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David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper

Jahresber. Deutsche Math. Ver. 4 (1897), 175–546

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Abb. 1

Notes

  1. Hier ebenso wie weiter unten ersetzen wir Kummers Schreibweise \(\alpha\) kommentarlos durch das heute gebräuchliche \(\zeta\).

  2. Der Prager Satz ist eine Verallgemeinerung des Gaußschen Lemmas über die Multiplikativität des Inhalts von Polynomen; vgl. [69].

  3. And after the first year I went home with Hilbert’s Zahlbericht under my arm, and during the summer vacation I worked my way through it—without any previous knowledge of elementary number theory or Galois theory. These were the happiest months of my life, whose shine, across years burdened with our common share of doubt and failure, still comforts my soul.

  4. Hier und im Folgenden stammen Übersetzungen von mir.

  5. Many years later, Emmy did lash out about the Zahlbericht. […] Emmy at that time quoted Artin as having said that the Zahlbericht had delayed the proper advance of the subject by decades.

  6. One student, Hobby, worked on group theory, his thesis leading to the solution, by Golod and Shafarevich, of the class field tower problem.

  7. Ich danke Peter Ullrich für den Hinweis auf diese Stelle.

  8. When the Germans were planning to publish Hilbert’s collected papers and to present him with a set on the occasion of one of his later birthdays, they realized that they could not publish the papers in their original versions because they were full of errors, some of them quite serious. Thereupon they hired a young unemployed mathematician, Olga Taussky-Todd, to go over Hilbert’s papers and correct all the mistakes. Olga labored for three years; it turned out that all the mistakes could be corrected without any major changes in the statement of the theorems. There was one exception: a paper Hilbert wrote in his old age which could not be fixed. It was a purported proof of the continuum hypothesis; you will find it in a volume of the Mathematische Annalen of the early thirties.

  9. Auch in anderen europäischen Ländern wurden Schwarze und Indianer zum „Völkerschauen“ ausgestellt; die beiden Kinder Juri und Miranha, die Spix und Martius zu diesem Zweck nach München gebracht hatten, starben 1821 und 1822 bereits im Alter von 14 Jahren. Mehr dazu findet man in der von Anne Dreesbach verfassten Dissertation Gezähmte Wilde: Die Zurschaustellung „exotischer“ Menschen in Deutschland 1870–1940, Campus-Verlag 2005.

  10. Es gibt Ausnahmen: Quadratische Formen spielen heute nur noch eine Nebenrolle, und auch die analytischen Methoden, die zu Kroneckers Dichtesatz führen, werden nur selten in den üblichen Lehrbüchern behandelt; am nächsten kommen dem Zahlbericht wohl das Meisterwerk Heckes [32] und das jüngere Buch [24] von Fröhlich und Taylor.

  11. Hier sind Hasses Klassiker [31] zu nennen, von welchem demnächst eine englische Übersetzung durch Mikihito Hirabayashi erscheinen wird, sowie die Werke von S. Lang [62] und L. Washington [89].

  12. More than half of his famous Zahlbericht (viz., parts IV and V) is little more than an account of Kummer’s number-theoretical work, with inessential improvements […].

  13. In view of this, nothing is missing for the formulation of Hilbert’s reciprocity law, except the language and a clear perception of the relationship between “local” and “global” facts.

  14. Ce sont là quelques-unes des directions qu’on peut et qu’on doit songer à suivre afin de pénétrer dans le mystère des extensions non abéliennes ; il n’est pas impossible que nous touchions là à des principes d’une fécondité extraordinaire, et que le premier pas décisif une fois fait dans cette voie doive nous ouvrir l’accès à de vastes domaines dont nous soupçonnons à peine l’existence ; car jusqu’ici, pour amples que soient nos généralisations des résultats de Gauss, on ne peut dire que nous les ayons vraiment dépassés.

  15. il y a donc là, comme le signalait déja Artin, un point où faire porter l’attaque […] : puisque les moyens connus de l’arithmétique ne paraissent pas permettre de démontrer que les fonctions d’Artin sont des fonctions entières, on peut espérer qu’en le démontrant on aura ouvert une brèche qui permette d’entrer dans la place […].

  16. […] on peut dire que tout ce qui a été fait en arithmétique depuis Gauss jusqu’à ces dernières années consiste en variations sur la loi de réciprocité : on est pareti de celle de Gauss ; on aboutit, couronnement de tous les travaux de Kummer, Dedekind, Hilbert, à celle d’Artin, et c’est la même.

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Danksagung

Herrn Thomas Bartsch möchte ich für die Einladung danken, diesen Artikel zu schreiben, obwohl es mit [71, 81] bereits zwei Würdigungen des Zahlberichts gibt. Weiter bin ich ihm und einem Gutachter, sowie vor allem Norbert Schappacher für viele hilfreiche Hinweise zu großem Dank verpflichtet.

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  1. Mörikeweg 1, 73489, Jagstzell, Germany

    Franz Lemmermeyer

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  1. Franz Lemmermeyer
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120 Jahre Hilberts Zahlbericht.

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Lemmermeyer, F. David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 120, 41–79 (2018). https://doi.org/10.1365/s13291-017-0168-3

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