Zusammenfassung
Auch die ermittelten Preisbereitschaften der Vpn sollen nicht individuell, sondern gruppenbezogen ausgewertet werden.
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Hinweise
Darüber hinaus kann mit der Varianzanalyse eine Trennung der einzelnen systematischen Einflüsse voneinander erreicht werden.
Siehe unten: Multiple Mittelwertvergleiehe.
Kreyszig, Erwin: Statistische Methoden und ihre Anwendungen, Göttingen, 3. Aufl. 1968, S. 238.
Mittenecker, E.: a. a. O., S. 71 ff.
Hier werden mehrere systematische Einflüsse angenommen.
Außer den beiden Idealtypen gibt es eine Mischform.
Vgl. zum folgenden z.B.: Guenther, W. C.: Analysis of variance, Englewood Cliffs, N.J., 1964, S. 37 und 59f.; Ahrens, Heinz: Varianzanalyse, Berlin, Oxford, Braunschweig 1968, S. 41f.; Weber, Erna: Grundriß der biologischen Statistik, 6. Aufl., Stuttgart 1967, S. 229 ff.
Nach Ahrens stellt freilich jedes Modell streng genommen ein gemischtes dar, da das zu schätzende Gesamtmittel stets als feste Größe angesehen wird. Ahrens, H.: a. a. O., S. 41, Fußnote.
Beispiele siehe bei Ahrens, H.: a. a. O., S. 42 und Guenther, W. C: a.a.O., S. 59f.
Siehe z.B. Pfanzagl, Johann: Allgemeine Methodenlehre der Statistik, Bd. II, Berlin 1966, S. 223.
Vgl. Weber, E.: a. a. O., S. 239.
Eisenhart, Churchill: The assumptions underlying the analysis of variance, in: Biometrics, 3., 1947, S. 12f.
Linder, A.: Statistische Methoden, a. a. O., S. 109 f.
Nach Cochrans anschaulicher Umschreibung des Begriffs besteht die Validität eines Tests darin, daß bei einem Tafelwert für eine Signifikanzwahrscheinlichkeit von z. B. 0,023 die Wahrscheinlichkeit, den beobachteten oder einen noch extremeren Wert zu erhalten, tatsächlich bei oder nahe bei 0,023 liegt. (Cochran, W. G.: Some consequences when the assumptions for the analysis of variance are not satisfied, in: Biometrics, 3., 1947, S. 22.)
Cochran, W. G.: a. a. O., S. 24.
So schreibt Cochran: „ … my impression is that in practice the loss of efficiency is not often great.“ Cochran, W. G.: a. a. O., S. 25.
Für Schlüsse über Varianzkomponenten ist die Varianzanalyse weit weniger robust. Siehe Weiß, Hartmut: Planung, Durchführung und Auswertung balancierter Beobachtungsexperimente, Würzburg 1969, S. 89.
Siehe Weiß, H.: a. a. O., S. 90, und die dort zitierten empirischen Untersuchungen.
Während der F-Test bei Anwendung auf das Verhältnis zweier aus verschiedenen Stichproben stammender Varianzen sehr wenig robust gegenüber Abweichungen von der Normalverteilung ist, hängt er bei Anwendung auf die mittleren Quadrate einer Streuungszerlegung nicht so stark von der Verteilung ab. (Weber, E.: a. a. O., S. 244.)
Weber, E.: a. a. O., S. 244. Allerdings wird bei großen Abweichungen von N(μ, σ2) eine Transformation empfohlen.
Cochran, W. G.: a. a. O., S. 25.
Mittenecker, E.: a. a. O., S. 79.
Cochran, W. G.: a. a. O., S. 29.
