Hamilton-Formalismus

Kapitelvorwort

Welche Bedeutung hat die Hamilton-Funktion in der Physik?

Warum sind die kanonischen Gleichungen äquivalent zu den Lagrange-Gleichungen?

Welche Eigenschaften haben kanonische Transformationen?

Was hat die Hamilton-Jacobi-Theorie der klassischen Mechanik mit der Quantenmechanik zu tun?

Bereits in Abschn. 5.3 wurde die Hamilton‐Funktion eingeführt; sie spielte bisher aber keine zentrale Rolle in der Mechanik. Dies ändert sich hier nun grundlegend. Es wird in Abschn. 7.1 gezeigt, dass man – auf der Hamilton‐Funktion aufbauend – einen weiteren Zugang zu mechanischen Problemen einschlagen kann, der sich vom Aufstellen der Newton’schen Bewegungsgleichungen und auch vom Lagrange‐Formalismus unterscheidet. Als Ergebnis finden wir die kanonischen Bewegungsgleichungen.

Wir werden in Abschn. 7.2 sehen, dass Koordinaten und Impulse in der Hamilton’schen Mechanik gleichberechtigt sind und sogar ineinander transformiert werden können. Die sogenannten kanonischen Transformationen erlauben eine Vereinfachung der Bewegungsgleichungen.

Obwohl die hier vorgeführten Methoden keine wesentlichen rechnerischen Vereinfachungen für das Lösen mechanischer Probleme mit sich bringen, so ist dieses Kapitel doch von entscheidender Bedeutung für die weiteren Teile dieses Buches. Insbesondere die Quantenmechanik baut auf der Hamilton‐Jacobi‐Theorie auf, die in Abschn. 7.3 angesprochen wird. Auch die statistische Physik und die Theorie chaotischer Systeme profitieren von einer Formulierung ausgehend vom Hamilton‐Formalismus.

Wie die Hamilton‐Funktion die Entwicklung physikalischer Systeme im sogenannten Phasenraum bestimmt, wird im Kasten „Vertiefung: Phasenfluss und Liouville’scher Satz“ in Abschn. 34.1 wieder aufgegriffen.

Appendices

So geht’s weiter

1.1 Determinismus und Chaos

Lässt sich das Verhalten der Natur eindeutig aus einer universellen, fundamentalen Theorie herleiten? Der von dieser Frage implizierte Determinismus in der klassischen Physik wurde schon vom französischen Wissenschaftler Pierre-Simon Laplace mathematisch untersucht. Für Laplace war die Welt vollständig determiniert: Würde man nur die Anfangsbedingungen und die Bewegungsgesetze der klassischen Physik genau kennen, so ließe sich jeder zukünftige Zustand des Universums aus den mathematischen Differenzialgleichungen genau berechnen. Auf diese Weise wäre es nach Laplace also zumindest im Prinzip möglich, ein in diesem Zusammenhang oft als Laplace’scher Dämon bezeichnetes Wesen zu postulieren, das alles vorhersagt, was geschehen wird und alles erklärt, was jemals geschehen ist.

Dass es in der Praxis jedoch unmöglich sein könnte, diese so determinierte Zukunft eindeutig vorherzusagen, war auch schon Laplace bewusst, da es beispielsweise in einem System von vielen Freiheitsgraden empirisch nicht möglich ist, alle Anfangsbedingungen genau zu bestimmen. Diese Einsicht zeigt sich auch in den Ergebnissen der Chaosforschung: Schlägt ein Schmetterling in China mit den Flügeln, kann man daraus nicht das Wetter in Europa berechnen, wenngleich ein Zusammenhang zwischen beiden Ereignissen bestehen kann.

Die Chaosforschung befasst sich mit dynamischen, nichtlinearen Systemen, deren jeweiliges Verhalten sehr empfindlich von den gewählten Anfangsbedingungen abhängt. Dies mag einerseits in Systemen mit vielen Freiheitsgraden der Fall sein, andererseits jedoch auch in solchen mit wenigen Freiheitsgraden. Dort hat man es dann wie im Falle der schwingenden Atwood’schen Maschine oder des Doppelpendels mit komplexen, gekoppelten, nichtlinearen Bewegungsgleichungen zu tun, welche nur noch numerisch lösbar sind. Das Verhalten der chaotischen Systeme erscheint auf lange Zeiten gesehen als irregulär und ungeordnet. Dennoch können sich nach einiger Zeit bestimmte Muster bilden, die durch universelle Konstanten gegeben sind. Ein typisches Verhalten von chaotischen Systemen ist die Bifurkation zusammen mit der Selbstreproduktion von bestimmten Formen, die allein gesehen nicht regulär sind, sich aber immer wiederholen. Ein schönes Beispiel hierfür ist der Baum des Pythagoras (Abb. 7.3), dessen kleiner werdende Verästelungen immer wieder die Form der vorherigen Struktur reproduzieren.

Abb. 7.3

Der Baum des Pythagoras

Wie genau können wir uns diesem Begriff des Chaos nähern? Schon bei der alltäglichen Beobachtung der vielfältigen Vorgänge in der Natur sehen wir, dass bereits die klassische Physik eine immense Fülle von Möglichkeiten für uns bereithält. Auch hier können wir unter Umständen nicht alles berechnen – was sich allein daraus ergibt, dass man es oft mit komplexen Systemen zu tun hat, die aus sehr vielen einzelnen Teilchen bestehen. Diese Feststellung mag zunächst trivial klingen, sie ist jedoch sehr wichtig im Hinblick auf das bessere Verständnis der fundamentalen Gesetze der Natur und deren Bedeutung.

Ein Spiel, das sehr gut die Problematik verdeutlicht, ist Mikado, welches aus einer großen Anzahl gleichartiger, lediglich verschieden markierter Stäbchen besteht. Diese werden, nachdem sie gebündelt und mit der Hand festgehalten werden, plötzlich losgelassen und verteilen sich dann in großer Unordnung über die Tischoberfläche. Die Ausgangslage ist dabei offensichtlich immer die gleiche: Vor dem Loslassen sind alle Mikadostäbchen parallel und gleich ausgerichtet. Es ist aber praktisch unmöglich, dass sie sich, nachdem sie die Hand verlassen haben, immer gleich über den Tisch verteilen. Trotz scheinbar gleicher Anfangsbedingungen sieht jedes Spiel vollkommen anders aus, und dabei gibt es eine immense Anzahl von Mustern, welche die Mikadostäbchen auf dem Tisch bilden können. Obwohl es sich um klassische Physik handelt, durch welche die Stäbchen beschreibbar sind, sind diese Muster schwer von uns vorherzusagen und auch schwer zu berechnen, obwohl die zugrunde liegenden Gleichungen sehr einfach sind und wir im Prinzip alle Informationen besitzen, um die Lage der einzelnen Mikadostäbchen berechnen zu können.

