Zusammenfassung
Im Laufe unserer bisherigen Arbeit haben wir schon zahlreiche Integralbegriffe defi-niert, untersucht und mit Gewinn eingesetzt. Es fehlt uns aber noch der Begriff des Integrais einer reellwertigen Funktion von mehreren reellen Veränderlichen. Wir wollen uns zunächst davon überzeugen, daß ganz naheliegende Probleme uns dazu drängen, die Idee eines solchen Integrais zu entwickeln. Dabei werden wir sehr einfache Situationen betrachten, und unsere Überlegungen werden heuristischer Art sein, auf mathematische Strenge also keinen Anspruch erheben. Aile auftretenden Funktionen sollen reellwertig sein.
Jeder Kreiszylinder, dessen Radius gleich dem Kugelradius und dessen Höhe gleich dem Kugeldurchmesser ist, [ist] 3/2mal so groß wie die Kugel.
Archimedes
Archimedes soll ... gebeten haben, ... auf sein Grab den die Kugel einschließenden Zylinder zu setzen.
Plutarch
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Referenzen
Für Punkte verwenden wir wieder, wenn Mißverständnisse ausgeschlossen sind, die raumsparende Zeilenschreibweise.
Für die Massenbelegung eines Bogens hatten wir einen entsprechenden Begriff schon in Nr. 184 eingeführt. Die obigen Betrachtungen sind den dort durchgeführten völlig analog.
Im R2 sind diese Mengen Geraden, die parallel zu einer Koordinatenachse sind, im R 3 Ebenen parallel zu einer Koordinatenebene.
Guido Fubini (1879–1943; 64).
Die Invertierbarkeit von g(x) ist gleichbedeutend damit, daß det g(x) nicht verschwindet.
Wir benutzen in dieser Nummer, da wir es mit Ableitungen, Matrizen und Determinanten zu tun haben werden, die Spaltenschreibweise für Vektoren (Punkte).
Dieser Beweis dürfte der längste und schwierigste in diesem Buche sein. Dem Leser wird geraten, zunächst den Zerlegungssatz 205.1 zu übergehen, die Substitutionsregel 205.2 einfach zur Kenntnis zu nehmen und sich auf die Anwendungen derselben in der nächsten Nummer zu konzentrieren. Erst dann sollte er sich den Beweisen im vorliegenden Abschnitt zuwenden. Das sollte er allerdings wirklich tun, damit ihm die Substitutionsregel nicht zum bloßen mathematischen Glaubensgut verkommt.
Wohlgemerkt: Es soll detg'(t) auf G\N ständig positiv oder ständig negativ und g I (G\N) injektiv sein.
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© 2004 B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Heuser, H. (2004). Mehrfache R-Integrale. In: Lehrbuch der Analysis Teil 2. Mathematische Leitfäden. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2_10
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2_10
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-519-62232-1
Online ISBN: 978-3-663-01407-2
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