Vektoranalysis

Zusammenfassung

Wir stellen zuerst die erforderlichen Grundlagen aus der Vektorrechnung bereit und führen Tensoren als multilineare Abbildungen ein. Ausführlich wird das Transformationsverhalten von Tensoren beim Basiswechsel geschildert. Wir betrachten den dreidimensionalen Raum dann als Mannigfaltigkeit und gelangen über die Tangentialräume zum Feldbegriff. Wir beschreiben die grundlegenden Operationen mit Tensoren und Feldern, wie sie in den klassischen Anwendungsgebieten der Mechanik und der elektrischen Feldtheorie benötigt werden. Wiederum wird hierbei ausführlich auf die Transformation von Tensorfeldern in verschiedene Koordinatensysteme eingegangen. Nach der Einführung der Kurven und Flächen im Raum entwickeln wir die Inhaltsmessung und das Konzept der Orientierung und können damit die Integralsätze der Vektoranalysis (Green, Gauß und Stokes) in tensorieller Form darstellen. Wir bekommen Anwendungen wie die Interpretation der Divergenz und der Rotation eines Vektorfeldes als Volumen- und Flächenableitung oder die Greenschen Formeln für die Potentialtheorie.