Betrachten wir im Gegensatz dazu beim Billard den Lauf der Billardkugel, dann können wir mit etwas Geschick und Übung sehr gut vorausbestimmen und auch berechnen, wie sich die Kugel verhalten wird. Stößt eine Billardkugel an den Rand des Billardtisches, so ist der Ausfallswinkel (in Abwesenheit eines Spins der Kugel) immer gleich dem Einfallswinkel, und der Stoß der Billardkugeln untereinander folgt ähnlich einfachen Gesetzmäßigkeiten, nämlich des elastischen Stoßes mit Impuls- und Energierhaltung.

Was unterscheidet nun Mikadostäbchen von Billardkugeln? Warum verhalten sich nun die einen und die andern augenscheinlich ganz unterschiedlich, obwohl beide doch den gleichen physikalischen Gesetzen folgen? Ein Grund für die Unvorhersagbarkeit beim Mikadospiel ist die große Zahl der Stäbchen. Es ist deshalb nämlich nicht möglich, vor dem Fallenlassen der Stäbchen immer die gleichen Anfangsbedingungen herzustellen. Schon das leichteste Zittern in der Hand oder ein geringfügiges Abweichen in der Ausgangskonfiguration hat einen dramatischen Effekt auf die Endkonfiguration: Alle diese Fluktuationen am Anfang werden durch die Vielzahl der Stäbchen enorm verstärkt. Trotz grundsätzlicher Beschreibung durch eine deterministische Theorie kann man daher keine eindeutige Vorhersage treffen.

Im Gegensatz dazu folgt die Bahn einer einzelnen Billardkugel immer einem eindeutigen und vorhersagbaren Weg, wenn wir die Billardkugel immer gleich anstoßen und somit in diesem Fall keine Fluktuation besteht. Solche physikalischen Systeme mit einer großen Anzahl von beteiligten Körpern und eventuell auch mit fluktuierenden Anfangsbedingungen lassen sich am besten mit den Methoden der Statistik behandeln.

Wir sehen nun, wie leicht deterministische Theorien übergehen in eine statistische Beschreibung. So ist die klassische Mechanik zusammen mit der Gravitationstheorie von Newton eine vollkommen deterministische Theorie, die bei vorgegebenen Anfangsbedingungen eindeutige Vorhersagen über die Bahn von Planeten oder anderen Körpern ermöglicht. Die Reproduzierbarkeit der Anfangsbedingungen ist jedoch bei einem Experiment in Rahmen der klassischen Physik eine wichtige Voraussetzung, um ein eindeutiges Ergebnis zu erhalten.

Wenn allerdings ein physikalisches System aus einer großen Anzahl von Körpern besteht, dann wird es immer schwieriger, gleiche Anfangsbedingungen für alle beteiligten Teilchen herzustellen und die Berechnungen konkret und analytisch durchzuführen. In diesem Fall kann man statistische Aussagen über den Endzustand treffen, wobei oft auch die analytischen Berechnungen durch aufwendige Simulationen an Computern ersetzt werden müssen. Es gibt auch Vielteilchensysteme, die nunmehr ein ungeordnetes Verhalten aufweisen und Gegenstand der sogenannten Chaosforschung sind.

Nehmen wir nun an, dass die Billardkugeln nicht abgebremst werden, sondern idealerweise unendlich lange rollen können, und verfolgen wir ferner die Bahnen der Billardkugeln über einen sehr großen Zeitraum hinweg. Dann sehen wir, dass, obwohl die Bahnen der Billardkugeln deterministisch vorherbestimmt sind, wir doch ein Vielteilchensystem dadurch simulieren können, indem wir die Anfangsbedingungen, mit der wir die Billardkugel anstoßen, immer wieder verändern. Das ungeordnete, chaotische Verhalten von bestimmten Systemen kann man sich daher auch anhand des Billardspiels verdeutlichen.

Schauen wir uns dies noch einmal etwas genauer an: Wir betrachten dafür einen rechteckigen oder auch einen kreisförmigen Billardtisch (Abb. 7.4 ). Wie wir wissen, wird die Billardkugel am Rand des Tisches so reflektiert, dass Einfalls- und Ausfallswinkel genau übereinstimmen. Auf dem rechteckigen oder auf dem kreisförmigen Tisch sehen die Trajektorien der Billardkugel sehr geordnet und gleichmäßig aus. Hier liegt also kein chaotisches System vor. Dies ändert sich, wenn wir einen stadionförmigen Billardtisch betrachten. Dies ist das sogenannte chaotische Billard oder auch, benannt nach dem russischen Mathematiker Yakov Sinai (${}^{*}$1935), das Sinai-Billard. Hier verlaufen die Trajektorien der Billardkugeln nicht mehr gleichmäßig, sondern ungeordnet, oder wie man sagt, chaotisch. Man kann dabei die Länge der geraden Seiten im stadionförmigen Billardtisch als den Parameter ansehen, der das Chaos bestimmt. Ist dieser Parameter gleich null, dann gibt es kein Chaos. Ist der Parameter allerdings nur um einen kleinen Betrag von Null verschieden, dann setzt das chaotische Verhalten ein.

Abb. 7.4

Drei verschiedene Billardtische

Ein weiteres konkretes System, das ein interessantes chaotisches Verhalten an den Tag legt, ist das demografische Modell der Population einer bestimmten Tierart. Das Anwachsen bzw. das Absterben der betrachteten Population hängt von zwei Faktoren ab: Durch die Fortpflanzung der Tiere vermehrt sich die Population proportional zur Anzahl der schon vorhandenen Tiere im Folgejahr um einen bestimmten Faktor. Andererseits verringert sich die Population der Tiere durch Verhungern, und zwar jährlich in Abhängigkeit von der Differenz zwischen ihrer aktuelle Größe und einer maximal möglichen Größe. (Die maximale Anzahl ist durch das verfügbare Nahrungsangebot begrenzt.)

