Zusammenfassung
Seit der Gründung der Chicago Board Options Exchange (CBOE) am 26. April 1973 sind der Handel und damit auch die Bedeutung von Optionen weltweit gestiegen. Die Deutsche Terminbörse (DTB) in Frankfurt hat im Jahr 1990 mit dein Handel von Optionskontrakten begonnen, nach der Liberalisierung der rechtlichen Rahmenbedingungen für Finanztermingeschäfte in Deutschland. Zusammen mit der Swiss Options and Financial Futures AG (SOFFEX) präsentiert sie sich seit Mai 1998 unter dem gemeinsamen Namen Eurex. Parallel zum organisierten Börsenhandel haben sich auch außerbörsliche Over-the-counter-Märkte (OTC-Märkte) entwickelt, die sich durch die individuelle Gestaltungsmöglichkeit derivativer Verträge auszeichnen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Es ist auch möglich, das Ausübungsrecht an mehreren Zeitpunkten oder Zeitspannen einzuräumen. Verträge dieser Art werden als Mid-Atlantic- oder Bermuda-Optionen bezeichnet. Vgl. Hull (2003), S. 436. Sie gehören allerdings in diesem Kontext nicht mehr zur Klasse der Standardoptionen sondern zur Gattung der exotischen Optionen.
Vgl. Sandmann (2001), S. 55, Hull (2003), S. 435.
Pechtl (1995) definiert beispielsweise jede Option als exotisch, die sich nicht aus Linearkombinationen von Digital-Optionen konstruieren lässt. Er verwendet Digital-Optionen statt Standardoptionen als Basis und begründet das damit, dass sich jede konventionelle Option als unendliche Linearkombination dieser Verträge darstellen lässt. Vgl. dazu Pechtl (1996), S. 233 ff., bzw. Pechtl (1995), S. 71 f. Die Definition konnte sich jedoch in der Literatur nicht durchsetzen.
Vgl. Ong (1995), S. 10 ff., Das (1996), S. 1 ff., Eller (1996), S. 27 ff., Rodt/Schäfer (1996).
Vgl. Schäfer (1998), S. 6 ff.
Vgl. Schäfer (1998), S. 9 ff. Dessen Klassifizierung orientiert sich an Rodt/Schäfer (1996).
Vgl. Schäfer (1998), S. 13 f.
Vgl. z. B. Zhang (1997), Das (1996), Taleb (1997), Clewlow/Strickland (1997), DeRosa (1998), Jarrow/Turnbull (2000), Hull (2003), Korn/Korn (1999), Sandmann (2001), Wilmott (2000), Schäfer (1998) u.v.m.
Ist im Folgenden von einem stochastischen Prozess die Rede, so ist dieser stets in Zusammenhang mit der hier definierten Filtration zu betrachten. So definiert, wird diese auch als kanonisch oder natürlich bezeichnet. Vgl. Korn/Korn (1999), S. 15.
Generell lässt sich diese Annahme auch auf Zinsentwicklungen ausdehnen, die beliebigen stochastischen Prozessen gehorchen. Das eigentliche Prinzip der marktgerechten Optionsbewertung wird dadurch nicht beeinträchtigt.
Für die genaue Bestimmung der jeweiligen Forwardpreise vgl. Jarrow/Turnbull (2000), S. 37 ff., bzw. Hull (2003), S. 41 ff.
Vgl. Irle (1998), S. B. Eine exakte mathematische Definition von Arbitrage ist in Korn/Korn (1999), S. 97, nachzulesen.
Vgl. Irle (1998), S. 9.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass auch die Umkehrung dieser Aussage gültig ist. Der Beweis dieser Aquivalenz ist bei Irle (1998), S. 105 ff., nachzulesen.
Vgl. Harrison/Kreps (1979), S. 390. Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P und]ß auf dem gleichen Messraum (11, {.T}) werden als äquivalent bezeichnet, falls beide Maße auf ihren Nullmengen übereinstimmen, d.h. für alle Mengen AEF gilt: P(A)=0 a P(A)=0.
