Quantenstatistik

Kapitelvorwort

Wie lassen sich die bisher entwickelten Konzepte aus der klassischen Physik in die Quantenphysik übertragen?

Wie verhalten sich ideale Quantengase?

Welche Merkmale kennzeichnen Bose- und Fermigase?

Welche Unterschiede zu klassischen idealen Gasen treten auf?

Welche Wärmekapazität haben Festkörper bei niedrigen Temperaturen?

In diesem Kapitel erweitern wir die bisherigen Überlegungen auf quantale Systeme. In Abschn. 37.1 und 37.2 zeigen wir, dass die grundlegenden Konzepte der bisher anhand klassischer Systeme entwickelten Thermodynamik und der statistischen Physik direkt auf quantale Systeme übertragbar sind, wenn folgende Ersetzungen vorgenommen werden: An die Stelle des klassischen Zustandsraumes, des Phasenraumes, tritt der Hilbert‐Raum bzw. der daraus konstruierte Fock‐Raum; an die Stelle der Phasenraumdichten treten geeignete Dichteoperatoren; und anstelle der Integration über den Phasenraum treten Spurbildungen. Danach können Zustandssummen ganz analog zum klassischen Fall aufgestellt werden, woraus wie dort die thermodynamischen Potenziale folgen.

Mithilfe der so gewonnenen Erweiterung der statistischen Physik auf quantale Systeme diskutieren wir zunächst die Unterschiede zwischen fermionischen und bosonischen idealen Quantengasen. Wir leiten in Abschn. 37.3 allgemeine Eigenschaften für ideale, nichtrelativistische Quantengase her und betrachten dann in Abschn. 37.4 und 37.5 vor allem zwei Phänomene separat, die einerseits für fermionische, andererseits für bosonische Gase kennzeichnend sind, nämlich die Entartung und die Bose‐Einstein‐Kondensation. Relativistische Quantengase werden in Abschn. 37.6 anhand der beiden Grenzfälle vollständig entarteter Fermi‐Gase und ultrarelativistischer Bose‐Gase besprochen. Abschließend behandeln wir in Abschn. 37.7 die Debye‐Theorie der Wärmekapazitäten fester Körper und zeigen, dass das klassische Dulong‐Petit‐Gesetz aus Abschn. 36.2 nur im Grenzfall ausreichend hoher Temperaturen gilt.

Appendices

So geht’s weiter

1.1 Weiße Zwerge

Die Tatsache, dass Druck und Energiedichte eines ultrarelativistischen Quantengases durch (37.124) miteinander verbunden sind, führt zu einer für die Astrophysik der Sterne bemerkenswerten Konsequenz. Wenn ein nicht sehr massereicher Stern seinen nuklearen Brennstoffvorrat verbraucht hat, kann er in seinem Inneren keine Energie mehr erzeugen. Sein zentraler Druck nimmt daraufhin ab, dementsprechend auch sein Druckgradient, der ihn gegen seine Eigengravitation stabilisieren muss. Deshalb zieht sich der Stern so lange zusammen, bis die Elektronen in seinem Kern entarten und der Stern dank ihres Entartungsdruckes ein neues Gleichgewicht einnehmen kann. Ein solches Endstadium der Sternentwicklung wird Weißer Zwerg genannt (Abb. 37.13 ). Wie wir in (37.82) gesehen haben, entarten die Atomkerne wegen ihrer weit größeren Masse erst bei erheblich niedrigerer Temperatur als die Elektronen und tragen deswegen zum Entartungsdruck nicht bei.

Zur Vereinfachung gehen wir von Anfang an davon aus, dass die Elektronen nicht nur vollständig entartet, sondern auch ultrarelativistisch sein müssen, was wir anhand unserer Ergebnisse am Ende werden überprüfen müssen.

