Zusammenfassung
Ist die Funktion f (P) auf M ≺ R n definiert, so heißt sie in einem Punkt P 0 ≺ M stetig (relativ zu M), wenn entweder P 0 ein isolierter Punkt von M ist oder, falls P ≺ M′ ist, wenn f (P) → f (P 0) gilt für gegen P 0 über M konvergierende P. Ist f (P) auf M definiert und dort überall relativ zu M stetig, so heißt f (P) auf M gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein solches δ = δ (ε) > 0 gibt, daß |f (P) − f (Q)| ≦ ε gilt, sobald |PQ| ≦δ, P ≺ M, Q ≺ M. Eine Funktion f (P), die auf einer abgeschlossenen Menge M < R n relativ zu M stetig ist, ist dort gleichmäßig stetig (Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit) und gleichmäßig beschränkt. Die Wertmenge einer solchen Funktion auf M ist eine abgeschlossene Zahlenmenge, so daß f (P) auf M irgendwo einen größten Wert (Maximum) und irgendwo einen kleinsten Wert (Minimum) annimmt.
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Ostrowski, A. (1972). Stetigkeit von Funktionen auf Punktmengen. In: Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung. Mathematische Reihe, vol 38. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5527-3_5
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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Online ISBN: 978-3-0348-5527-3
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