Da der Erwartungswert stets an der Filtration zum gegenwärtigen Zeitpunkt t bedingt wird, wird für eine einfachere Darstellung in der weiteren Arbeit darauf verzichtet. Zudem erfolgt die Notation des Optionspreises nur in Abhängigkeit von konkreten Vertragsspezifika, wie hier von der Restlaufzeit. Die Abhängigkeiten von weiteren Größen, wie vom Kurs bzw. Kursprozess des Underlying oder vom risikolosen Zins, sind allgemein charakteristisch für Optionen und werden deswegen nicht explizit in die Notation mit aufgenommen.
Eine formale Definition eines bedingten Anspruchs ist bei Korn/Korn (1999), S. 98, nachzulesen.
Eine genaue Definition von selbstfinanzierenden Handelsstrategien und Vollständigkeit ist bei Duffie (2001) oder Korn/Korn (1999), S. 69 bzw. S. 74 f., zu finden.
Für den Beweis vgl. Harrison/Pliska (1981).
Vgl. hierzu auch Carr et al. (2001).
Fßr einen Ansatz zur Optionsbewertung auf unvollständigen Märkten auf der Basis von erwarteter Nutzenmaximierung vgl. Carr (2001).
Auch als standardisierte Brownsche Bewegung bekannt, vgl. Neftci (2000), S. 176 ff. Fßr die Existenz der Brownschen Bewegung als stochastischer Prozess und deren explizite Eigenschaften sei auf Korn/Korn (1999), S. 14 ff., bzw. Bauer (2001), S. 403 if., verwiesen.
Auch als It6-Formel bekannt. Vgl. Korn/Korn (1999), S. 50 ff., Oksendal (2000), S. 43 ff.
Vgl. Black/Scholes (1973), Hull (2003), S. 242, Sandmann (2001), S. 267.
Vgl. Oksendal (2000), S. 153 ff.
Vgl. Irle (1998), S. 153.
Da im Folgenden auch Optionen auf mehrere Underlyings betrachtet werden, sei zusätzlich erwähnt, dass die Marktvollständigkeit auch für mehrdimensionale geometrische Brownsche Bewegungen erhalten bleibt. Vgl. Harrison/Pliska (1981), S. 242.
Vgl. Black/Scholes (1973).
Vgl. Sandmann (2001), S. 272.
Allgemein werden in dieser Arbeit in die funktionale Darstellung der betrachteten Optionspreisfunktionen nur solche Parameter aufgenommen, die direkt im Optionsvertrag spezifiziert werden. Die restlichen Parameter, die den Optionspreis beeinflussen, werden vom zugrunde liegenden Finanzmarkt vorgegeben und werden zur einfacheren Darstellung nicht explizit als Parameter angegeben. Damit soll deutlich werden, dass es sich dabei um konkrete Marktpreise von Optionen handelt. Ferner wird ausgenutzt, dass das Auszahlungsprofil bei Fälligkeit gerade dem Optionspreis bei Fälligkeit entspricht. Aus diesem Grund wird für die jeweilige Auszahlungsfunktion keine neue Notation eingeführt, sondern die Symbolik der Optionspreisfunktion bezogen auf den Fälligkeitstermin übernommen.
Vgl. Hartung et al. (1999), S. 151.
Die beiden Schreibweisen exp(x) und e“ für die Exponentialfunktion werden in dieser Arbeit parallel verwendet.
Im Gegensatz zur allgemeinen Notation für die funktionale Darstellung der Marktpreise von Optionen wird bei den Black/Scholes-Preisfunktionen noch zusätzlich die Volatilität des zugrunde liegenden Underlying als Parameter einbezogen. Zum einen, weil die Volatilität nicht direkt am betrachteten Finanzmarkt beobachtbar ist und zum anderen, da diese einen Zusammenhang zu den Marktpreisen von Optionen ermöglicht, wie später noch deutlich wird.
Eine detaillierte Berechnung ist beispielsweise bei Zhang (1997), S. 46, zu finden.
Vgl. Black/Scholes (1973), Wilmott et al. (1999), S. 76 if.
Vgl. Black (1976).
Als deutsches Synonym wird auch Schranken-oder Schwellenoption benutzt. Im Folgenden wird jedoch der populärere englische Begriff verwendet.
Vgl. Hudson (1991).
Vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 409.
Vgl. Sandmann (2001), S. 60 f.
Vgl. Pechtl (1996), S. 243.