M. S. Bartlett hat 1937 gezeigt, daß die Größe \(-\frac{1}{c}\sum_{j=1}^{k}f_jln\frac{s^2j}{s^2}, wobei c=1+\frac{1}{3(n-1)}\left ( \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{f_j}-\frac{1}{f}\right )\) angenähert wie x 2 verteilt ist mit (k-1) Freiheitsgraden (k bezeichnet die Zahl der Gruppen). Bezogen auf Briggsehe Logarithmen, wird zunächst berechnet. \(z{{0}^{2}} = 2,3026 \left[ {f \cdot \log {{s}^{2}} - \sum\limits_{{j = 1}}^{K} {{{f}_{j}} \cdot \log {{s}_{j}}^{2}} } \right] \) Ist x 2 nicht signifikant, so ist damit der Test abgeschlossen. Bei Signifikanz muß noch die Größe c errechnet und der für xo 2 gefundene Wert durch c dividiert werden. (Siehe Weber, E.: a. a. O., S.262ff.)
Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 230, und Weiß, H.: a. a. O., S. 90.
Für das Maß des Exzesses gilt dann γ2< 0.
Scheffé, Henry: The analysis of variance, New York — London, 1959, S. 362.
Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 230.
Siehe z.B. Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 156ff. und Siegel, Sidney: nonparametric statistics for the behavioral sciences, Tokio 1956, S. 184ff. Der Test stellt für den Fall von mehr als zwei unabhängigen Stichproben den effizientesten nichtparametrisehen Test dar.
Mittenecker, E.: a. a. O., S. 79 f.
Mittenecker, E.: a. a. O., S. 79.
Siehe Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 200, und die dort zitierten Untersuchungen.
Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 216 und 231.
Siehe Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 230f.
Siehe Cochran, W. G.: a. a. O., S. 29ff.
Siehe dazu vor allem Bartlett, M.S.: The use of transformations, in: Biometrics, 3., 1947, S. 39–52.
Cochran, W. G.: a. a. O., S. 28.
Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 231, und Weber, E.: a. a. O., S. 233.
Scheffé, H.: a. a. O., S. 362.
Bei multiplen Mittelwertvergleiehen, die im Anschluß an die Varianzanalyse durchgeführt werden, kann der Ungleichheit der Varianzen durch bestimmte Testverfahren, z. B. die Kramer-Methode, Rechnung getragen werden.
Zwei Ereignisse A, B heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von B nicht davon abhängt, ob A eintritt oder nicht, d. h. wenn gilt: P(B/A) = P(B/Ā).
Es genügt zu fordern, daß alle Kovarianzen zwischen den Zufallsvariablen xij gleich Null sind. In Verbindung mit Normalverteilung führt dies jedoch zu stochastischer Unabhängigkeit. (Siehe Eisenhart, Ch.: a. a. O., S. 14.)
Pfanzagl, J.: a. a. O., S. 225.
Bei jeder Befragung wurde in den Testinstruktionen besonderer Wert auf die Notwendigkeit gelegt, die Angaben unabhängig von den vorhergehenden Antworten zu machen.
Praktisch wird so vorgegangen: Jeder Vp ordnet der Zufallszahlengenerator genau eine Versuchsbedingung zu, die eine bestimmte Kombination der Faktoren „Zeitpunkt“ und „Marke“ charakterisiert. Ist die Besetzungszahl für diese Versuchsbedingung bereits erreicht — sie ergibt sich aus der Zahl der Vpn, dividiert durch die Zahl der Versuchsbedingungen-, so sucht der Zufallszahlengenerator solange, bis eine noch nicht aufgefüllte Zelle erreicht ist.
Linder, Arthur: Planen und Auswerten von Versuchen. Eine Einführung für Naturwissenschaftler, Mediziner und Ingenieure, 3. Aufl., Basel und Stuttgart 1969, S. 307ff.
Die εjki seien verteilt nach N(0, σ2), es gelte \(\sum_{j} \alpha j=0;\sum_{k} \beta k=0\)
Dabei wird der euklidische Abstandsbegriff zugrunde gelegt, der den Abstand zweier Punkte (x1, y1) und (x2, y2) im zweidimensionalen Raum definiert als \(D=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\). Hier liegt ein N-dimensionaler Raum vor.