Abb. 37.13

Weiße Zwerge im Kugelsternhaufen NGC 6397, die je nach ihrem geschätzten Alter durch rote Kreise (zwischen 1,4 und 3,5 Milliarden Jahre) und blaue Quadrate (weniger als 800 Millionen Jahre) markiert sind. © NASA, ESA, and H. Richer (University of British Columbia)

Für eine kugelsymmetrische Gasverteilung der Dichte $\rho(r)$ mit dem Druck $P(r)$ im hydrostatischen Gleichgewicht mit seinem eigenen Gravitationsfeld gilt zudem die hydrostatische Gleichung

$$\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM(r)}{r^{2}}=-\frac{4\uppi G}{r^{2}}\int_{0}^{r}\bar{r}^{2}\rho(\bar{r})\mathrm{d}\bar{r}\,.$$

(37.183)

Sie folgt im statischen Fall aus der Euler’schen Gleichung (8.173) für ideale Flüssigkeiten, wenn für die äußere Kraftdichte ${\boldsymbol{f}}$ diejenige des Gravitationsfeldes $-\rho{\boldsymbol{\nabla}}\Phi$ eingesetzt und Kugelsymmetrie angenommen wird.

Eine weitere Ableitung nach r bringt (37.203 ) in die Form

$$\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{r^{2}}{\rho}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}\right)=-4\uppi G\rho\,.$$

(37.184)

Nun nehmen wir an, dass der Druck und die Dichte durch die Polytropengleichung

$$P=P_{0}\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)^{\alpha}$$

(37.185)

miteinander verbunden sind, die wir bereits in (33.59) eingeführt haben. Dabei fassen wir $\rho_{0}$ und P ₀ als die Dichte und den Druck im Zentrum des Sterns auf. Verwenden wir dann anstelle des Polytropenindex α den Polytropenexponenten

$$n=\frac{1}{\alpha-1}\,,$$

(37.186)

ersetzen die Dichte durch die dimensionslose Funktion θ gemäß

$$\frac{\rho}{\rho_{0}}=\theta^{\,n}$$

(37.187)

und führen ferner anhand der Längenskala

$$r_{0}=\left[\frac{(1+n)P_{0}}{4\uppi G\rho_{0}^{2}}\right]^{1/2}$$

(37.188)

den dimensionslosen Radius $x=r/r_{0}$ ein, dann können wir (37.204 ) in die Gestalt der Lane‐Emden‐Gleichung

$$\frac{1}{x^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\right)+\theta^{n}=0$$

(37.189)

bringen (benannt nach dem amerikanischen Astrophysiker Jonathan Homer Lane, 1819–1880, und dem schweizer Physiker, Astrophysiker und Meteorologen Robert Emden, 1862–1940).

Frage 20

Vollziehen Sie die einzelnen Schritte nach, die zur Lane‐Emden‐Gleichung (36.189) führen.

Wenn wir diese Gleichung für $\alpha=4/3$ oder n = 3 numerisch mit den Anfangsbedingungen $\theta=1$ und $\theta^{\prime}=0$ bei x = 0 integrieren, erhalten wir $x_{*}^{2}\theta^{\prime}(x_{*})\approx-2{,}02$ am Rand des Sterns, der durch $\theta(x_{*})=0$ definiert ist und bei $x_{*}=6{,}90$ erreicht wird. Daraus können wir auf die Gesamtmasse des Sterns schließen, denn aufgrund der Lane‐Emden‐Gleichung und der Definition (36.187) ist

$$M =4\uppi r_{0}^{3}\rho_{0}\int_{0}^{x_{*}}x^{2}\theta^{n}\mathrm{d}x=-4\uppi r_{0}^{3}\rho_{0}\int_{0}^{x_{*}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x$$

$$ =4\uppi r_{0}^{3}\rho_{0}\left|x_{*}^{2}\theta^{\prime}(x_{*})\right|\approx 8{,}08\uppi r_{0}^{3}\rho_{0}$$

$$ =8{,}08\uppi\left[\frac{(1+n)P_{0}}{4\uppi G\rho_{0}^{4/3}}\right]^{3/2}\,.$$

(37.190)

