Choix des bases

7.7 Résumé

La précision des méthodes de discrétisation dépend fondamentalement du choix des espaces de dimension finie choisis pour l’approximation. Dans ce chapitre nous avons étudié cet aspect en montrant qu’effectivement les espaces utilisés dans les codes de Chimie Quantique approchent bien la solution.

Dans un deuxième temps, nous avons aussi fait sentir dans le cas général, grâce à une analyse d’un problème plus simple, que le taux de convergence démontré n’est pas suffisant pour expliquer qu’avec si peu de degrés de liberté (dimension des espaces d’approximation) la solution numérique obtenue est très précise. Ceci nous amène à introduire le concept des méthodes de base réduite dont la portée dépasse les problèmes de Chimie Quantique et dont le développement est aussi beaucoup plus poussé dans des cadres plus simples.

Nous avons montré enfin que la solution numérique calculée par approximation variationnelle sur les espaces discrets est asymptotiquement aussi proche de la solution exacte que la meilleure approximation. La non linéarité du problème de Hartree-Fock rend cette analyse numérique non triviale. Faire ce qu’il y a de mieux n’est pas forcément, pour un calcul donné, faire suffisamment précis; c’est pourquoi, à côté de cette analyse a priori, l’analyse numérique actuelle ne peut se passer d’une analyse a posteriori qui permet d’établir, une fois le calcul fait, des barres d’erreur sur des quantités d’intérêt, du même type que ce qui peut exister pour des résultats expérimentaux. C’est ce que nous proposons donc dans la dernière partie de ce chapitre.