell, das lediglich zwei mögliche Kursentwicklungen des Basiswertes zuläßt, können im Trinomialmodell mit drei möglichen Kursentwicklungen nicht alle zukünftigen Zustände der Welt mit den zwei Wertpapieren Basiswert und risikolose Anleihe dupliziert werden. Das Trinomialmodell ist deswegen auch kein geschlossenes Bewertungsmodell sondern eine diskrete Approximationsmethode, die auf den risikofreien Bewertungsansatz von Cox, Ross (1976) aufbaut.
Zur Berechnung von Standardabweichung und Konfidenzintervall vergleiche Boyle (1977).
Chaplin (1993) hat zudem daraufhingewiesen, daß die von Computerprogrammen erzeugten Zufallszahlen das Ergebnis einer Berechnung sind, und deswegen nicht immer die gewünschte Verteilung besitzen.
Vergleiche Clewlow, Carverhill (1994), Curran (1994) und Moro (1995).
Boyle (1996) verweist hier auf zwei Working Paper von Broadie, Glasserman (1995) und Dennis, Rendleman (1995).
Der Schwerpunkt der Behandlung wird dabei auf ihrer praktischen Anwendbarkeit liegen. Für eine ausführliche Behandlung der theoretischen Grundlagen vgl. Marsal (1988).
Diese Anforderung kann für jede Standard Option problemlos erfüllt werden. Sie erhöht die Genauigkeit der Lösung und resultiert aus dem Knick der Auszahlungsfunktion im Ausübungspreis.
Interpolationen zur Bestimmung des Optionswertes sind bei zahlreichen Barrier Optionen notwendig und werden dort auch erklärt.
Merton (1973), S. 144 ff., hat gezeigt, daß amerikanische Kaufoptionen ohne Dividenden auf den Basiswert zu keinem Kurs ausgeübt werden. In geringem Umfang unterschätzt deshalb der in Tabelle 3.1 eingetragene Wert den wahren Wert solch einer Option. Wilmott, Dewynne, Howison (1995), S. 84 f., haben aber ausgeführt, daß die Randlösungen sich nur vernachlässigbar auf den Optionswert auswirken, wenn die zugehörigen Randkurse weit genug vom betrachteten Kurs entfernt liegen. Ein aus dieser möglichen Unterschätzung des Optionswertes resultierender Fehler kann demnach vernachlässigt werden.
Der Satz von Taylor ist z.B. bei Chiang (1984), S. 256 f., näher erläutert.
Die Anforderungen an die Ableitungen von W nach L sind abhängig von der Länge der Taylorexpansion. Es gilt, daß alle in der Taylorexpansion auftretenden Ableitungen stetig sein müssen, und daß die auf die größte Ableitung folgende beschränkt sein muß. Zur Herleitung der Gleichung (3.27) müssend deswegen die ersten drei Ableitungen stetig und die vierte beschränkt sein. Vgl. hierzu und zur Anwendung des Satzes von Taylor Marsal(1989),S. 13 ff.
Für eine formale Definition der Stabilität vergleiche z.B. Marsal (1989), S. 18 ff. oder Stoer, Bulirsch (1996), S. 465 ff.
Vergleiche dazu Brennan, Schwartz (1978) und Hull, White (1990).
Eine detaillierte Herleitung der aus der Nichtnegativität von a E , b E und c E resultierenden Ungleichungen findet man bei Weßels (1992), S. 137 ff.
Die normalerweise durchgeführte Diskontierung des Erwartungswertes ist hier nicht notwendig da W bereits abgezinst ist.
Zur Stabilität der Impliziten Methode Finiter Differenzen vgl. Richtmyer, Morton (1967), S. 9 ff, Smith (1965), S. 55 ff., oder Marsal (1989), S. 18 ff.
Matrixdekomposition ist auch bei Matrizen möglich, die eine aufwendigere Struktur als Tridiagonalmatrizen besitzen. Sie gestaltet sich dann aber rechenintensiver. Zur Matrixdekomposition bei allgemeinen Matrizen vergleiche Stoer, Bulirsch (1996), S. 198 ff.
Matrizen dieser Form werden im Kapitel über Average Optionen benötigt.
Zur Herleitung der Gleichungen (3.59) bis (3.62) vgl. Wilmott, Dewynne, Howison (1993), S. 297 ff.
Die hier verwandte Definition von θ entspricht in den meisten Artikeln zur θ-Methode gerade (1 – θ). Grund hierfür ist, daß in den Ingenieurwissenschaften zumeist der Anfangszustand eines Systems bekannt und der Endzustand gesucht ist, während beim hier geschilderten Problem der Optionswert zum Ende der Laufzeit bestimmt werden kann und der aktuelle Wert gesucht wird.
Genauso stellt natürlich auch der Differenzenquotient aus (3.63) das mit θ gewichtete Mittel des in der Expliziten und Impliziten Methode verwandten identischen Differenzenquotienten dar.
Vergleiche Smith (1965), S. 60 ff., Richtmyer, Morton (1967), S. 189, Marsal (1989), S. 56 f.
Da nur Gitter berechnet wurden, bei denen der Ausübungspreis einer der untersuchten Aktienkurse ist, konnten zwischen M= 36 und M= 240 nur die 20 Vielfachen von 12 als Verfeinerungen gewählt werden.
Für eine detailliertere Beschreibung der Richardson Extrapolation vergleiche z.B. Bjorck, Dahlquist (1972), S. 5 ff.
Die analytischen Bewertungsformeln von Geske und Johnson arbeiten je nach Anzahl der zulässigen Ausübungszeitpunkte mit bi-, tri- oder mehrvariaten Normalverteilungen. Da diese immer aufwendiger numerisch berechnet werden müssen, beginnen sie ihre Folge mit einer Option, die zu keinem Zeitpunkt vorzeitig ausgeübt werden kann, also mit einer europäischen Option. Dies führt zu hohen Schrittlängen aller bestimmten Folgeglieder.
Der Korrelationskoeffizient gibt den Anteil der Streuung der erklärten Variable, der mittels linearer Regression durch die Streuung der erklärenden Variable begründet werden kann. Vgl. Schönfeld (1969), S. 46 f.
Zusätzlich wäre als sechster Hedgeparameter die Ableitung nach der Dividendenrendite q denkbar. Dieser Hedgeparameter wird in der Literatur nicht behandelt. In der Bestimmung ähnelt er Rho.
Für eine ausführliche Behandlung aller Hedgeparameter vgl. Hull (1997), S. 312 ff., oder Loistl (1996b), S. 380 ff.
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Schäfer, M. (1998). Die Bewertung von Standard Optionen. In: Einsatz und Bewertung von Exotischen Optionen. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97770-0_3
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