Schließlich setzen wir für P ₀ und $\rho_{0}$ noch den Fermi‐Druck und die Dichte eines vollständig entarteten, ultrarelativistischen Elektronengases ein. Dann ist zunächst der Fermi‐Druck aufgrund von (Ch37.E151) durch

$$P_{0}=P_{\mathrm{F}}=\frac{u_{\mathrm{F}}}{3}=\frac{c\hbar}{12\uppi^{2}}k_{\mathrm{F}}^{4}$$

(37.191)

gegeben, wobei abermals ein Faktor zwei der Spinentartung des Elektrons Rechnung trägt und $\epsilon_{\mathrm{F}}=c\hbar k_{\mathrm{F}}$ verwendet wurde. Ebenso ergibt sich die Teilchendichte zu

$$n_{\mathrm{F}}=\frac{k_{\mathrm{F}}^{3}}{3\uppi^{2}}\,,$$

(37.192)

woraus wir die Massendichte

$$\rho_{\mathrm{F}}=\bar{m}_{\mathrm{e}}n_{\mathrm{F}}=\frac{\bar{m}_{\mathrm{e}}k_{\mathrm{F}}^{3}}{3\uppi^{2}}$$

(37.193)

erhalten. Darin tritt die mittlere Masse $\bar{m}_{\mathrm{e}}$ pro Elektron auf, die wir durch das mittlere „Molekulargewicht“ $\mu_{\mathrm{e}}$ des Elektrons ausdrücken. Es ist durch

$$\rho=n_{\mathrm{e}}m_{\mathrm{p}}\mu_{\mathrm{e}}$$

(37.194)

definiert und gibt die Masse in atomaren Masseneinheiten an, die im Mittel auf jedes Elektron entfällt, sodass $\bar{m}_{\mathrm{e}}=m_{\mathrm{p}}\mu_{\mathrm{e}}$ ist. In dieser Gleichung ist $n_{\mathrm{e}}$ die Teilchendichte der Elektronen, während $m_{\mathrm{p}}=1{,}6726\cdot 10^{-24}\,\mathrm{g}$ die Masse des Protons angibt. Bezeichnen wir die mittlere Dichte der Atome mit $n_{\mathrm{A}}$, deren Masse $m_{\mathrm{A}}$ mithilfe der Massenzahl A durch $m_{\mathrm{A}}=Am_{\mathrm{p}}$ und führen die Ladungszahl Z ein, gilt außerdem

$$\rho=n_{\mathrm{A}}Am_{\mathrm{p}}+n_{\mathrm{A}}Zm_{\mathrm{e}}\approx n_{\mathrm{A}}Am_{\mathrm{p}}\,.$$

(37.195)

Ein Vergleich von (36.194) und (36.195) ergibt

$$\mu_{\mathrm{e}}=\frac{A}{Z}\,,$$

(37.196)

da die Teilchendichten der Elektronen und der Atome durch $n_{\mathrm{e}}=Zn_{\mathrm{A}}$ verbunden sind.

Entscheidend ist nun, dass das Verhältnis aus $P_{0}=P_{\mathrm{F}}$ und $\rho_{0}^{4/3}=\rho_{\mathrm{F}}^{4/3}$, das in der Massenformel (36.190) vorkommt, von der Fermi‐Wellenzahl unabhängig wird, denn die Masse M hängt dann nur noch von Konstanten ab, aber nicht mehr vom konkreten Stern. Indem wir den Fermidruck (36.191), die Fermidichte (36.193) und $\bar{m}_{\mathrm{e}}=m_{\mathrm{p}}\mu_{\mathrm{e}}$ in (37.210 ) einsetzen und geeignet kürzen, finden wir

$$M=3{,}1\,\frac{m_{\mathrm{Pl}}^{3}}{\mu_{\mathrm{e}}^{2}m_{\mathrm{p}}^{2}}\,,$$

