Zusammenfassung
Mit der neuen Modellformulierung zur Planung getakteter Variantenfließlinien aus Abschnitt 4.2.3 wurde eine Problembeschreibung entwickelt, die viele relevante Restriktionen, welche bei derartigen Entscheidungen Bedeutung haben, detailliert berücksichtigt und dadurch eine verbesserte theoretische Unterstützung bieten kann. Zudem ist das Modell in der Lage, auch Vielvariantenfälle weitaus effizienter abzubilden, wobei es mit Hilfe einer auszahlungsorientierten Bewertung erstmals möglich ist, den Aufwand des Aufbaus und des Betriebes eines derartigen Produktionssystems gleichzeitig zu berücksichtigen. Allerdings sind zu einer konstruktiven Nutzung dieser Formulierung noch effiziente Lösungsverfahren notwendig, die es einem Anwender erlauben, das KPFIAPA-Modell in einen -möglicherweise iterativen (siehe hierzu den Abschnitt 2.3.3)- Planungsprozeß zu integrieren. Daher werden in diesem Kapitel erste verteilte Verfahren zur Lösung des sehr komplexen KPFIAPA-Modells entwickelt, wobei deren Leistungsfähigkeit anhand von Testreihen auf Parallelrechnern und verteilten Netzwerken praktisch validiert wird. Im Vorfeld dieser Algorithmenkonstruktion erfolgt allerdings zunächst eine genauere theoretische Analyse der gegebenen Problemstellung.
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Referenzen
Vergleiche für eine ausführlichere Erklärung der hier aufgeführten Bedingungen die entsprechenden Ausführungen in Abschnitt 4.2.3.2.
Diese beiden Arbeitsgänge besitzen die Bearbeitungszeit C, wodurch die Besetzung einer eigenen Station unerläßlich wird.
Damit wird weiterhin lediglich eine Vorrangbeziehung codiert.
Dabei ist aufgrund der obigen Definition U(POSN+1, POS0) = 1.
Eine leere Station s ist eine Station mit BSS = 1 der kein Arbeitsgang zugeteilt ist
Ein Abstand von 0 im Abstandsgraph entspricht als Restriktion einer Kante im Vorranggraph.
Diese Beschränkung auf maximal N Stationen ist allerdings ohne Bedeutung für den folgenden Beweis der NP-Härte von DoSALBP-F. Damit ist DoSALBP-F-wie auch das Erfüllbarkeitsproblem des KPFIAPA-Modells-ebenfalls für eine beliebig wählbare Stationenanzahl NP-hart.
Diese so definierte Lösung läßt sich unmittelbar aus der in Abschnitt 4.1.2.1 für SALBP-F definierten Lösung S ableiten.
Dazu könnte beispielsweise die ebenfalls NP-haite Sprache 3-SAT (ein Beweis für die NP-Vollständigkeit von 3-SAT, der mit Hilfe einer einfachen Reduktion von SAT auf 3-SAT geführt wird, findet sich in [WEGE93] S.51f), bei der jede Klausel nur maximal drei Literale enthalten darf, auf das Erfüllbarkeitsproblem des KPFIAPA-Modells reduziert werden, wobei für jede der Klauseln innerhalb der gegebenen Formel ein eigener Arbeitsgang definiert wird, der für jede mögliche erfüllende Belegung (dies sind maximal 23 = 8 viele) der zugehörigen Klausel eine neue Verrichtungsart besitzt. Daraus ergeben sich zudem bestimmte Unvereinbarkeiten bei verschiedenen Verrichtungsarten, wodurch eine zulässige Lösung des KPFIAPA-Modells, bei der jeder Arbeitsgang eine Verrichtungsart erhalten muß, zu einer erfüllenden Belegung der Formel korrespondiert.
Im folgenden soll unter der Bezeichnung KPFIAPA-Modell die Formulierung verstanden werden, in der die Vereinfachungen aus Abschnitt 4.2.3.3 bereits integriert wurden. Ein Verweis auf die ursprüngliche Formulierung wird demgegenüber durch eine nähere Beschreibung explizit deutlich gemacht werden.
Um sich diese Folgerung zu verdeutlichen, nehme man an, daß das Erfüllbarkeitsproblem des KPFIAPA-Modells nicht aus NP ist, aber dennoch ein derartiger Algorithmus zur Zulässigkeitsüberprüfung existiert. In diesem Fall könnte dann eine Lösung des Modells zunächst von einer nichtdeterministischen Turingmaschine in polynomieller Zeit “erraten” (also nichtdeterministisch berechnet) werden, wobei anschließend mit Hilfe dieses Verfahrens deterministisch geprüft wird, ob die erzeugte Lösung zulässig ist. Damit würde ein nichtdeterministischer polynomiell zeitbeschränkter Algorithmus vorliegen, wodurch das Erfüllbarkeitsproblem des KPFIAPA-Modells in NP ist, was aber aufgrund der getroffenen Annahme zu einem Widerspruch führt. Daher kann es einen solchen deterministischen Algorithmus in diesem Fall nicht geben.
