Zusammenfassung
Bilinearformen haben wir schon im Zusammenhang mit Skalarprodukten für studiert und unter der Voraussetzung der positiven Definitheit auch klassifizieren können: Auf einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum gibt es bis auf Isometrie genau ein positiv definites Skalarprodukt. Wir wollen diese Klassifikationsergebnisse nun in verschiedene Richtungen ausdehnen. Es wird interessant sein, die Positivität des Skalarprodukts aufzugeben. Eine zentrale Anwendung liegt in der mathematischen Physik der speziellen Relativitätstheorie. Hier benötigt man eine immer noch symmetrische Bilinearform, das Lorentz-Skalarprodukt. Ersetzt man dagegen Symmetrie durch Antisymmetrie, so erhält man eine völlig neue Welt von Anwendungen mit den symplektischen Vektorräumen. Auch hier ist eine Klassifikation durch das Darboux-Theorem möglich. Symplektische Formen finden vielerorts Anwendung: In der mathematischen Physik ist hier etwa die Hamiltonsche Mechanik zu nennen.
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Waldmann, S. (2017). Bilinearformen und Quadriken. In: Lineare Algebra 2. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-53348-2_4
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