Spezielle Funktionen und Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Die Entwicklung einer Funktion nach einem orthogonalen Funktionensystem stellt eines der wichtigsten Werkzeuge der Analysis und der angewandten Mathematik dar. Wir beginnen mit der Orthogonalisierung der Monome in verschiedenen Räumen und erhalten die klassischen Systeme der Legendre-, Tschebyscheff-, Laguerre- und Hermite-Polynome. Anhand der Legendre-Polynome werden grundlegende Ordnungsprinzipien der Polynomsysteme wie Formeln von Rodrigues, Rekursionsformeln, erzeugende Funktionen und Differentialgleichungen herausgearbeitet. Dadurch werden wir auf die lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung geführt. Potenzreihenansätze wie im Reellen greifen zu kurz. Deshalb betrachten wir die Gleichungen im Komplexen, wo ein Umlauf um einen singulären Punkt vorgenommen werden kann. Differentialgleichungen vom Fuchsschen Typ eröffnen den Zugang zu den speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Im Gegensatz zu ihrer Bedeutung erfahren die Differentialgleichungen im Komplexen oft eine vergleichsweise geringe Beachtung. Ähnliches gilt in einführenden Vorlesungen für die Stabilitätstheorie, die mit den Ljapunow-Funktionen und Konstanten der Bewegung eine Überleitung zu den partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung liefert.