Einige Näherungsverfahren der Dynamik und Statik

Zusammenfassung

Verformbare Körper besitzen unendlich viele Freiheitsgrade, und ihre Deformationen werden durch das Feld der Verschiebungsvektoren $\vec u$ (t,x, y, z; X, Y, Z) festgelegt. Die beschreibenden partiellen Differentialgleichungen sind auch im Falle des linearisierten elastischen Problems nur schwer, wenn überhaupt, exakt lösbar. Es liegt daher nahe, nach Näherungslösungen zu suchen, die zwar die wesentlichen Randbedingungen erfüllen, nicht aber die Differentialgleichungen (z. B. mit dem RayleighRitz-Galerkin-Verfahren, das wir nachstehend besprechen) oder umgekehrt (z. B. Kollokationsverfahren). Dabei wird der verformbare Körper in ein zugeordnetes «Ersatzsystem» mit endlich vielen Freiheitsgraden übergeführt, das die wesentlichen dynamischen Eigenschaften widerspiegelt (z. B. Grundfrequenz und einige Oberfrequenzen freier Schwingungen oder die kritische Last bei Stabilitätsproblemen, kurz die Eigenwerte annähert, oder, mit oder ohne Konvergenz im quadratischen Mittel, Deformations-und Spannungsverlauf approximiert). Eine vollständige Algebraisierung des Problems kann durch die Anwendung des Galerkin-Verfahrens auf die n Lagrangeschen Bewegungsgleichungen erzielt werden. Im Hinblick auf die Erweiterung des Ritzschen Verfahrens zur Finite-Elemente-Methode (FEM) zeigen wir auch die inkrementelle Behandlung nichtlinearer Bewegungsgleichungen und ihre Diskretisierung mit der Wilson-O-Methode (Methode der linearen Beschleunigung). Den Abschluß bildet das Verfahren der Harmonischen Balance.