Ohne auf die genauen Details einzugehen, lässt sich nun das Anwachsen oder auch das Abnehmen der Population in Abhängigkeit von einem bestimmten Parameter r berechnen, der sowohl die Fortpflanzungsrate als auch die Verhungerungsrate berücksichtigt. Wir können uns jetzt fragen, wie der asymptotische Populationswert x (x misst die Anzahl der Tiere nach vielen Jahren im Verhältnis zum maximal möglichen Wert, liegt also immer zwischen 0 und 1) von einer bestimmten, vorgegebenen Anfangspopulation abhängt. Strebt die Population immer gegen einen einzigen Häufungspunkt x, oder gibt es mehrere solche Häufungspunkte, je nachdem wie viele Tiere am Anfang vorhanden sind?

Die mathematischen Berechnungen in diesem Modell führen zu einem sehr interessanten Ergebnis: Mit r zwischen 0 und 1 stirbt die Population auf jeden Fall, alle Tiere verhungern schließlich, und man erhält also x = 0. Ab dem Wert r = 1 steigt die asymptotische Population kontinuierlich an, und, egal ob man am Anfang viele oder wenige Tiere hat, ist der asymptotische Populationswert x unabhängig von der gewählten Anfangspopulation. Hier liegt also genau ein Häufungspunkt vor. Ab einem bestimmten Parameterwert r ändert sich aber dieses Verhalten (Abb. 7.5). Nun beobachtet man, dass sich für den wachsenden Parameter r die Anzahl der Häufungspunkte in der asymptotischen Populationsanzahl x immer bei einem bestimmten r-Wert verdoppelt.

Abb. 7.5

Das Populationsdiagramm, das die asymptotische (relative) Anzahl x einer bestimmten Tierpopulation nach vielen Jahren darstellt. Auf der x-Achse ist der Parameter r aufgetragen, der das Verhältnis der Fortpflanzungsrate zur Verhungerungsrate der Tiere bestimmt. Für größer werdendes r verdoppelt sich die Anzahl der möglichen, asymptotischen Häufungswerte, wobei ab $r\simeq 3,57$ das chaotische Verhalten einsetzt: Die Werte der verschiedenen Häufungspunkte variieren vollkommen unregelmäßig

Dies ist die sogenannte Periodenverdopplung oder auch Bifurkation ; der Abstand zwischen den Werten für r, bei denen sich die Anzahl der Häufungspunkte in der asymptotischen Population ändert, heißt Bifurkationsintervall. Für kleine r-Werte bewirken kleine Änderungen der Anfangswerte dabei normalerweise keine Änderung der Endpopulation. So führt im Falle von zwei Häufungspunkten eine relativ kleine Anfangspopulation auf den kleineren der beiden x-Werte und eine große Anfangspopulation auf den größeren x-Wert. In diesem Bereich ist das Verhalten der Population also noch regelmäßig.

Ab einem Wert $r\simeq 3{,}57$ stellt sich aber schlagartig das Chaos ein: Die Folge springt zwischen nun instabilen Häufungspunkten hin und her, schon winzige Änderungen der Anfangspopulation resultieren in unterschiedlichsten Werten für x, eine Eigenschaft des Chaos. Es gibt aber eine interessante Eigenschaft in diesem Populationsmodell: Das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich einer fundamentalen Konstante, der Feigenbaum-Konstante δ, die den Wert $\delta\simeq 4{,}669$ annimmt. Dieser Zahlenwert von δ wurde zuerst im Jahre 1977 von den Physikern Siegfried Großmann und Stefan Thomae publiziert. Mitchell Feigenbaum entdeckte dann im Jahre 1978 die Universalität dieser Konstante, denn sie bestimmt das chaotische Verhalten in vielen dynamischen Systemen mit Bifurkation, wie z. B. auch beim Wetter.

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

7.1 •• Zentralpotenzial

Betrachten Sie eine Punktmasse m im Zentralpotenzial $V(r)$.

• (a) Wie lautet die zugehörige Hamilton‐Funktion in Kugelkoordinaten? Verwenden Sie dazu gegebenenfalls bekannte Teilergebnisse aus Kap. 5.

• (b) Gibt es zyklische Koordinaten? Wie lauten die kanonischen Gleichungen?

• (c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für $\vartheta$ und $\varphi$. Benutzen Sie die Anfangsbedingung $\vartheta=\uppi/2$ (dies entspricht einer geeigneten Wahl der Kugelkoordinaten).

• (d) Zeigen Sie, dass die verbleibende Gleichung für r der Radialgleichung des Zentralkraftproblems entspricht.

7.2 • Inverse der Legendre‐Transformation

Die Legendre‐Transformierte einer konvexen Funktion $f(x)$ lautet (siehe „Mathematischen Hintergrund“ 7.1.3)

$$g(y)=yx(y)-f(x(y)),$$

(7.89)

wobei

$$y(x)=f^{\prime}(x)$$

(7.90)

ist. Zeigen Sie, dass die Rücktransformation auf die Variable x wieder auf die Funktion $f(x)$ führt. Somit ist auch bewiesen, dass bei Legendre‐Transformationen keine Information der ursprünglichen Funktion $f(x)$ verloren geht.

7.3 •• Poisson‐Klammern und Drehimpuls

Berechnen Sie für den Drehimpuls einer Punktmasse in kartesischen Koordinaten

$$L_{i}=\varepsilon_{ijk}x_{j}p_{k}$$

(7.91)

die Poisson‐Klammern (in den konjugierten Variablen x und p) $\{L_{j},L_{k}\}$ (was auf (7.27) führt) und $\{{\boldsymbol{L}}^{2},L_{k}\}$.

7.4 •• Punkttransformation

Eine Punkttransformation wird durch

$$Q_{i}=f_{i}(t,q)$$

(7.92)

beschrieben. Über die Transformation der Impulse wird dabei keine Aussage getroffen; man kann aber davon ausgehen, dass sie allgemein

$$P_{i}=g_{i}(t,q,p)$$

(7.93)

lautet.

• (a) Warum kann eine Punkttransformation nicht durch $F_{1}(t,q,Q)$ erzeugt werden?

• (b) Gehen Sie im Folgenden von $F_{2}(t,q,P)$ aus, d. h., (7.93) wird in der Form

  $$p_{i}=h_{i}(t,q,P)$$

  (7.94)

  geschrieben. Wie lautet die allgemeine Form der Erzeugenden $F_{2}(t,q,P)$, die auf die Punkttransformation (7.93) und (7.94) führt? Zeigen Sie, dass $h_{i}(t,q,P)$ nur höchstens linear von den Impulsen P _i abhängen kann, wenn die Transformation kanonisch ist. Zeigen Sie weiterhin, dass die Funktionen $f_{i}(t,q)$ und $h_{i}(t,q,P)$ nicht eindeutig miteinander verknüpft sind.