Ist diese Bedingung nur für eine Teilperiode der Vertragslaufzeit gültig, spricht man in diesem Kontext von Partial-Barrier-Optionen. Vgl. Clewlow/Strickland (1997), S. 127 ff.
Vgl. Sandmann (2001), S. 59.
Neben den hier genannten Varianten von Barrier-Optionen lassen sich noch weitere Barrier-Verträge mit zusätzlichen Besonderheiten bezüglich ihrer Auszahlungsfunktion kreieren. Zhang (1997) fasst diese unter der Bezeichnung exotische Barrier-Optionen zusammen. Entsprechend werden die hier betrachteten normalen Barrier-Varianten als Vanilla-Barrier-Optionen bezeichnet. Vgl. Zhang (1997), S. 261 ff.
Die zugehörigen Barrier-Optionen werden auch mit Knock-In bzw. Knock-Out oder Drop-In bzw. Drop-Out bezeichnet.
Das Pendant dazu sind Barrier-Verträge mit in-the-money Kursschranken. Kursschranken, die mit dem Basispreis identisch sind, werden dabei den out-of-the-money Varianten zugeordnet.
Dies liegt daran, dass Barrier-Optionen mit in-the-money Kursschranke bei Erreichen dieser einen positiven inneren Wert besitzen und damit zu einem unstetigen Auszahlungsprofil bei Fälligkeit führen. Die Absicherung ist in solchen Konstellationen nur sehr schwer möglich, da ein so genanntes Pin-Risiko entsteht. Dies ist dadurch charakterisiert, dass das Delta an dieser Stelle mit abnehmender Restlaufzeit divergiert. Damit können bereits kleinste Veränderungen des Underlying gegen Laufzeitende überproportionale Veränderungen im Optionspreis hervorrufen. Neben dem Risikomanagement ist aber auch die Bewertung solcher Barrier-Optionen aufwändiger. Dies wird in Abschnitt 6.4.2 noch deutlich werden.
Eine detaillierte Herleitung ist bei Zhang (1997), S. 203 ff., bzw. Avellaneda/Laurence (2000), S. 142 ff., zu finden. Ebenso ist es auch wieder möglich, die partielle Differentialgleichung (2.11) mit der entsprechenden Auszahlungsfunktion als Randbedingung zu lösen. Ein solcher Ansatz wird bei Wilmott et al. (1999), S. 207 ff., beschrieben.
An dieser Stelle wird nur das Optionsvega bei noch aktiver Schrankenbedingung betrachtet. Berührt oder überquert das Underlying die Kursschranke, so erhält man gerade das Optionsvega einer europäischen Standardoption aus Gleichung (2.29). Weitere Sensitivitätskennzahlen einfacher Barrier-Optionen sind in Anhang A.2.3 zu finden.
Vgl. Zhang (1997), S. 250. Eine detaillierte Untersuchung des Vega von Barrier-Optionen ist auch bei Taleb (1997), S. 319 ff., zu finden.
Vgl. Yehudai/Kleinberg (1995), S. 261.
Vgl. Black (1975). Allgemein beziehen sich die Untersuchungen hierzu stets auf Standardoptionen.
Vgl. Jackwerth (1999), S. 66.
Weitere Möglichkeiten zur Validierung des Black/Scholes-Modells werden bei Galai (1983), S. 52 f., vorgestellt.
Die Berechnung der impliziten Volatilität erfolgt in der Praxis meist durch konventionelle Nullstellen-verfahren, da die Optionspreisfunktion nicht analytisch invertiert werden kann. Neben der allgemeinen Bisektionsmethode wird für eine effizientere Berechnung meist das Newton-Raphson-Verfahren bzw. eine Kombination beider verwendet, sofern es möglich ist, das Optionsvega geschlossen darzustellen. Vgl. Mayhew (1995).
Populäre Beispiele dafür sind konventionelle Digital-Optionen oder Barrier-Optionen mit in-the-money Kursschranke.
Zu den ersten Untersuchungen zählten die Arbeiten von Black (1975) und MacBeth/Merville (1979). Eine Zusammenfassung der Ergebnisse ist in Galai (1983) oder später auch bei Mayhew (1995) und Corrado/Su (1996) zu finden.
Vgl. beispielsweise die Untersuchung von Rubinstein (1994a).