(37.197)

worin die Planck‐Masse

$$m_{\mathrm{Pl}}=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}=2{,}1765\cdot 10^{-5}\,\mathrm{g}$$

(37.198)

erscheint. Setzen wir die Zahlenwerte für die Planck‐Masse und die Protonenmasse in (37.217 ) ein, erhalten wir die Chandrasekhar‐Masse

$$\begin{aligned}M&=\frac{5{,}71\,M_{\odot}}{\mu_{\mathrm{e}}^{2}}\,,\\ M_{\odot}&=\mbox{eine Sonnenmasse}=1{,}989\cdot 10^{33}\,\mathrm{g}\,,\end{aligned}$$

(37.199)

die der indisch‐US‐amerikanische Astrophysiker Subrahmanyan Chandrasekhar (1910–1995) als 19-Jähriger fand. Wenn im Kern des Weißen Zwergs Eisen dominiert, genauer ${}^{56}_{26}$Fe, ist $\mu_{\mathrm{e}}\approx 2{,}15$, und die Chandrasekhar‐Masse nähert sich der Sonnenmasse, $M\approx 1{,}24\,M_{\odot}$.

Ganz analog erhalten wir aus (36.188) die Längenskala

$$r_{0}=\sqrt{\frac{3\uppi}{4}}\frac{m_{\mathrm{Pl}}}{\mu_{\mathrm{e}}m_{\mathrm{p}}}\frac{1}{k_{\mathrm{F}}}$$

(37.200)

und mit $x_{*}=6{,}90$ den Sternradius

$$R_{*}=\frac{10{,}6}{k_{\mathrm{F}}}\,\frac{m_{\mathrm{Pl}}}{\mu_{\mathrm{e}}m_{\mathrm{p}}}\,.$$

(37.201)

Aus Beobachtungen schließt man auf Radien Weißer Zwerge, die etwa ein Hunderstel des Sonnenradius betragen, oder $\sim 7\cdot 10^{8}\,\mathrm{cm}$. Mithilfe dieses Befunds können wir aus (36.201) schließen, dass die Fermi‐Energie eines Elektrons im Inneren eines Weißen Zwergs

$$\epsilon_{\mathrm{F}}=c\hbar k_{\mathrm{F}}=10{,}6\,\frac{\hbar c}{R_{*}}\frac{m_{\mathrm{Pl}}}{\mu_{\mathrm{e}}m_{\mathrm{p}}}\approx 6{,}2\cdot 10^{-6}\,\frac{\mathrm{erg}}{\mu_{\mathrm{e}}}\approx 3{,}9\,\frac{\mathrm{MeV}}{\mu_{\mathrm{e}}}$$

(37.202)

beträgt und damit erheblich über der Ruheenergie eines Elektrons liegt. Unsere Annahme relativistischer Elektronen erscheint dadurch nachträglich gerechtfertigt.

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

37.1 •• Wahrscheinlichkeit von Zuständen

Ein abgeschlossenes quantales System $\bar{\mathcal{S}}$ sei aus den beiden Teilsystemen $\mathcal{S}$ und $\mathcal{U}$ zusammengesetzt, die untereinander nur Energie austauschen können. $\bar{\mathcal{S}}$ werde durch die mikrokanonische Verteilung beschrieben. $\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)$ sei die Zahl der Mikrozustände von $\bar{\mathcal{S}}$ mit Energien im Intervall $[\bar{E},\bar{E}+\Updelta]$. $\Upomega_{\mathcal{U}}(E_{\mathcal{U}},\Updelta)$ sei die Zahl der Mikrozustände von $\mathcal{U}$ im Energieintervall $[E_{\mathcal{U}},E_{\mathcal{U}}+\Updelta]$. $p(E_{n})$ sei die Wahrscheinlichkeit dafür, das quantale System $\mathcal{S}$ im Mikrozustand $|n\rangle$ mit der Energie E _n zu finden.

