Zusammenfassung
Die Entropie und die Cross-Entropie werden im Rahmen der Messung von Informationen definiert. Die Entropie einer Verteilung ist ein Maß dafür, wie unsicher eine Verteilung ist: Je weniger Informationen über die Zukunft eine Verteilung enthält, desto größer ist ihre Entropie. Die Cross-Entropie ist ein Maß für den Unterschied zwischen zwei Verteilungen: Je mehr eine Verteilung Q sich von einer Verteilung P unterscheidet, desto größer ist die Cross-Entropie von Q gegenüber P.
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Literatur
Bei dieser Menge wird es sich später um die Menge ciller zulässigen äquivalenten Martingalmaße handeln, aus der genau eines auszuwählen ist.
Bei dieser Menge wird es sich später um die Menge der zulässigen und arbitragefreien stochastischen Diskontierungsfaktoren oder Arrow-Debreu-Preise handeln.
Vgl. Kapur, Kesavan (1992) [70] und Golan, Judge, Miller [40].
Vgl. hierzu z.B. Kapur, Kesavan (1992) [70].
Es wird deshalb teilweise vorgeschlagen, die Entropie zu normieren, um die Abhängigkeit von der Zahl der Zustände zu umgehen. Dabei kann man so vorgehen, daß die Entropie der Gleichverteilung jeweils Eins ist. Vgl. hierzu z.B. Kapur, Kesavan (1992) [70] und Golan, Judge, Miller (1996) [40].
Diese Eigenschaft ermöglicht eine rekursive Berechnung der Entropie. Vgl. Kapur, Kesavan (1992) [70] und Jaynes (1994) [69].
Vgl. Kapur, Kesavan (1992) [70] und Jaynes (1994) [69].
Vgl. zu den folgenden Ausführungen Jaynes (1994) [69] und Golan, Judge, Miller (1996) [40].
Vgl. Jaynes (1994) [69].
Eine weitere intuitive Begründung der Entropie ist bei Gulko (1999) [47] zu finden.
Vgl. hierzu und zu den folgenden Ausführungen z.B. Kapur, Kesavan (1992) [70] sowie Golan, Judge, Miller (1996) [40].
Vgl. Kullback, Leibler (1951) [74] und Stutzer (1996) [105].
Vgl. Kapitel 2.2.2
Vgl. beispielsweise Kapur, Kesavan (1992) [70].
Vgl. zur Definition einer Metrik beispielsweise Heuser (1988) [55]. Man sagt auch, daß die Cross-Entropie eine „directed divergence“ ist. Vgl. Kapur, Kesavan (1992) [70].
Für die Cross-Entropie läßt sich ähnlich wie für die Entropie zeigen, daß sie die Eigenschaften aufweist, die man intuitiv von einem solchen Maß erwarten würde. Vgl. hierzu Kapur, Kesavan (1992) [70].
Vgl. S. 117f.
Eine weitere intuitive Interpretation der Cross-Entropie ist bei Avellaneda et al. (1999) [4] zu finden
Woraus diese Informationen bestehen und in welcher Form sie gegeben sind, wird im folgenden noch dargestellt werden.
Ist eine zulässige Bewertungsfunktion zu bestimmen, die laut Definition 2.14 alle erreichbaren Zahlungen richtig bewertet, dann sind dies beispielsweise alle die signierten Martingalmaße zu einem bestimmten Numeraire, die diese zulässigen Bewertungsfunktionen darstellen. Ist eine zulässige und arbitragefreie Bewertungsfunktion zu bestimmen, dann sind dies alle die äquivalenten Martingalmaße zu einem bestimmten Numeraire, die diese Bewertungsfunktionen darstellen.
Kapur, Kesavan (1992) [70] sprechen hier von zwei Arten von Informationen. Die Informationen, die die Menge der zulässigen Verteilungen festlegen, müssen zwingend beachtet werden. So darf nur eine Verteilung ausgewählt werden, die mit diesen Informationen vereinbar ist. Die a-priori Verteilung stellt eine zusätzliche Information dar. Sie ist ein erster Schätzer für die Verteilung, der auf Intuition, Erfahrung oder auch auf einem theoretischen Modell beruhen kann. Von dieser a-priori Verteilung darf (und muß) man abweichen, wenn sie nicht zulässig ist.
In diesem Fall besteht die Aufgabenstellung darin, ausgehend von Momentenbedingungen eine Verteilung zu bestimmen. Vgl. Avellaneda (1998) [5].
Die Wahl des Normierungsfaktors und des zugehörigen Maßes wird später noch diskutiert werden. Zur Veranschaulichung der folgenden Herleitungen kann man als Normierungsfaktor den Money Market Account wählen. Das Maß Q ist dann das risikoneutrale Maß.
Golan, Judge, Miller (1996) [40] und Samperi (1999) [95] sprechen hier auch von einem „ill-posed problem“.
Jedes dieser Kriterien ist letztendlich subjektiv, da man den explizit gegebenen Informationen solange weitere Bedingungen hinzufügt, bis man eine eindeutige Verteilung erhält. Vgl. hierzu auch Avellaneda (1998) [5].
In der Terminologie von Kapitel 3.3.2 wird hier eine exakte Kalibration gefordert.
Vgl. S. 103.
Vgl. z.B. Jackwerth, Rubinstein (1996) [66].
Vgl. Buchen, Kelly (1996) [18].
Vgl. Grandits (1999) [43].
Vgl. z.B. Stutzer (1996) [105].
Vgl. S. 117f.
