Die Fixpunktsätze von Brouwer, Schauder und Kakutani

Zusammenfassung

Im Laufe unserer Untersuchungen haben wir uns schon mehrfach davon überzeugen können, daß zahlreiche Probleme, die „rein mathematisch“ entstehen oder von den Anwendungen an uns herangetragen werden, auf die Frage hinauslaufen, ob eine vorgelegte Selbstabbildung f einer gewissen Menge X einen Fixpunkt besitzt, d. h., ob es in X ein Element x̃mit f(x̃) = x̃ gibt. Dieser Frage haben wir uns schon sehr frühzeitig gestellt, nämlich in der Nr. 35, wo wir uns mit den Fixpunktsätzen 35.1, 35.2 und 35.4 auseinandergesetzt haben. Den „Kontraktionssatz“ 35.2 konnten wir geradezu spielend leicht zu dem ungewöhnlich kraftvollen und geschmeidigen Banachschen Fixpunktsatz 111.11 verallgemeinern. Dagegen ist der Versuch, den „allgemeinen Fixpunktsatz“ 35.4 aus der provinziellen Enge des Eindimensionalen herauszulösen, mit Schwierigkeiten von ganz anderen Größenordnungen befrachtet. Gerade diesen Versuch aber wollen wir im vorliegenden Kapitel unternehmen. Die Frucht unserer Arbeit wird ein Arsenal von tiefliegenden und leistungsstarken Fixpunktsätzen sein, die gleichsam als fliegende Feuerwehr in den allerverschiedensten Gebieten der Mathematik und der Anwendungen eingesetzt werden können. Der entscheidende und beweistechnisch schwierigste Satz ist hierbei der berühmte Brouwersche Fixpunktsatz, den wir nun in Angriff nehmen.

Ignoramus. Ignorabimus. [Wir wissen nicht. Wir werden nicht wissen.]

Der Physiologe Emil du Bois-Reymond, 1872

Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Inschrift auf Hilberts Grabstein, 1943