• (c) Begründen Sie, warum alle Punkttransformationen mit differenzierbaren $f_{i}(t,q)$ kanonisch sind.

7.5 ••• Erzeugende

Es soll die Erzeugende $F_{2}(t,q,P)$ genauer untersucht werden.

• (a) Leiten Sie die Transformationsgleichung (7.47) für $F_{2}(t,q,P)$ ab. Gehen Sie dabei von

  $$\sum_{i}\left(p_{i}\,\mathrm{d}q_{i}-P_{i}\,\mathrm{d}Q_{i}\right)+\left(H^{\prime}-H\right)\mathrm{d}t=\mathrm{d}F^{\prime}_{2}(t,q,P)$$

  (7.95)

  aus, wobei $F^{\prime}_{2}(t,q,P)$ wie F ₂ von den unabhängigen Größen $(q,P)$ abhängt. Drücken Sie die $\mathrm{d}Q_{i}$ durch die Differenziale $\mathrm{d}q_{j}$ und $\mathrm{d}P_{j}$ aus. Zeigen Sie, dass die Relation

  $$F^{\prime}_{2}(t,q,P)+\sum_{j}Q_{j}(t,q,P)P_{j}=F_{2}(t,q,P)$$

  (7.96)

  zwischen $F^{\prime}_{2}$ und F ₂ bestehen muss. Wie lautet die neue Hamilton‐Funktion $H^{\prime}$?

• (b) Zeigen Sie damit, dass $F_{1}(t,q,Q)$ und $F_{2}(t,q,P)$ durch eine Legendre‐Transformation ineinander überführt werden können, wenn beide dieselbe kanonische Transformation erzeugen.

7.6 •• Ebene Polarkoordinaten

Die ebenen Polarkoordinaten sind definiert durch

$$x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi.$$

(7.97)

• (a) Zeigen Sie mithilfe der Lagrange‐Gleichungen, dass die zu den Koordinaten $(r,\varphi)$ konjugierten Impulse für eine freie Punktmasse

  $$p_{r}=m\dot{r},\quad p_{\varphi}=mr^{2}\dot{\varphi}$$

  (7.98)

  sind. Wie lauten die Hamilton’schen Gleichungen?

• (b) Wie lauten die kartesischen Impulse $p_{x}=m\dot{x}$ und $p_{y}=m\dot{y}$, ausgedrückt durch $(r,\varphi)$ und $(p_{r},p_{\varphi})$?

• (c) Berechnen Sie alle fundamentalen Poisson‐Klammern $\{A,B\}_{r,\varphi,p_{r},p_{\varphi}}$, wobei für A und B die kartesischen Koordinaten und Impulse einzusetzen sind. Zeigen Sie, dass die Transformation von kartesischen zu Polarkoordinaten kanonisch ist (man könnte auch die Poisson‐Klammern bezüglich der kartesischen Koordinaten berechnen, dies ist jedoch schwieriger). Warum kann man auch direkt ohne die Berechnung der fundamentalen Poisson‐Klammern sagen, dass die Transformation kanonisch ist?

• (d) Überprüfen Sie, dass die Erzeugende

  $$F_{3}(r,\varphi,p_{x},p_{y})=-r(p_{x}\cos\varphi+p_{y}\sin\varphi)$$

  (7.99)

  diese Transformation erzeugt.

7.7 •• Harmonischer Oszillator und kanonische Transformation

Wir betrachten den eindimensionalen, ungedämpften und freien harmonischen Oszillator mit Masse m und Kraftkonstante k. Im Text wurde bereits gezeigt, dass die Hamilton‐Funktion

$$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{k}{2}q^{2}=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}}{2}q^{2}$$

(7.100)

lautet.

• (a) Verwenden Sie die Erzeugende

  $$F_{1}(q,Q)=\frac{m\omega}{2}q^{2}\cot Q$$

  (7.101)

  und bestimmen Sie die Transformationsgleichungen für den Übergang zu den neuen Koordinaten $(Q,P)$, d. h. $q(Q,P)$, $p(Q,P)$ und $Q(q,p)$, $P(q,p)$. Verwenden Sie dazu die Relation

  $$\sin({\mathrm{arccot\> }}x)=\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.$$

  (7.102)

  Wie lautet die Hamilton‐Funktion $H^{\prime}(Q,P)$? Zeigen Sie damit, dass Q eine zyklische Variable und P damit erhalten ist (d. h., Q ist eine Winkel‐ und P eine Wirkungsvariable).

• (b) Was bedeutet das Ergebnis für Q? Wie lautet die Bewegungsgleichung für Q? Lösen Sie sie allgemein und geben Sie damit schließlich die Lösung für $q(t)$ an.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

7.1

• (a) Wir beginnen mit der Bestimmung der Lagrange‐Funktion in Kugelkoordinaten. Die kinetische Energie T für Kugelkoordinaten wurde bereits in Aufgabe 5.3 bestimmt:

  $$T=\frac{m}{2}\left[\dot{r}^{2}+r^{2}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\vartheta\right)\right].$$

  (7.103)

  Demnach ist die Lagrange‐Funktion

  $$L=T-V=\frac{m}{2}\left[\dot{r}^{2}+r^{2}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\vartheta\right)\right]-V(r).$$

  (7.104)

  Die konjugierten Impulse sind

  $$\begin{aligned}p_{r}&=\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},\\ p_{\vartheta}&=\frac{\partial L}{\partial\dot{\vartheta}}=mr^{2}\dot{\vartheta},\\ p_{\varphi}&=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^{2}\sin^{2}\vartheta\dot{\varphi}.\end{aligned}$$

  (7.105)

  Wir erhalten die Hamilton‐Funktion durch Anwendung der Legendre‐Transformation

  $$H=\dot{r}p_{r}+\dot{\vartheta}p_{\vartheta}+\dot{\varphi}p_{\varphi}-L$$

  (7.106)

  und des anschließenden Übergangs $(\dot{r},\dot{\vartheta},\dot{\varphi})\to(p_{r},p_{\vartheta},p_{\varphi})$. Dazu verwenden wir

  $$\dot{r}=\frac{p_{r}}{m},\quad\dot{\vartheta}=\frac{p_{\vartheta}}{mr^{2}},\quad\dot{\varphi}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}\sin^{2}\vartheta}.$$

  (7.107)

  Man kann sich schnell vergewissern, dass das Ergebnis

  $$H=T+V=\frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\vartheta}^{2}}{2mr^{2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\vartheta}+V(r)$$

  (7.108)

  lautet.

