Sur les Methodes de Runge Kutta Pour L’approximation des Problemes D’evolution

Résumé

Dans cet article nous nous intéressons à l’approximation de la solution du problème parabolique :

$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + Au = fpour\left( {x,t} \right) \in \Omega \times \left[ {O,T} \right]}\\ {u\left( {x,t} \right) = opour\left( {x,t} \right) \in \partial \Omega \times \left[ {O,T} \right]}\\ {u\left( {x,o} \right) = {u_o}\left( x \right)pourx \in \Omega } \end{array}} \right. $$

(1)

où x désigne le point courant d’un domaine borné Ω de l’espace euclidien R², A désigne l’opérateur elliptique :

$$ Au = - \sum\limits_{i,j = 1}^2 {\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}} \left( {{\alpha _{ij}}\left( x \right)\frac{{\partial u}}{{\partial {x_i}}}} \right)$$

satisfaisant à l’hypothèse: il existe α > o tel que :

$$\forall x \in \Omega \quad et\quad \forall \xi \in {R^2}\quad \sum\limits_{i,j} {{\alpha _{ij}}} \left( x \right){\xi _i}{\xi _j} \geqslant \alpha \sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i^2} $$