Zyklische und abelsche Gruppen (Gruppen und Zahlentheorie)

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wird die Struktur der endlichen zyklischen und abelschen Gruppen vollständig geklärt, wobei sich herausstellt, daß man die Analyse der endlichen abelschen Gruppen auf die der endlichen zyklischen Gruppen zurückführen kann. Die Analyse der zyklischen Gruppen wiederum geschieht im wesentlichen durch elementare zahlentheoretische Oberlegungen. Oberhaupt besteht ein enger Zusammenhang zwischen elementarer Zahlen- und Gruppentheorie, der sich vor allem auf die vier folgenden Phänomene gründet:

• 1.) Die Vervielfachung von Gruppenelementen, die das Rechnen in Gruppen teilweise auf das Rechnen in ℤ zurückspielt. (Siehe Abschnitt 1.4.2, 1.4.3)

• 2.) Der Satz von Lagrange, durch den die Teiler einer Gruppenordnung als die einzig möglichen Ordnungen von Untergruppen ausgezeichnet werden. (Siehe Abschnitt 3.1.2)

• 3.) Die Korrespondenz zwischen der Teilerbeziehung und der Untergruppenbeziehung in ℤ, die einerseits gruppentheoretische Beweise für Teilbarkeitsaussagen ermöglicht und andererseits zahlentheoretische Hilfsmittel zur Behandlung zyklischer Gruppen liefert. (Siehe Abschnitt 4.1)

• 4.) Die Idee der Primfaktorzerlegung, die weitgehend auf zyklische und abelsche Gruppen übertragbar ist. (Siehe Abschnitt 4.1.2, 4.3)