Lagerungs- und Überdeckungsprobleme in der Ebene

Zusammenfassung

Wir betrachten ein fest vorgegebenes System von endlich vielen konvexen Scheiben und fragen : 1. Wie klein kann der Inhalt eines konvexen Gebiets sein, in das die Scheiben ohne gegenseitige Überdeckung eingelagert werden können? 2. Wie groß kann der Inhalt eines konvexen Gebiets sein, das durch die Scheiben völlig überdeckt werden kann? Die Probleme des vorliegenden Abschnittes sind entweder selbst von diesem Typus oder gruppieren sich um die genannten, einander dual gegenüberstehenden zentralen Probleme. Das Hauptinteresse nimmt dabei der Grenzfall in Anspruch, daß die Scheibenanzahl unendlich wird. Es wird sich herausstellen, daß die günstigste Anordnung von kongruenten Scheiben in vielen Fällen gitterf örmig ist. Dabei spielt das sogenannte gleichseitige Dreiecksgitter eine ausgezeichnete Rolle. Man könnte daher sagen, daß es sich in diesem Abschnitt hauptsächlich um Extremaleigenschaften der ausgearteten regulären Polyeder {3, 6} und {6, 3} handelt.