• (b) Der Winkel $\varphi$ ist zyklisch und führt damit auf

  $$\dot{p}_{\varphi}=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0.$$

  (7.109)

  Die kanonischen Gleichungen für r lauten

  $$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}$$

  (7.110)

  und

  $$\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{1}{mr^{3}}\left(p_{\vartheta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin^{2}\vartheta}\right)-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}.$$

  (7.111)

  Die erste entspricht der Definition des kanonischen Impulses p _r und liefert keine neue Information. Dies verhält sich bei den entsprechenden Gleichungen für $\vartheta$ und $\varphi$ genauso. Wir schreiben daher nur noch die dynamische Gleichung, also die Zeitableitung des Impulses von $\vartheta$, auf:

  $$\dot{p}_{\vartheta}=-\frac{\partial H}{\partial\vartheta}=\frac{p_{\varphi}^{2}}{mr^{2}\sin^{3}\vartheta}\cos\vartheta.$$

  (7.112)

• (c) Wir nehmen an, dass $\vartheta_{0}=\uppi/2$ ist. Daher ist zur Zeit t = 0 gerade $\cos\vartheta=0$ und $\dot{p}_{\vartheta}=0$. Dies bedeutet aber wegen (7.107), dass zu Beginn auch $\dot{\vartheta}=0$ ist. Tatsächlich löst $\vartheta_{0}=\uppi/2$ die Differenzialgleichung (7.112); $\vartheta$ bleibt also konstant:

  $$\vartheta(t)=\vartheta_{0}=\uppi/2={\mathrm{const}}.$$

  (7.113)

  Die Bewegungsgleichung für $\varphi$ ist trivial gelöst, da $\varphi$ zyklisch ist:

  $$p_{\varphi}=p_{\varphi,0}={\mathrm{const}}.$$

  (7.114)

  Dies führt mit dem Ergebnis für $\vartheta$ auf den bekannten Flächensatz

  $$\dot{\varphi}=\frac{p_{\varphi,0}}{mr^{2}},$$

  (7.115)

  wobei $p_{\varphi,0}$ der konstante Drehimpuls der Punktmasse ist. Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit der Diskussion des Zentralkraftproblems in Abschn. 3.2.

• (d) Die dynamische Gleichung für r nimmt nun die vereinfachte Form

  $$m\ddot{r}=\frac{p_{\varphi,0}^{2}}{mr^{3}}-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$$

  (7.116)

  an. Dies entspricht gerade dem Ausdruck in (3.60). Es ist nur zu beachten, dass dort μ (statt m) die reduzierte Masse ist.

Wir sehen also, dass der Hamilton‐Formalismus einen alternativen Weg zum Auffinden der Bewegungsgleichungen erlaubt.

7.2

In jedem Fall muss die Rücktransformation

$$h(x)=xy(x)-g(y(x))$$

(7.117)

mit einer zu bestimmenden Funktion $h(x)$ erfüllen. Wir setzen einfach (7.89) in (7.117) ein:

$$h(x)=xy(x)-y(x)x(y(x))+f(x(y(x))).$$

(7.118)

Hier ist zu beachten, dass $x(y(x))=x$ gilt; also ist

$$h(x)=xy(x)-y(x)x+f(x).$$

(7.119)

Es folgt sofort, dass $h(x)\equiv f(x)$ ist, was zu zeigen war.

Ein geometrisch augenfälliger Beweis für die Tatsache, dass die Legendre‐Transformation ihr eigenes Inverses ist, ergibt sich durch die geometrische Interpretation der monton ansteigenden Funktion $y(x)=f^{\prime}(x)$ und ihrer Umkehrung $x(y)$ in Abb. 7.6, bei der angenommen wurde, dass x und $f^{\prime}(x)$ gleichzeitig positiv sind. Die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen ist bis auf eine Integrationskonstante die ursprüngliche Funktion $f(x)$. Um $90^{\circ}$ gedreht kann der Funktionsgraph als $x=g^{\prime}(y)$ gelesen werden, wobei bis auf eine Konstante $g(y)$ die Fläche darunter ist. Die Summe der beiden Flächen ist offenbar xy,

$$f(x)+g(y)=xy,\quad y=f^{\prime}(x)\mbox{\; bzw.\ \;}x=g^{\prime}(y),$$

(7.120)

was gerade der Definition der Legendre‐Transformation entspricht. Diese Argumentation kann leicht auf die Fälle negativer x und/oder negativer $f^{\prime}(x)$ verallgemeinert werden (Skarke 2013).

Abb. 7.6

Geometrischer Beweis dafür, dass die Legendre‐Transformation ihr eigenes Inverses ist (Skarke 2013)

7.3

Die Definition der Poisson‐Klammern (7.22) ist

$$\{F,G\}:=\sum_{i=1}^{f}\left(\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}}-\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial x_{i}}\right).$$

(7.121)

Für $F=L_{i}$ und $G=L_{j}$ findet man

$$\begin{aligned}\{L_{j},L_{k}\}=&\sum_{i}\left(\frac{\partial(\varepsilon_{jlm}x_{l}p_{m})}{\partial x_{i}}\frac{\partial(\varepsilon_{knr}x_{n}p_{r})}{\partial p_{i}}\right.\\ &\quad-\left.\frac{\partial(\varepsilon_{jlm}x_{l}p_{m})}{\partial p_{i}}\frac{\partial(\partial\varepsilon_{knr}x_{n}p_{r})}{\partial x_{i}}\right)\\ =&\sum_{i}\left(\varepsilon_{jlm}\delta_{il}p_{m}\varepsilon_{knr}x_{n}\delta_{ir}-\varepsilon_{jlm}x_{l}\delta_{im}\varepsilon_{knr}\delta_{in}p_{r}\right).\end{aligned}$$

(7.122)

Bis hierhin wurden nur die Ableitungen berechnet. Es muss beachtet werden, dass über alle doppelt auftretenden Indizes summiert wird. Nur für den Index i wurde das Summenzeichen explizit hingeschrieben, da es aus der Definition der Poisson‐Klammern stammt. Im Folgenden wird die Summation über i, l und m ausgeführt:

$$\begin{aligned}\{L_{j},L_{k}\}&=\varepsilon_{jrm}\varepsilon_{knr}p_{m}x_{n}-\varepsilon_{jln}\varepsilon_{knr}x_{l}p_{r}\\ &=\varepsilon_{rmj}\varepsilon_{rkn}p_{m}x_{n}-\varepsilon_{njl}\varepsilon_{nrk}x_{l}p_{r}\\ &=(\delta_{km}\delta_{jn}-\delta_{mn}\delta_{jk})p_{m}x_{n}-(\delta_{jr}\delta_{kl}-\delta_{jk}\delta_{lr})x_{l}p_{r}\\ &=p_{k}x_{j}-x_{k}p_{j}\\ &=\varepsilon_{jkl}L_{l}.\end{aligned}$$

(7.123)

Den letzten Schritt überprüft man mithilfe der Definition des Drehimpulses (7.91).