Für eine ausführliche Untersuchung von impliziten Volatilitätsstrukturen in verschiedenen Marktsegmenten vgl. Tompkins (1999a).
Vgl. Wilmott (2000), S. 362.
Vgl. Black (1975), S. 64.
Vgl. Mayhew (1995), S. 14. Eine detaillierte Diskussion ßber mögliche Verletzungen der einzelnen Black/Scholes-Annahmen ist bei Wilmott (2000), S. 311 ff., zu finden.
Vgl. auch Wallmeier (2003), S. 62 f. Ist im Folgenden von Marktunvollkommenheiten die Rede, werden stets die Friktionen damit assoziiert, die in die später verwendeten impliziten Volatilitäten einfließen. Trotz des unterstellten friktionslosen Finanzmarktes werden diese Marktunvollkommenheiten in der Arbeit zugelassen.
Vgl. Bookstaber (1991), S. 135.
Vgl. auch Carr et al. (2001).
Vgl. Cont (1997), S. 22.
Vgl. Mayhew (1995), S. 14.
Verschiedene Kriterien zur Auswahl eines risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes in unvollständigen Märkten sind bei Bingham/Kiesel (1998), S. 229 ff., oder Korn/Korn (1999), S. 157 ff., nachzulesen.
Meist werden dazu die Preisnotierungen von Standardoptionen genutzt. Allerdings ist es auch möglich, in den Marktpreisen enthaltene Informationen anderer Optionskontrakte zu berücksichtigen.
Ein Überblick über implizite Preisprozesse mit deterministischer Volatilitätsentwicklung ist bei Skiadopoulos (1999), S. 2 ff., zu finden.
Neben den impliziten Preisprozessen auf Für eine detaillierte Beschreibung der Konstruktion des impliziten Ttinomialmodells sei auf den Originalartikel von Derman et al. (1996) verwiesen.
Ein Überblick über die verschiedenen Ansätze ist bei Skiadopoulos (1999), S. 14 ff., zu finden.
Vgl. Britten-Jones/Neuberger (2000), S. 848, Skiadopoulos (1999), S. 14.
Für eine genaue Beschreibung des Ansatzes vgl. Britten-Jones/Neuberger (2000).
Vgl. Jackwerth (1999), S. 77.
Vgl. Cont (1997), S. 21.
Diese resultieren meist aus negativen Wahrscheinlichkeiten, die bei der Kalibrierung eines impliziten Baumes in der Regel auftreten. Verschiedene Überschreibungsvorschriften beheben dieses Problem zwar, verursachen jedoch, dass der Preisprozess nicht mehr konsistent ist mit den Preisen der marktgehandelten Optionen, die zur Kalibrierung verwendet wurden. Damit ist die Martingaleigenschaft nicht mehr gegeben, was zu Arbitrageverletzungen führt.
Derman et al. (1995) und Reimer (1997) schlagen dazu ein Interpolationsverfahren vor, dass die Lage der Knoten im Baum entsprechend korrigiert.
Dies liegt daran, dass für die Bestimmung des Optionspreises die Information nicht ausreicht, die in jedem Knoten des Baums standardmäßig gespeichert wird, sondern auch unterschieden werden muss, welcher Kurspfad jeweils zu diesem Knoten geführt hat. Für einen effizienten Algorithmus vgl. Babbs (2000).
Auf diese Tatsache haben auch Britten-Jones/Neuberger (2000) hingewiesen, indem sie in einer einfach gehaltenen Simulation Barrier-Optionen mit unterschiedlichen stochastischen Volatilitätsprozessen bewertet haben und signifikante Preisunterschiede feststellen konnten.
Für eine Zusammenfassung verschiedener empirischer Untersuchungen vgl. Jackwerth(1999), S. 77 f. und Skiadopoulos (1999), S. 13 f.
Vgl. Bahra (1997), S. 22.
Rights and permissions
Copyright information
© 2004 Deutscher Universitäts-Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Brunner, B. (2004). Optionen und deren allgemeine Bewertung. In: Marktgerechte Bewertung von Optionen. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-81724-2_2
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-81724-2_2
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag
Print ISBN: 978-3-8244-8070-8
Online ISBN: 978-3-322-81724-2
eBook Packages: Springer Book Archive