Bereichsspezifische Strategien und dynamische Aspekte in der Analysis

Zusammenfassung

Bereichsspezifische Strategien sollen sich (gemäß Teil I, Abschnitt 2.3) für die Bearbeitung vieler verschiedenartiger Probleme eines Gebietes eignen. Eine der wesentlichsten Aufgaben der Analysis ist es, Grenzprozesse (im weitesten Sinne) zu untersuchen. Es wurde bei den Mathematisierungsbeispielen bereits deutlich, daß dabei die Approximation eine Grundidee darstellt: Zahlen, Funktionen und deren Graphen, geometrische Figuren und andere „Größen“, die im allgemeinen komplizierter oder zunächst gar unbekannt sind, werden durch einfachere, leichter zu handhabende oder besser zugängliche angenähert oder ersetzt. Approximation kann somit nicht allein durch algebraische oder Ordnungsbegriffe erklärt werden; man benötigt zusätzlich topologische Begriffe („Messen”). Nach Wittman (1972) kann Approximation „als verbindendes Element in der Analysis“ fungieren, und zwar in mehrfacher Hinsicht: einerseits ist ein strukturell einheitlicher Aufbau der Analysis damit möglich (Stetigkeit als konstante Approximation, Differenzierbarkeit als „lineare” Approximation, Taylorscher Satz als Iteration dieses Gedankens, weitere Generalisierbarkeit auf Funktionen mehrerer Variabler, Durchsichtigkeit und Vereinfachung von Beweisen), andererseits kommt der numerischen Mathematik dadurch mehr Bedeutung als bisher zu (vgl. Abschnitt 9.3). Zu unterscheiden ist lokale bzw. globale Approximation.