Dieser verrichtungsartabhängige Kapitalwert wird aus den jeweils notwendigen Investitionsauszahlungen, den laufenden Auszahlungen und dem Restwert bestimmt, wodurch sich für die j-te Verrichtungsart des i-ten Arbeitsgangs der Wert IAVAi, j + LAVAi, j((1 + zins)T − 1)/(zins(1 + zins)T) − RWVAi, j(1 + zins)−T ergibt.
Dieser Fall trat innerhalb des Backtrackings bei den bisher betrachteten SALBP-Modellen sofort ein, da dort keine alternativen Verrichtungsarten für jeden Arbeitsgang vorlagen.
Dies wird dadurch realisiert, daß innerhalb einer Station Arbeitsgänge nicht mehr-wie bei SALBP-1 oder SALBP-2-ausschließlich in der Reihenfolge aufsteigender Numerierung zugewiesen werden.
Dies kann auch die Verrichtungsart Null sein, wenn es zu diesem Zeitpunkt noch eine anwendbare Verschmelzungsverrichtungsart gibt, an der der betrachtete Arbeitsgang beteiligt werden kann.
Diese Numerierung gibt allerdings-anders als bei der LLB-Technik-keinen Aufschluß über die Qualität der einzelnen Teillösungen.
Hierzu wird-wie beim Simulated Annealing-Verfahren aus Abschnitt 6.2.2.2.2-wiederum der Generator von Park und Miller (vgl. [PAMI89], [CART90] und [PAMS93]) eingesetzt.
Unter einer “einfachen” Verrichtungsart soll in diesem Zusammenhang eine Verrichtungsart verstanden werden, die lediglich die Ausführung eines Vorgangs beeinflußt und nicht mehrere Arbeitsgänge miteinander verschmelzt.
Hierbei wird vorausgesetzt, daß für jeden Arbeitsgang mindestens eine “Nichtverschmelzungsverrichtungsart” existiert.
Praktische Tests zeigten, daß die Übergangszeiten bereits bei kleinen Problembeispielen unvertretbar hoch wurden.
Dabei werden wiederum sämtliche Zufallszahlen durch den Generator von Park und Miller (vgl. [PAMI89], [CART90] und [PAMS93]) erzeugt.
Innerhalb der hier beschriebenen Verbesserungsverfahren werden leere und unbenutzte Stationen gleichbehandelt. Dabei wird eine aktuell unbenutzte Station durch die Zuweisung eines ersten Arbeitsganges in einem Übergang automatisch aktiviert, weshalb im folgenden nur noch der Begriff der leeren Station verwendet wird.
“Leere” Stationen können innerhalb eines Übergangs lediglich als Zielstationen einer Zugoperation dienen, wenn ein Arbeitsgang dorthin verschoben wird.
Vergleiche hierzu insbesondere die Abbildung 5.15.
Damit ergeben sich bei den verschiedenen hier eingesetzten Systemgrößen die folgenden Verteilungen der Prozessoren: Während im sequentiellen Fall lediglich ein Pfad durch den einzigen Prozessor verfolgt werden kann, werden bei vier Netzwerkknoten zwei unabhängige Berechnungen durch jeweils ein Prozessorenpaar entwickelt. Gibt es dagegen 8 oder 16 Rechner im Netzwerk werden von jeweils vier Prozessoren insgesamt zwei bzw. vier Lösungspfade berechnet. Bei den größten Systemen, die mit 32 Prozessoren in den praktischen Tests eingesetzt werden, sind schließlich vier Gruppen mit 8 Netzwerkknoten zu bilden.
Allerdings ist die Gefahr gleicher Berechnungen von unterschiedlichen Prozessorengruppen im Falle des probabilistischen Tabu Search-Verfahrens wesentlich geringer geworden, da die einzelnen Übergänge für die verschiedenen Cluster aufgrund der zufälligen Aufteilung der Gesamtumgebungen ohnehin mit großer Wahrscheinlichkeit jeweils unterschiedlich ausfallen, wenn ein leistungsfähiger Zufallszahlengenerator verwendet wird.
Vgl. [PAMI89], [CART90] und [PAMS93].
Konkret äußert sich dies in erhöhten Werten, die für ds und dz eingesetzt werden.
Vergleiche zur Erklärung dieser Parameter den Abschnitt 7.2.2.2.
Dies sind zum Beispiel Konstanten, die festlegen, nach wie vielen nicht erfolgreichen Übergangsversuchen auch ein verschlechternder Zug durchgeführt werden kann.
Hierbei entspricht OPT im Falle des Workstation-Clusters dem ONE_PATH_TABU_SEARCH-Verfahren bei Einsatz der kleineren Umgebung.
Vergleiche hierzu insbesonders die allgemein formulierten tendenziellen Folgen der Wahl der Teilumgebungsgröße in der Tabelle 5.15.
So besitzen die hier eingesetzten Tabu Search-Verfahren eine mit steigender Problemgröße nur sehr moderat wachsende Teilumgebung, was den Einsatz dieser Techniken auch für extrem komplexe Instanzen möglich macht.
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Bock, S. (2000). Verfahren zum KPFIAPA-Modell. In: Modelle und verteilte Algorithmen zur Planung getakteter Fließlinien. Schriften zur quantitativen Betriebswirtschaftslehre. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-92330-1_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-92330-1_7
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag
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