Die Schätzungen der Parameter werden mit lateinischen Buchstaben bezeichnet. Tjk bezeichnet die Summe, Njk die Besetzungszahl einer Zelle, der Punkt steht für eine Summation.
Vgl. Scheffé, Henry: The analysis of variance, a. a. O., S. 66.
Siehe Linder, Arthur: Planen und Auswerten von Versuchen. Eine Einführung für Naturwissenschaftler, Mediziner und Ingenieure, 3. Aufl., Basel und Stuttgart 1969 a. a. O., S. 57ff.
Eine Ausnahme bildet der Fall, daß nur solche Mittelwertsvergleiche angestellt werden, über die a-priori-Hypothesen aufgestellt wurden.
Li, C. C.: Introduction to experimental statistics, New York — San Francisco — Toronto-London 1964, S. 423f.
Seeger, Paul: Variance analysis of complete designs. Some practical aspects, Stockholm — Uppsala 1966, S. 111.
Cochran, William G. und Gertrude M. Cox: Experimental designs, New York — London — Sydney, 2. Aufl. 1957, S. 73f.
Siehe auch Li, C. C: a. a. O., S. 424.
Cochran, W. G. und G. M. Cox, a. a. O., S. 74.
Seeger spricht vom multiplen t-Test nur, wenn eine Anzahl von t-Tests anstelle eines F-Tests durchgeführt wird, von der LSD-Methode (LSD = least significant difference) dagegen, wenn ein signifikanter F-Test vorausgeht. Seeger, P., a. a. O., S. 123.
Zur Darstellung der verteilungsunabhängigen Methoden siehe z. B. Seeger, P., a. a. O., S. 128ff.
Darstellungen siehe bei Li, C. C., a. a. O., S. 419ff. und Seeger, P., a. a. O., S. 127 f.
Wird nur ein Wert der Kontrollmessung gegenübergestellt, stimmen Dunnetts und Students t-Wert überein.
Ich stütze mich auf Newman, D.: The distribution of range in samples from a normal population, expressed in terms of an independent estimate of standard deviation. In: Biometrika 31 (1939), S. 20–30, und auf die Darstellungen bei Weber, Erna: a. a. O., S. 253 und Seeger, P., a. a. O., S. 125.
Das sind die Sicherheitswahrscheinlichkeiten beim Vergleich zweier rangmäßig nicht benachbarter Werte.
Sind j und i mit j>i die Ränge der oberen und unteren Grenze einer Variationsbreite, so gilt \(p=j-1+1\).
Es ist zu beachten, daß keine Variationsbreite als signifikant angesehen werden darf, die in einer nicht signifikanten enthalten ist.
Kramer, Clyde Young: Extension of multiple range tests to group means with unequal number of replications. In: Biometrics 12 (1956), S. 307–310.
Die Methode läuft also darauf hinaus, den Durchschnitt der Streuungen s2/nl und s2/n2 zu bilden. Nicht sy, sondern die Fehlervarianz wird verwendet.
Kramer, C. Y.: a. a. O., S. 309.
Duncan, David B.: Multiple range tests for correlated and heteroseedastic means. In: Biometrics, Vol. 13 (1957), S. 164.
Der Exponent gibt die Zahl der Freiheitsgrade zwischen den Stichprobenmittelwerten an.
Duncan, David B.: Multiple range and multiple F-tests. In: Biometrics 11 (1955), S. 14.
Vgl. die Schilderung bei Duncan, D. B.: a.a.O., S. 5f.
Die theoretische Hechtfertigung des Duncan-Tests ist in der Literatur umstritten. Die Erörterung dieser Frage würde jedoch im Rahmen dieser Arbeit zu weit führen. Siehe dazu z. B. Scheffé, H.: a. a. O., S. 78, Fußnote 16; Seeger, P.: a. a. O., S. 126; Weiß, Hartmut: a. a. O., S. 46.
