Hinreichende Bedingungen für die Darstellbarkeit als Laplace-Transformierte einer Funktion

Zusammenfassung

Die Frage, welche Funktionen sich durch Potenzreihen $$ darstellen lassen, ist sehr einfach zu beantworten: Es sind dies alle in um z = 0 analytischen Funktionen. Man könnte in Analogie hierzu vermuten, dass als L-Transformierte sich alle in rechten Halbebenen analytischen Funktionen darstellen lassen. Das ist aber nicht der Fall; die darstellbaren Funktionen bilden vielmehr innerhalb der Gesamtheit der in Halbebenen analytischen Funktionen nur einen Teilbereich. Diesen gilt es zu charakterisieren. Dabei ist zu unterscheiden, ob es sich um die Darstellung durch L-Transformierte von Funktionen oder von Distributionen handeln soll. Für die Menge der als L-Transformierte von Funktionen darstellbaren Funktionen gibt es kein einfaches funktionentheoretisches Kriterium. Hier muß man sich mit hinreichenden Bedingungen begnügen, die nur einen Teil der darstellbaren Funktionen erfassen. Dagegen lassen sich die durch L-Transformierte von Distributionen darstellbaren Funktionen durch eine notwendige und hinreichende funktionentheoretische Bedingung vollständig charakterisieren. In diesem Paragraphen behandeln wir die Darstellung durch L-Transformierte von Funktionen.