Für die zweite zu bestimmende Poisson‐Klammer sieht man zunächst

$$\{{\boldsymbol{L}}^{2},L_{k}\}=\{L_{j}L_{j},L_{k}\},$$

(7.124)

wobei über j summiert wird. Hier kann man die Produktregel

$$\{A,BC\}=B\{A,C\}+C\{A,B\}$$

(7.125)

ausnutzen:

$$\{L_{j}L_{j},L_{k}\}=2L_{j}\{L_{j},L_{k}\}.$$

(7.126)

Wir sind damit schon fast fertig, denn man kann das Ergebnis (7.123) verwenden:

$$\{L_{j}L_{j},L_{k}\}=2L_{j}\varepsilon_{jkl}L_{l}.$$

(7.127)

Es wird über j und l summiert. Das Produkt $L_{j}L_{l}$ ist symmetrisch, das Levi‐Civita‐Symbol $\varepsilon_{jkl}$ aber antisymmetrisch unter der Vertauschung $j\leftrightarrow l$. Daher ist das Ergebnis null:

$$\{{\boldsymbol{L}}^{2},L_{k}\}=0.$$

(7.128)

Die Ergebnisse (7.123) und (7.128 ) spielen in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle. Dort werden die Poisson‐Klammern durch die sogenannten Kommutatoren ersetzt.

7.4

• (a) Eine Punkttransformation bedeutet, dass die neuen Koordinaten Q _i von den alten q _i abhängen. Da die Erzeugende F ₁ aber die Unabhängigkeit von q _i und Q _i voraussetzt, würde dies zu einem Widerspruch führen.

• (b) Verwendet man $F_{2}(t,q,P)$, so gilt zunächst

  $$Q_{i}=\frac{\partial F_{2}(t,q,P)}{\partial P_{i}}=f_{i}(t,q).$$

  (7.129)

  Diese Gleichung kann aufintegriert werden zu

  $$F_{2}(t,q,P)=\sum_{i}\int f_{i}(t,q)\,\mathrm{d}P_{i}=\sum_{i}f_{i}(t,q)P_{i}+C(t,q).$$

  (7.130)

  Dies bedarf einiger Kommentare. Zum einen muss über i summiert werden, da über alle P _i , die voneinander unabhängig sind, zu integrieren ist. Dies entspricht dem Vorgehen, das Potenzial aus einem konservativen Kraftfeld in kartesischen Koordinaten zu berechnen: Dort muss über alle drei kartesische Koordinaten integriert werden (Abschn. 1.6). Da die Funktionen f _i nicht von den P _i abhängen, kann die Integration direkt ausgeführt werden. Dabei tritt im Allgemeinen eine von P _i unabhängige „Integrationskonstante“ auf, die jedoch von allen q _i und der Zeit abhängen kann: $C(t,q)$. Schließlich muss noch

  $$\begin{aligned}p_{i}(t,q,P)&=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\sum_{j}f_{j}(t,q)P_{j}+C(t,q)\right)\\ &=h_{i}(t,q,P)\end{aligned}$$

  (7.131)

  gelten. Da die Impulse P _i in F ₂ nur höchstens linear auftreten, gilt dies auch für h _i . Die Funktionen $f_{i}(t,q)$ und $h_{i}(t,q,P)$ sind also eng, aber nicht eindeutig miteinander verknüpft: Die Wahl von $C(t,q)$ ist beliebig (die Funktion muss jedoch differenzierbar sein).

• (c) Es sind genau dann alle Punkttransformationen kanonisch, wenn alle Funktionen $f_{i}(t,q)$ mit kanonischen Transformationen vereinbar sind. Allerdings wird die Wahl von f _i nur dadurch eingeschränkt, dass $f_{i}(t,q)$ differenzierbar ist, damit die p _i berechnet werden können. Ansonsten ist $f_{i}(t,q)$ beliebig.

7.5

• (a) Das Differenzial von $F^{\prime}_{2}$ ist

  $$\mathrm{d}F^{\prime}_{2}(t,q,P)=\sum_{i}\left(\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial q_{i}}\mathrm{d}q_{i}+\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial P_{i}}\mathrm{d}P_{i}\right)+\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial t}\mathrm{d}t.$$

  (7.132)

  Andererseits kennen wir das Differenzial (7.95). Offensichtlich können die Differenziale noch nicht miteinander verglichen werden, da in (7.132) $\mathrm{d}P_{i}$, in (7.95) aber $\mathrm{d}Q_{i}$ auftritt. Da die q _i und P _i die unabhängigen Größen sind, können wir allerdings

  $$\mathrm{d}Q_{i}(t,q,P)=\sum_{j}\left(\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}\mathrm{d}q_{j}+\frac{\partial Q_{i}}{\partial P_{j}}\mathrm{d}P_{j}\right)+\frac{\partial Q_{i}}{\partial t}\mathrm{d}t$$

  (7.133)

  schreiben. Setzt man (7.133) in (7.95) ein, folgt

  $$\begin{aligned}\mathrm{d}F^{\prime}_{2}(t,q,P)&=\sum_{i}\left(p_{i}\,\mathrm{d}q_{i}-P_{i}\sum_{j}\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}\mathrm{d}q_{j}\right)\\ &\quad-\sum_{i}P_{i}\sum_{j}\frac{\partial Q_{i}}{\partial P_{j}}\mathrm{d}P_{j}\\ &\quad-\sum_{i}P_{i}\frac{\partial Q_{i}}{\partial t}\mathrm{d}t+\left(H^{\prime}-H\right)\mathrm{d}t.\end{aligned}$$