• (a) Drücken Sie $p(E_{n})$ durch $\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}$ und $\Upomega_{\mathcal{U}}$ aus.

• (b) Bestimmen Sie $p(E_{n})$ für $E_{n}\ll\bar{E}$, indem Sie $\ln p(E_{n})$ bis zur ersten Ordnung in E _n entwickeln. Verwenden Sie dabei die Abkürzung

  $$\beta=\left(\frac{\partial\ln\Upomega_{\mathcal{U}}}{\partial E}\right)_{\bar{E}}\,.$$

  (37.203)

  Diskutieren Sie die physikalische Bedeutung von β.

• (c) Ist das in Teilaufgabe b berechnete $p(E_{n})$ auch dann physikalisch sinnvoll, wenn $\mathcal{S}$ nur ein einzelnes Atom oder Molekül umfasst?

• (d) $\mathcal{S}$ sei nun ein Makrosystem. Geben Sie mithilfe des Ergebnisses aus Teilaufgabe a den allgemeinen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit $w(E)$ dafür an, das System $\mathcal{S}$ im Energieintervall $[E,E+\delta E]$ zu finden. Diskutieren Sie den Verlauf von $w(E)$.

37.2 • Gleichverteilungssatz für klassische und quantale Systeme

Die Wechselwirkung von N gleichartigen klassischen Teilchen der Masse m sei durch das Potenzial $V({\boldsymbol{q}}_{1},\ldots,{\boldsymbol{q}}_{N})$ gegeben. Das System befinde sich in einem Wärmebad der Temperatur T. Berechnen Sie die mittlere kinetische Energie pro Teilchen $\varepsilon$ als Funktion der Temperatur T. Gilt diese Herleitung auch für nichtrelativistische, quantale Teilchen?

37.3 •• Rotation und Vibration in Gasmolekülen

Die kanonische Zustandssumme eines idealen Gases aus N zweiatomigen Molekülen ist näherungsweise ein Produkt

$$Z_{\mathrm{k}}=\frac{1}{N!}\left[z_{\mathrm{trans}}z_{\mathrm{rot}}z_{\mathrm{vib}}\right]^{N}\,,$$

(37.204)

wobei $z_{\mathrm{rot}}$ bzw. $z_{\mathrm{vib}}$ die Beiträge der Rotations‐ bzw. der Schwingungsfreiheitsgrade eines Moleküls bezeichnen.

• (a) Bestimmen Sie $z_{\mathrm{rot}}$ und $z_{\mathrm{vib}}$ mit

  $$E_{j}^{\mathrm{rot}}=\frac{\hbar^{2}}{2I}j(j+1)\,,\quad E_{n}^{\mathrm{vib}}=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\,,$$

  (37.205)

  wobei $j\in\mathbb{N}_{0}$ und $n\in\mathbb{N}_{0}$ die Drehimpuls‐ und Schwingungsquantenzahlen sind. Ferner bezeichnen I das Trägheitsmoment und ω die Kreisfrequenz der Schwingungen eines Moleküls.

• (b) Die Energieskalen der Rotations‐ und der Schwingungszustände werden durch die charakteristischen Temperaturen

  $$\Theta_{\mathrm{rot}}=\frac{\hbar^{2}}{2Ik_{\mathrm{B}}}\quad\mbox{und}\quad\Theta_{\mathrm{vib}}=\frac{\hbar\omega}{k_{\mathrm{B}}}$$

  (37.206)

  gekennzeichnet. Bestimmen Sie für $T\gg\Theta_{\mathrm{rot}}$ die Beiträge der Molekülrotationen und ‐schwingungen zur freien Energie $f(T)$, Entropie $s(T)$ und spezifischen Wärme

  $$c_{V}(T)=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V}$$

  (37.207)

  pro Molekül. Skizzieren Sie $c_{V}^{\mathrm{vib}}(T)$.