Kramer, C. Y.: a. a. O., S. 307.
Duncan, D. B.: Multiple range tests for correlated and heteroseedastic means. In: Biometrics 13 (1957), S. 164–176.
Duncan, D. B.: a. a. O., S. 164.
Duncan, D. B.: a. a. O., S. 164.
Duncan, D. B.: a. a. O., S. 167f.
Für Tests mit ungleichen Besetzungszahlen ist das immer dann der Fall, wenn einer der extremen Mittelwerte auf weniger Beobachtungen basiert als einer der anderen Mittelwerte.
Bilden z. B. BDCA die (angepaßte) range der in ansteigender Größe geordneten Mittelwerte mit nB=2, nD=5, nC=4 und nA=3 und gilt BDCA ≯ R 4’ , so wird im nächsten Schritt die (angepaßte) Differenz (D–A)’ nicht mit R 3’ , sondern mit R 4’ verglichen.
Gilt z. B. für BDCA die Beziehung (D — A)’ > R 4’ , wird als nächstes BCA betrachtet.
Duncan gibt zur Abkürzung der Berechnungen folgende Regel an: Die für die einzelnen Behandlungen ermittelten Summen (die in manchen Fällen geeigneter sind als die Mittelwerte) werden mit dem kleinsten der Anpassungsfaktoren multipliziert. Dann wird zunächst der größte Wert R p’ von der größten so korrigierten Summe Smax subtrahiert. Alle korrigierten Summen, die kleiner als diese Differenz sind, werden als signifikant von Smax verschieden bezeichnet und können für die betreffende range aus der Betrachtung ausgeschlossen werden. Für die verbleibende Gruppe von Summen wird der Vorgang wiederholt, usw., bis keine Einengung der Gruppe mehr möglich 1st. Sodann wird nach der oben beschriebenen ausführlichen Methode weitergetestet. Siehe im einzelnen dazu Duncan, D. B.: a. a. O., S. 169ff.
Duncan, D. B.: a. a. O., S. 176.
Tukey, J. W.: Comparing individual means in the analysis of variance. In: Biometrics, 5., 1949, S. 99ff. Vgl. auch Guenther, William C: a.a.O., S. 54ff., Seeger, P.: a.a.O., S. 122 f., Weiß, H.: a. a O., S. 42 ff., Weber, E.: a. a. O., S. 258 ff.
N-k sind die Freiheitsgrade der Restvarianz.
Für diese ist er geeigneter als für komplizierte Kontraste (siehe unten).
Scheffé, H.: a. a. O., S. 67ff. Vgl. auch z.B. Li, C. C.: a.a.O., S. 426 f., Seeger, P.: a. a.O S. 121 f., Weiß, H.: a. a. O., S. 47 ff.
k ist die Zahl der Behandlungen, N die Gesamtzahl der Beobachtungen. cj sind bekannte Konstante, yj die beobachteten Mittelwerte, ψ die Schätzung des Kontrastes ψ der Populationsmittelwerte, \(\psi =\sum_{j=1}^{k}c_j\mu_j mit\sum_{j=1}^{k}c_j=0\), nj ist die Besetzungszahl der j-ten Klasse.
Scheffé, H.: a. a. O., S. 67.
Sie ist dem Werk von Weber, E., a. a. O., S. 254, entnommen.
Damit wachsen die kritischen Bereiche.
Weber, E.: a. a. O., S. 253 und 257.
Siehe Weber, E.: a. a. O., S. 261.
Weber, E.: a. a. O., S. 261.
Vgl. Scheffé, H.: a. a. O., S. 67 und 76.
Scheffé, H.: a. a. O., S. 77. Eine eingehende Besprechung der Vor-und Nachteile der hier besprochenen und anderer Methoden siehe bei Seeger, P.: a.a.O., S. 142ff.
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