  (7.134)

  Dies ist mit (7.132) zu vergleichen. Aufgrund der Unabhängigkeit der Differenziale gilt zunächst

  $$\sum_{i}\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial q_{i}}\mathrm{d}q_{i}=\sum_{i}\left(p_{i}\,\mathrm{d}q_{i}-P_{i}\sum_{j}\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}\mathrm{d}q_{j}\right).$$

  (7.135)

  Wir benennen nun die Summationsindizes im zweiten Term auf der rechten Seite folgendermaßen um: i wird in j und gleichzeitig j in i umbenannt. Dies ist möglich, da über beide Indizes summiert wird. Es folgt also

  $$\sum_{i}\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial q_{i}}\mathrm{d}q_{i}=\sum_{i}p_{i}\,\mathrm{d}q_{i}-\sum_{j}P_{j}\sum_{i}\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}\mathrm{d}q_{i}.$$

  (7.136)

  Da alle $\mathrm{d}q_{i}$ unabhängig sind, kann man den Vergleich auf

  $$p_{i}=\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial q_{i}}+\sum_{j}P_{j}\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}$$

  (7.137)

  reduzieren. Nun sind aber die P _j nach Voraussetzung von den q _i unabhängig; man kann also

  $$p_{i}=\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(F^{\prime}_{2}+\sum_{j}Q_{j}P_{j}\right)=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}$$

  (7.138)

  schreiben, was die erste zu zeigende Gleichung ist.

  Der Vergleich der Koeffizienten der $\mathrm{d}P_{i}$ führt auf

  $$\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial P_{i}}=-\sum_{j}P_{j}\frac{\partial Q_{j}}{\partial P_{i}}.$$

  (7.139)

  Dies kann wegen $\partial P_{j}/\partial P_{i}=\delta_{ij}$ umgeschrieben werden in

  $$0=\frac{\partial}{\partial P_{i}}\left(F^{\prime}_{2}+\sum_{j}Q_{j}P_{j}\right)-Q_{i}$$

  (7.140)

  und schließlich in die gewünschte Form

  $$Q_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{i}}.$$

  (7.141)

  Es ist nur noch der Zusammenhang für die Hamilton‐Funktionen H und $H^{\prime}$ zu zeigen. Ein Vergleich des Zeitdifferenzials führt auf

  $$\frac{\partial F^{\prime}_{2}}{\partial t}=-\sum_{i}P_{i}\frac{\partial Q_{i}}{\partial t}+\left(H^{\prime}-H\right)$$

  (7.142)

  oder, da die P _i und t unabhängig sind,

  $$H^{\prime}=H+\frac{\partial}{\partial t}\left(F^{\prime}_{2}+\sum_{i}Q_{i}P_{i}\right)=H+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}.$$

  (7.143)

• (b) Wir haben gesehen, dass

  $$F_{2}(t,q,P)=F^{\prime}_{2}(t,q,P)+\sum_{j}Q_{j}P_{j}$$

  (7.144)

  gilt. Vergleicht man (7.44) und (7.95) und verlangt, dass man es mit derselben kanonischen Transformation zu tun hat, so sieht man, dass $F_{1}(t,q,Q)$ und $F^{\prime}_{2}(t,q,P)$ identische Größen sind, allerdings ausgedrückt durch verschiedene unabhängige Koordinaten. Somit ist

  $$\begin{aligned}F_{2}(t,q,P)&=F_{1}(t,q,Q)+\sum_{i}Q_{i}P_{i}(t,q,Q)\\ &=F_{1}(t,q,Q)-\sum_{i}Q_{i}\frac{\partial F_{1}(t,q,Q)}{\partial Q_{i}},\end{aligned}$$

  (7.145)

  d. h., die Erzeugenden F ₁ und F ₂, welche dieselbe kanonische Transformation erzeugen, gehen durch eine Legendre‐Transformation ineinander über (wobei eine noch mögliche Konstante ignoriert wurde).

7.6

• (a) Die Geschwindigkeiten sind

  $$\dot{x}=\dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi,\quad\dot{y}=\dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi.$$

  (7.146)

  Daraus folgt die kinetische Energie bzw. Lagrange‐Funktion

  $$L=T=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\right).$$

  (7.147)

  Die generalisierten Impulse lauten entsprechend

  $$p_{r}=\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},\quad p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^{2}\dot{\varphi}.$$

  (7.148)

  Die Hamilton‐Funktion ist

  $$H=\dot{r}p_{r}+\dot{\varphi}p_{\varphi}-L=\frac{1}{2}\left(\frac{p_{r}^{2}}{m}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{mr^{2}}\right).$$

  (7.149)

  Aus ihr folgen die Hamilton’schen Gleichungen

  $$\begin{aligned}\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m},&\quad\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}},\\ \dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\varphi}^{2}}{mr^{3}}&\quad\dot{p}_{\varphi}=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0.\end{aligned}$$

  (7.150)

  Da $\varphi$ zyklisch ist, ist $p_{\varphi}$ erhalten. Diese Gleichungen können mit den Gleichungen des Zentralkraftproblems in Abschn. 3.2 verglichen werden.

• (b) Durch Einsetzen von (7.148) in (7.146) folgt

  $$\begin{aligned}p_{x}&=m\dot{x}=p_{r}\cos\varphi-\frac{p_{\varphi}}{r}\sin\varphi,\\ p_{y}&=m\dot{y}=p_{r}\sin\varphi+\frac{p_{\varphi}}{r}\cos\varphi.\end{aligned}$$

  (7.151)

  Somit sind die kartesischen Koordinaten $(x,y)$ und Impulse $(p_{x},p_{y})$ als Funktion der Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ und der entsprechenden Impulse $(p_{r},p_{\varphi})$ bekannt.

