Bestimmung des Stichprobenumfanges für Tests in der Multiplen Linearen Regressionsanalyse Modell II

Abstract

In multiple linear regression model II the regression coefficients are compared with zero by the t-test and simultaneously compared with zero by the F-test. A series for the computation of the risk of second kind ß for this tests is derived, whose terms can be calculated bv recurrence formulas.

In a normal probability plot of ß as a function of $\sqrt {\text{f}_\text{2}}$ (f₂-denominator degrees of freedom) for fixed risk of first kind α, number f₁ of regressors and coefficient of determination (square of the multiple are partial — multiple correlation coefficient) we get nearly straigth lines in the domain 0,01 ≤ ß ≤ 0,5, hence easy nomograms to determine the sample size.

This proves specially the goodness of the approximation formula

$$ {\rm{f}}_{\rm{2}} = \frac{{({\rm{u}}_{{\rm{1 - }}\frac{\alpha }{{\rm{2}}}} + {\rm{u}}_{1 - {\rm B}} )^2 }}{{{\rm{z}}^{\rm{2}} }} $$

in the case f₁ = 1, where z denotes Fishers z-transformatioa of the partial correlation coefficient.

Zusammenfassung

Der Test von einzelnen oder mehreren Regressionskoeffizienten gegen Null erfolgt in der multiplen linearen Regressionsanalyse Modell II mit dem t-Test bzw. F-Test. In der vorliegenden Arbeit wird eine Reihe zur Bestimmung des Risikos 2. Art ß dieser Tests abgeleitet, deren Glieder rekursiv errechnet werden können. Stellt man ß für vorgegebene Irrtumswahrsoheinlichkeit α, vorgegebene Anzahl von Regressoren und vorgegebenen multiplen bzw. partiell-multiplen Korrelationskoeffizienten bzw. vorgegebenes theoretisches Bestimmtheitsmaß als Funktion von $\sqrt {\text{f}_\text{2} }$ (f2-Nennerfreiheitsgrade) im Normalvertei-lungspapier dar, so ergeben sich in dem für die Versuchsplanung relevanten Bereich 0,01 ≤ ß ≤ 0,50 näherungsweise Geraden und damit einfache Nomogramme zur Bestimmung des Stichprobenumfanges.

Speziell erweist sich die Approximationsformel ${\rm{f}}_{\rm{2}} = \frac{{({\rm{u}}_{{\rm{1 - }}\frac{\alpha }{{\rm{2}}}} + {\rm{u}}_{1 - {\rm B}} )^2 }}{{{\rm{z}}^{\rm{2}} }}$ wobei z der nach der Fisherschen z-Transformation transformierte Wert des entsprechenden partiellen Korrelationskoeffizienten ist, als hinreichend genau, wenn ein einzelner partieller Regressionskoeffizient getestet wird.