Die Gleichverteilung ist die Verteilung mit maximaler Entropie und damit tatsächlich die wahrscheinlichste Verteilung, so daß die Intuition in diesem Fall mit dem Kriterium der maximalen Entropie übereinstimmt.
Mittels dieser Argumentation rechtfertigen auch Buchen, Kelly (1996) [18] die Wahl der Verteilung mit der maximalen Entropie. Sie argumentieren, daß diese den am wenigsten verzerrten Schätzer darstellt. Auch Kapur, Kesavan (1992) [70] begründen so das Prinzip der maximalen Entropie.
Vgl. Kapur, Kesavan (1992) [70] und Golan, Judge, Miller [40].
Gulko (1997) [45], (1999) [47] argumentiert, daß hier eine Verbindung zur Informationseffizienz besteht. So ist nach seiner Aussage der Markt genau dann (schwach) informationseffizient, wenn die ausgewählte zulässige Verteilung der zukünftigen Preise die zulässige Verteilung mit der maximalen Entropie ist. Dies erscheint jedoch zweifelhaft. So ist die ausgewählte Verteilung mit maximaler Entropie ein Martingalmaß zum Numeraire Z. Sie hängt, wie in Kapitel 5.2.1 noch gezeigt werden wird, davon ab, welches Numeraire verwendet wird, und auch die durch sie dargestellte Bewertungsfunktion hängt vom verwendeten Numeraire ab. Diese Abhängigkeit vom Numeraire ist im Rahmen der Informationseffizienz nicht zu erklären.
Im Unterschied dazu kann es bei der Maximierung der Glätte der Verteilung Q durchaus der Fall sein, daß eine oder mehrere Wahrscheinlichkeiten identisch Null sind. In einem solchen Fall sind die Nichtnegativitätsbedingungen bindend. Jackwerth, Rubinstein (1996) [66] schlagen hier unter dem Begriff des „clamping-down“vor, die Wahrscheinlichkeiten für sehr große und sehr kleine Werte des Underlyings solange sukzessive gleich Null zu setzen, bis die Nichtnegativitätsbedingungen erfüllt sind.
Vgl. Kapur, Kesavan (1992) [70] und Golan, Judge, Miller (1996) [40].
Vgl. S. 119f.
Die Verteilung P ist auch die Verteilung mit der größten Wahrscheinlichkeit, so daß das Auswahlkriterium Cross-Entropie mit der Intuition übereinstimmt.
Mittels dieser Argumentation begründen bei Vorgabe einer a-priori Verteilung u.a. Buchen, Kelly (1996) [18] und Stutzer (1996) [105] die Wahl der Verteilung mit der minimalen Cross-Entropie. Auch Kapur, Kesavan (1992) [70] begründen so das Prinzip der minimalen Cross-Entropie.
Csiszár (1975) [27] bezeichnet das optimale Maß Q, das dieses Optimierungsproblem löst, als die Informationsprojektion von P in die Menge der durch die linearen Nebenbedingungen festgelegten zulässigen Maße.
Vgl. z.B. Kapur, Kesavan (1992) [70], Golan, Judge, Miller (1996) [40] oder Avellaneda (1998) [5].
Die Gültigkeit dieser Gleichung kann durch Einsetzen bewiesen werden. Sie ist auch zu finden bei Kapur, Kesavan (1992) [70].
Vgl. Kapitel 5.2.
Dies wird ausführlich dargestellt in Kapitel 2.3.2.
Die Erweiterungen bestehen an dieser Stelle darin, Entropiemaße auch für Zufallsvariablen zu definieren. Vgl. hierzu auch Kapur, Kesavan (1992) [70]. Es werden jedoch nicht weitere Entropie- und Cross-Entropie-Maße für Wahrscheinlichkeitsverteilungen neben der Shannon-Entropie und der Kullback-Leibler-Cross-Entropie betrachtet. Auch für diese sei auf Kapur, Kesavan (1992) [70] verwiesen.
Vgl. z.B. Samperi (1998) [94, S. 77].
Diese Wahrscheinlichkeitsmaße haben keine Verbindung zu den aus der arbitrageorientierten Bewertung bekannten künstlichen Verteilungen. Dort bezeichnet man mit diesem Begriff die äquivalenten Martingalwahrscheinlichkeiten.
Vgl. Kapur, Kesavan (1992) [70].
Die erweiterte Entropie ist mit der Lorenzordnung vereinbar. So folgt aus X ≤ L Y stets EH(X)≥ EH(Y). Die Definition der Lorenzordnung ist zu finden z.B. bei Arnold (1987) [2].
Kapur, Kesavan (1992) [70] betrachten ebenfalls das Problem, die erweiterte Entropie zu maximie-ren. Allerdings nehmen sie an, daß die Summe über alle Zufallsvariablen exogen vorgeben ist. Diese Annahme wird hier ausdrücklich nicht getroffen.
Alternativ könnte man das Problem mit Hilfe der Kuhn-Tucker-Bedingungen lösen.
Ein ähnliches Vorgehen ist zu finden bei Frittelli (2000) [37]. Auch er definiert ausgehend von einem stochastischen Diskontierungsfaktor auf diesem Weg ein künstliches Maß.
Kapur, Kesavan (1992) [70] definieren ebenfalls eine erweiterte Cross-Entropie. Sie verwenden als Maß P allerdings stets die Gleichverteilung.
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Branger, N. (2002). Das Konzept der Entropie. In: Bewertung nicht redundanter Finanzderivate mittels Entropie und Cross-Entropie. Gabler Edition Wissenschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-89658-2_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-89658-2_4
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
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