• (c) Man erkennt bereits, dass es sich um eine Punkttransformation handelt, da x und y nur von r und $\varphi$ abhängen. Wir erwarten also, dass die Transformation kanonisch ist. Außerdem sind deswegen alle Ableitungen von x und y nach p _r und $p_{\varphi}$ null, was die Berechnung der fundamentalen Poisson‐Klammern beschleunigt. Tatsächlich findet man dadurch schnell, dass die Poisson‐Klammer $\{x,y\}_{r,\varphi,p_{r},p_{\varphi}}$ identisch verschwindet. Wegen der Definition der Poisson‐Klammern sind auch $\{x,x\}_{r,\varphi,p_{r},p_{\varphi}}$ und $\{y,y\}_{r,\varphi,p_{r},p_{\varphi}}$ sowie $\{p_{x},p_{x}\}_{r,\varphi,p_{r},p_{\varphi}}$ und $\{p_{y},p_{y}\}_{r,\varphi,p_{r},p_{\varphi}}$ null. Wir verzichten im Folgenden zur besseren Übersicht auf den Index der Poisson‐Klammern. Es ist noch

  $$\begin{aligned}\{p_{x},p_{y}\}&=\frac{\partial p_{x}}{\partial r}\frac{\partial p_{y}}{\partial p_{r}}+\frac{\partial p_{x}}{\partial\varphi}\frac{\partial p_{y}}{\partial p_{\varphi}}-\frac{\partial p_{x}}{\partial p_{r}}\frac{\partial p_{y}}{\partial r}-\frac{\partial p_{x}}{\partial p_{\varphi}}\frac{\partial p_{y}}{\partial\varphi}\\ &=\frac{p_{\varphi}}{r^{2}}\sin^{2}\varphi+\left(-p_{r}\sin\varphi-\frac{p_{\varphi}}{r}\cos\varphi\right)\frac{\cos\varphi}{r}\\ &\quad+\frac{p_{\varphi}}{r^{2}}\cos^{2}\varphi+\frac{1}{r}\sin\varphi\left(p_{r}\cos\varphi-\frac{p_{\varphi}}{r}\sin\varphi\right)\\ &=0.\end{aligned}$$

  (7.152)

  Wir berechnen die verbleibenden Poisson‐Klammern,

  $$\begin{aligned}\{x,p_{x}\}&=\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1,\\ \{y,p_{y}\}&=\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1,\end{aligned}$$

  (7.153)

  sowie

  $$\begin{aligned}\{x,p_{y}\}&=\cos\varphi\sin\varphi-\sin\varphi\cos\varphi=0,\\ \{y,p_{x}\}&=\sin\varphi\cos\varphi-\cos\varphi\sin\varphi=0.\end{aligned}$$

  (7.154)

  Damit ist gezeigt, dass die Transformation tatsächlich kanonisch ist.

• (d) Aus der Erzeugenden F ₃ (7.99) lassen sich die folgenden Gleichungen ableiten:

  $$\begin{aligned}p_{r}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial r}&=p_{x}\cos\varphi+p_{y}\sin\varphi,\\ p_{\varphi}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial\varphi}&=-p_{x}r\sin\varphi+p_{y}r\cos\varphi,\\ x=-\frac{\partial F_{3}}{\partial p_{x}}&=r\cos\varphi,\\ y=-\frac{\partial F_{3}}{\partial p_{y}}&=r\sin\varphi.\end{aligned}$$

  (7.155)

  Die letzten beiden Gleichungen sind offensichtlich die bereits bekannten Transformationsgleichungen für die Orte. Die ersten beiden lassen sich nach p _x und p _y auflösen, was unmittelbar auf (7.151) führt.

7.7

• (a) Zunächst ist

  $$p=\frac{\partial F_{1}(q,Q)}{\partial q}=m\omega q\cot Q.$$

  (7.156)

  Der transformierte Impuls lautet wegen $\mathrm{d}\cot x/\mathrm{d}x=-1/\sin^{2}x$

  $$P=-\frac{\partial F_{1}(q,Q)}{\partial Q}=\frac{m\omega}{2}\frac{q^{2}}{\sin^{2}Q}.$$

  (7.157)

  Man kann sofort die folgenden Transformationsgleichungen ablesen:

  $$Q(q,p)={\mathrm{arccot\> }}\left(\frac{1}{m\omega}\frac{p}{q}\right)$$

  (7.158)

  und

  $$\lvert q(Q,P)\rvert=\sqrt{\frac{2P}{m\omega}}\lvert\sin Q\rvert.$$

  (7.159)

  Durch Einsetzen von (7.159) in (7.156) findet man die dritte Gleichung:

  $$p(Q,P)=\sqrt{2m\omega P}\cos Q.$$

  (7.160)

  Es verbleibt noch die Relation für $P(q,p)$. Sie folgt aus (7.157) und (7.158). Mithilfe von (7.102) bekommt man

  $$P(q,p)=\frac{m\omega}{2}q^{2}+\frac{p^{2}}{2m\omega}.$$

  (7.161)

  Man erkennt bereits, dass

  $$P=\frac{E}{\omega}$$

  (7.162)

  ist. Wir wollen allerdings formal die Hamilton‐Funktion $H^{\prime}(Q,P)$ berechnen, um dies zu zeigen. Setzt man in $H(q,p)$ die Transformationsgleichungen $q(Q,P)$ und $p(Q,P)$ ein, folgt

  $$H^{\prime}(Q,P)=\omega P\cos^{2}Q+\omega P\sin^{2}Q=\omega P.$$

  (7.163)

• (b) Die neue Koordinate Q ist zyklisch und der generalisierte Impuls P erhalten. Da P bis auf einen konstanten Vorfaktor der Energie entspricht, ist auch die Energie erhalten. Die Bewegungsgleichung für Q lautet

  $$\dot{Q}=\frac{\partial H^{\prime}(Q,P)}{\partial P}=\omega={\mathrm{const}}.$$

  (7.164)

  Die Lösung ist daher

  $$Q=\omega t+Q_{0}$$

  (7.165)

  mit einer geeignet zu wählenden Konstanten Q ₀. Dieses Ergebnis wird in (7.159) eingesetzt, wobei wir noch Q ₀ in $-\phi$ umbenennen. Das Ergebnis ist die wohlbekannte Lösung

  $$q(t)=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^{2}}}\sin(\omega t-\phi).$$

  (7.166)

  Der Term vor dem Sinus ist gerade die Amplitude und ϕ die Phasenverschiebung der Schwingung.

Obwohl die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators einfacher bestimmt werden kann, ist dieses Beispiel doch sehr instruktiv. Insbesondere erkennt man, dass durch eine geeignete kanonische Transformation die Anzahl der zyklischen Koordinaten erhöht werden kann. In diesem Fall gibt es sogar keine nichtzyklische Koordinate mehr; man hat es also mit Winkel‐ und Wirkungsvariablen zu tun. Es wird weiterhin deutlich, dass die generalisierten Koordinaten und Impulse mit den kartesischen Koordinaten und Newton’schen Impulsen im Allgemeinen nichts mehr zu tun haben.