Lösungshinweis:

Achten Sie bei der Berechnung von $z_{\mathrm{rot}}$ auf die Entartung der Rotationsniveaus und ersetzen Sie für $T\gg\Theta_{\mathrm{rot}}$ die Summe durch ein Integral. Mit welcher Begründung ist dies möglich?

37.4 •• Defekte in Festkörpern

Gewisse Einzeldefekte in Festkörpern können durch ein Zweiniveausystem mit den Energien $E_{0}=0$ und E ₁ beschrieben werden. Die Energie E ₁ sei eine Funktion der Defektdichte n ₀,

$$E_{1}=an_{0}^{\gamma}\,,$$

(37.208)

mit positiven Konstanten a und γ. Bestimmen Sie für ein System aus N ₀ Defekten in einem Volumen V, das sich in einem Wärmebad der Temperatur T befindet, die freie Energie und den Druck.

37.5 ••• Abdampfung von Metallelektronen

Ein Metall erfülle den Halbraum $z\leq 0$. Die (unabhängigen) Metallelektronen befinden sich näherungsweise in einem Potenzialtopf, der um $\Phi_{0}$ tiefer liegt als der Außenraum bei z > 0. Bei T > 0 werden Elektronen thermisch angeregt, aus dem Metall in den Halbraum z > 0 auszutreten und dort eine Dampfphase zu bilden, die im Gleichgewicht mit den Metallelektronen ist.

• (a) Bestimmen Sie die Dampfdichte und den Dampfdruck der Elektronen für

  $$k_{\mathrm{B}}T\ll\mu\quad\mbox{und}\quad k_{\mathrm{B}}T\ll\Phi\,,$$

  (37.209)

  wobei $\mu+\Phi=\Phi_{0}$ ist.

• (b) Berechnen Sie die Elektronenstromdichte aus dem Metall bei der Temperatur wie in Teilaufgabe (a).

Lösungshinweis:

Im Gleichgewicht zwischen Metall und Dampf ist die Austrittsstromdichte gleich der Zahl der Elektronen, die pro Zeit‐ und Flächeneinheit aus der Dampfphase auf die Metalloberfläche auftreffen. Reflexion werde vernachlässigt.

37.6 • Statistik mit Bosonen und klassischen Teilchen

Gegeben seien drei nichtentartete Einteilchenzustände mit den Einteilchenenergien $\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$ und $\varepsilon_{3}$.

• (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man dann bei einem Zweibosonensystem, das sich im thermischen Gleichgewicht mit einem Wärmebad der Temperatur T befindet, mindestens ein Teilchen im Einteilchenzustand mit der Energie $\varepsilon_{1}$?

• (b) Geben Sie mit kurzer Begründung die Entropie eines Zweiteilchensystems mit der scharfen Energie $E=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ für folgende Fälle an:

  • (1) Die Teilchen sind Bosonen.

  • (2) Die Teilchen sind unterscheidbar.

Lösungshinweis:

Überlegen Sie zunächst, wie sich die Teilchen auf die Zustände verteilen können.

37.7 •• Druck eines Quantengases

Ein System quantaler Teilchen sei in einem kubischen Gefäß mit dem Volumen V eingeschlossen. Die Energie jedes Teilchens sei eine homogene Funktion vom Grad n des Impulses, mit $n\in\mathbb{N}$.

• (a) Bestimmen Sie bei fester mittlerer Teilchenzahl $\langle N\rangle$ die Beziehung zwischen dem Druck P, dem Volumen V und der mittleren Energie U.

• (b) Was ändert sich, wenn sich das System in d statt in drei Dimensionen befindet?

