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Einführung in die Strömungsmechanik

  • Jürgen Zierep
  • Karl BühlerEmail author
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Zusammenfassung

Die Eigenschaften von Fluiden sind zur Beschreibung von Strömungsvorgängen mit den Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Energie notwendig. Für inkompressible Fluide wird die Grenze der Dichteänderung in Abhängigkeit der Machzahl angegeben. Die Rheologie behandelt die Fließeigenschaften der Fluide bei Deformationen in Strömungen. Die Viskosität tritt beim newtonschen Schubspannungsansatz auf. Das Verhalten von Druck und Dichte in der Hydro- und Aerostatik wird beschrieben.

Schlüsselwörter

Strömungsvorgänge Stoffeigenschaften Zustandsänderungen Gaskonstante Schallgeschwindigkeit Machzahl Viskosität Rheologie Hydrostatik Aerostatik 

1 Einführung in die Strömungsmechanik

1.1 Eigenschaften von Fluiden

Strömungsvorgänge werden allgemein durch die Geschwindigkeit w = (u, v, w), Druck p, Dichte ϱ und Temperatur T als Funktion von (x, y, z, t) beschrieben. Die Bestimmung dieser Größen geschieht mit den Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Energie sowie mit einer Zustandsgleichung für den thermodynamischen Zusammenhang zwischen p, ϱ und T des Strömungsmediums (Fluids). Vier ausgezeichnete Zustandsänderungen sind in Abb. 1 dargestellt. Welche Zustandsänderung eintritt, hängt von den Stoffeigenschaften und dem Verlauf der Strömung ab.
Abb. 1

Thermodynamische Zustandsänderungen in der (p, 1/ϱ)-Ebene

Dichte

Bei Gasen ist die Dichte ϱ = ϱ(p, T) von Druck und Temperatur abhängig. Für ideale Gase gilt die thermische Zustandsgleichung p = ϱRiT, wobei Ri die spezielle Gaskonstante des Stoffes i ist. Sind p0, ϱ0, T0 als Bezugswerte bekannt, so gilt der Zusammenhang
$$ \frac{\upvarrho}{\upvarrho_0}=\frac{p}{p_0}\cdot \frac{T_0}{T}. $$
(1)

Die Dichte ändert sich bei Gasen also proportional zum Druck und umgekehrt proportional zur Temperatur.

Für Luft gelten die Werte p0 = 1 bar, T0 = 273,16 K, ϱ0 = 1,275 kg/m3. Für die Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit folgt aus der Beziehung (Zierep und Bühler 2018, S. 83) der Zusammenhang
$$ \frac{\Delta \upvarrho}{\upvarrho}\approx \frac{M^2}{2}. $$
(2)
Die Mach-Zahl M = w/a ist der Quotient aus Strömungs- und Schallgeschwindigkeit eines Mediums. Nach der Beziehung (Zierep und Bühler 2018, S. 71) ergibt sich die Schallgeschwindigkeit in Luft zu a = 347 m/s bei T = 300 K. Damit folgt die relative Dichteänderung Δϱ/ϱ ≦ 0,01 für M ≦ 0,14 und w ≦ 49 m/s. Bei geringen Geschwindigkeiten können deshalb Strömungsvorgänge in Gasen als inkompressibel betrachtet werden. Bei Flüssigkeiten ist die Dichte nur wenig von der Temperatur abhängig und der Druckeinfluss ist vernachlässigbar klein. Es gilt damit
$$ \frac{\upvarrho}{\upvarrho_0}\approx \mathrm{const}. $$
(3)
Flüssigkeiten sind damit als inkompressibel zu betrachten. Inkompressible Strömungsvorgänge entsprechen in Abb. 1 einer isochoren Zustandsänderung. In der Tab. 1 sind Zahlenwerte für die Dichte von Luft und Wasser für verschiedene Temperaturen zusammengestellt (Schmidt 1963; Truckenbrodt 1980; Becker 1985; Becker und Bürger 1975).
Tab. 1

Stoffdaten für Luft und Wasser als Funktion der Temperatur beim Bezugsdruck p0 = 1 bar (Schmidt 1963; Truckenbrodt 1980)

Luft:

         

ϑ in °C

−20

0

20

40

60

80

100

200

500

ϱ in kg/m3

1,376

1,275

1,188

1,112

1,045

0,986

0,933

0,736

0,451

η in μPa · s

16,07

17,10

18,10

19,06

20,00

20,91

21,79

25,88

35,95

ν in mm2/s

11,68

13,41

15,23

17,14

19,13

21,20

23,35

35,16

79,80

Wasser:

ϑ in °C

0

10

20

 

40

60

80

90

ϱ in kg/m3

999,8

999,8

998,4

 

992,3

983,1

971,5

965,0

η in mPa · s

1,793

1,317

1,010

 

0,655

0,467

0,356

0,316

ν in mm2/s

1,793

1,317

1,012

 

0,660

0,475

0,366

0,328

Viskosität

Flüssigkeiten und Gase haben die Eigenschaft, dass bei Formänderungen durch Verschieben von Fluidelementen ein Widerstand zu überwinden ist. Die Reibungskraft durch die Schubspannungen zwischen den Fluidelementen ist nach Newton direkt proportional dem Geschwindigkeitsgradienten. Für die in Abb. 2 dargestellte ebene laminare Scherströmung ergibt sich mit der auf die Fläche A bezogenen Kraft F die Schubspannung
Abb. 2

Scherströmung im ebenen Spalt

$$ \tau =\frac{F}{A}=\eta \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=\eta \frac{U}{h}. $$
(4)
Der Proportionalitätsfaktor wird als dynamische Viskosität η bezeichnet. η ist stark von der Temperatur abhängig, während der Druckeinfluss vernachlässigbar gering ist, d. h., η(T, p) ≈ η(T). Als abgeleitete Stoffgröße ergibt sich die kinematische Viskosität
$$ \nu =\frac{\eta }{\upvarrho}. $$
(5)
Bei Gasen steigt die Viskosität mit der Temperatur an, während bei Flüssigkeiten die Viskosität mit steigender Temperatur abnimmt. Für diese Abhängigkeiten gelten formelmäßige Zusammenhänge (Truckenbrodt 1980). Für Gase gilt die Beziehung:
$$ \frac{\eta }{\eta_0}=\frac{T_0+{T}_{\mathrm{S}}}{T+{T}_{\mathrm{S}}}{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{3/2}\approx {\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{\omega }. $$
(6)
Die Bezugswerte für Luft bei p0 = 1 bar sind T0 = 273,16 K, η0 = 17,10 μPa ∙ s und TS = 122 K ist die Sutherland-Konstante. Für Flüssigkeiten gilt im Bereich 0 < ϑ < 100 °C die Beziehung
$$ \frac{\eta }{\eta_0}=\exp \left(\frac{T_{\mathrm{A}}}{T+{T}_{\mathrm{B}}}-\frac{T_{\mathrm{A}}}{T_{\mathrm{B}}+{T}_0}\right). $$
(7)

Für Wasser gelten die Konstanten TA = 506 K, TB = −150 K und beim Druck p0 = 1 bar die Bezugswerte T0 = 273,16 K und η0 = 1,793 mPa · s.

In Tab. 1 sind für Luft und Wasser Zahlenwerte für ϱ, η und ν in Abhängigkeit von der Temperatur ϑ zusammengestellt.

Für andere Medien sind Daten der Stoffeigenschaften einschlägigen Tabellenwerken (D’Ans und Lax 1967; Landolt-Börnstein 1950–1980) zu entnehmen.

Die Verallgemeinerung des nach Newton benannten Ansatzes (4) auf mehrdimensionale Strömungen führt zum allgemeinen Spannungstensor (Zierep und Bühler 1991; Meier 2000; Oertel 2015; Oertel et al. 2012; Oertel 2017).

1.2 Newton’sche und nichtnewton’sche Medien

Newton’sche Medien sind dadurch ausgezeichnet, dass die Viskosität unabhängig von der Schergeschwindigkeit ist. In Abb. 3 ist dieses Verhalten durch einen linearen Zusammenhang zwischen der Schubspannung τ und der Schergeschwindigkeit D = du/dy gekennzeichnet. Bei nichtnewton’schen Medien besteht dagegen ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung und der Schergeschwindigkeit. Die dynamische Viskosität η ist dann von der Schergeschwindigkeit D abhängig. Der Zusammenhang η(D) wird als Fließkurve bezeichnet. Steigt die Viskosität mit der Schergeschwindigkeit an, so wird das Verhalten als dilatant bezeichnet, während ein Abfall der Viskosität als pseudoplastisches Verhalten bezeichnet wird. Ändert sich bei einer konstanten Scherbeanspruchung die Viskosität mit der Zeit, dann wird das Verhalten mit steigender Viskosität als rheopex und bei abfallender Viskosität als thixotrop bezeichnet. Das Strömungsverhalten nichtnewton’scher Medien ist in (Bird et al. 1977; Böhme 2000) umfassend dargestellt. Die rheologischen Begriffe sind in (DIN 1342–1 (1993), DIN 1342–2) definiert.
Abb. 3

Schubspannung als Funktion der Schergeschwindigkeit

1.3 Hydrostatik und Aerostatik

Das Verhalten der Zustandsgrößen im Ruhezustand ist der Gegenstand der Hydrostatik und der Aerostatik. Der Druck p ist eine skalare Größe. In Kraftfeldern gilt für die Druckverteilung die hydrostatische Grundgleichung (Zierep und Bühler 2018, S. 33)
$$ \operatorname{grad}\, p=\upvarrho \boldsymbol{f} $$
(8)
mit ∂p/x = ϱfx, ∂p/y = ϱfy und ∂p/z = ϱfz. Die Änderung des Druckes ist damit gleich der angreifenden Massenkraft.

Hydrostatische Druckverteilung im Schwerefeld

Es wirkt die Massenkraft f = (0,0, − g). Die Integration der hydrostatischen Grundgleichung dp/dz = −ϱg liefert für Medien mit konstanter Dichte eine lineare Abhängigkeit für den Druckverlauf:
$$ p(z)={p}_1-\upvarrho gz. $$
(9)

Der Druck nimmt ausgehend von p1 bei z = 0 linear mit zunehmender Höhe z ab.

Archimedisches Prinzip

Ein im Schwerefeld in Flüssigkeit eingetauchter Körper erfährt einen Auftrieb, der gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist.

Druckverteilung in geschichteten Medien

Ändert sich die Dichte ϱ(z) mit der Höhe, so lautet für ein ideales Gas mit p/ϱ = RiT die Bestimmungsgleichung (8) für den Druck:
$$ \frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{g}{R_i}\cdot \frac{\mathrm{d}z}{T}. $$
(10)
Für eine isotherme Gasschicht T = T0 = const folgen mit den Anfangswerten p(z = 0) = p0, ϱ(z = 0) = ϱ0 die Druck- und Dichteverteilungen zu
$$ p(z)={p}_0\exp \left(-\frac{g}{R_i{T}_0}z\right) $$
(11)
$$ \upvarrho (z)={\upvarrho}_0\exp \left(-\frac{g}{R_i{T}_0}z\right) $$
(12)
In einer isothermen Atmosphäre nehmen Druck und Dichte mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Abb. 4 zeigt den Druckverlauf als Funktion der Höhe z für ein inkompressibles Medium und für ein kompressibles Medium mit veränderlicher Dichte ϱ(z) bei isothermer Atmosphäre.
Abb. 4

Druckverlauf in inkompressiblen und kompressiblen Medien

1.4 Gliederung der Darstellung: Nach Viskositäts- und Kompressibilitätseinflüssen

Die in der Realität auftretenden Strömungserscheinungen sind sehr vielfältig. Verschiedenartige physikalische Effekte erfordern unterschiedliche Beschreibungs- und Berechnungsmethoden. Wir betrachten hier zunächst Strömungen inkompressibler Medien ohne Reibung im Kap. „Reibungsfreie inkompressible Strömungen“, dann den Einfluss der Reibung im Kap. „Reibungsbehaftete inkompressible Strömungen“ und sodann untersuchen wir den Einfluss der Kompressibilität bei reibungsfreien Strömungen im Kap. „Gasdynamik“. Vorgänge bei denen Reibungs- und Kompressibilitätseffekte gleichzeitig bedeutsam sind werden im Kap. „Viskositäts- und Kompressibilitätseinfluss in der Strömungsmechanik“ behandelt. Begonnen wird jeweils mit eindimensionalen Modellen, die dann auf mehrere Dimensionen erweitert werden.

Literatur

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  6. DIN 1342–1 (1993) Viskosität; Rheologische Begriffe (10.83); DIN 1342–2: Newtonsche Flüssigkeiten (02.80)Google Scholar
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  15. Zierep J, Bühler K (2018) Grundzüge der Strömungslehre. Grundlagen, Statik und Dynamik der Fluide, 11. Aufl. Springer Vieweg, WiesbadenCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für StrömungslehreKarlsruheDeutschland
  2. 2.Fakultät Maschinenbau und VerfahrenstechnikHochschule OffenburgOffenburgDeutschland

Section editors and affiliations

  • Birgit Skrotzki
    • 1
  1. 1.Experimental and Model Based Mechanical Behaviour of MaterialsBundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM)BerlinGermany

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