37.8 •• Korrelation in einem Atomgitter

N Atome seien zufällig und unabhängig über ein Gitter $\{R_{i}|i=1,\ldots,N_{\mathrm{G}}\}$ mit $N\leq N_{\mathrm{G}}$ verteilt. Die Atomkonfigurationen werden durch Besetzungszahlen $\{\tau_{i}=0,1|i=1,\ldots,N_{\mathrm{G}}\}$ beschrieben, daher $\tau_{i}^{2}=\tau_{i}$. Die Wahrscheinlichkeit für eine Konfiguration lautet

$$\begin{aligned}W(\tau_{1},\ldots,\tau_{N_{\mathrm{G}}})&=\prod_{i=1}^{N_{\mathrm{G}}}w(\tau_{i})\,,\\ w(\tau_{i})&=c\tau_{i}+(1-c)(1-\tau_{i})\,.\end{aligned}$$

(37.210)

• (a) Ist W normiert? Berechnen Sie $\langle\tau_{j}\rangle$ für einen beliebigen Gitterplatz R _j . Welche physikalische Bedeutung hat demnach die Konstante c?

• (b) Berechnen Sie die Korrelationsfunktion

  $$\Upgamma_{jk}=\langle\tau_{j}\tau_{k}\rangle-\langle\tau_{j}\rangle\langle\tau_{k}\rangle$$

  (37.211)

  für $j=k$ und für $j\neq k$.

• (c) Die mittlere diffuse Intensität von Röntgenstrahlen, die an den Atomen gestreut werden, ist durch

  $$I_{D}=\langle|A|^{2}\rangle-|\langle A\rangle|^{2}$$

  (37.212)

  mit der Streuamplitude

  $$A=F\sum_{i}\tau_{i}\exp\left(\mathrm{i}QR_{i}\right)$$

  (37.213)

  gegeben, wobei $F={\mathrm{const}}$ die atomare Streuamplitude und Q die Wellenzahl des gestreuten Photons ist. Berechnen Sie I _D mit $\Upgamma_{jk}$ aus Teilaufgabe (b).

37.9 • Entropie eines Fermionen‐ und eines Bosonensystems

Gegeben seien unabhängige Teilchen mit den Einteilchenenergien $\varepsilon_{1}$ und $\varepsilon_{2}$. Beide Einteilchenenergien seien zweifach entartet, d. h., es gibt vier Einteilchenzustände.

• (a) Bestimmen Sie die kanonische Zustandssumme für ein Zweiteilchensystem bestehend aus Fermionen oder Bosonen.

• (b) Wie groß ist die Entropie des Zweiteilchensystems für die Energie $U=2\varepsilon_{1}$ im Fall von Fermionen oder Bosonen?

37.10 •• Zweidimensionales Spingas

Gegeben sei ein zweidimensionales Gas freier Spin‐1/2‐Teilchen mit periodischen Randbedingungen auf einer $L\times L$‐Periodizitätsfläche. Die Einteilchenenergien seien

$$\varepsilon({\boldsymbol{p}},s)=\frac{p^{2}}{2m}\,,\quad{\boldsymbol{p}}=p_{x}{\boldsymbol{e}}_{x}+p_{y}{\boldsymbol{e}}_{y}\,,\quad s=\pm\frac{1}{2}\,.$$

(37.214)

• (a) Geben Sie die mittlere Besetzungszahl $\langle n({\boldsymbol{p}},s)\rangle$ in der großkanonischen Gesamtheit an.

• (b) Leiten Sie mit den mittleren Besetzungszahlen die Bestimmungsgleichung für das chemische Potenzial μ bei vorgegebener Teilchenflächendichte $\nu=\langle n\rangle L^{-2}$ ab. Bestimmen Sie daraus μ explizit als Funktion von T und ν.

Lösungshinweis:

Die auftretenden Integrale lassen sich explizit ausrechnen.

Lösungen zu den Aufgaben

37.5

Dampfdichte $\langle n\rangle$ und Dampfdruck P sind

$$\langle n\rangle=\frac{2}{\lambda_{\mathrm{T}}^{3}}\mathrm{e}^{-\beta(\Phi_{0}-\mu)}\quad\mbox{und}\quad P=\langle n\rangle k_{\mathrm{B}}T$$

(37.215)

mit der thermischen Wellenlänge $\lambda_{\mathrm{T}}$; die Elektronenstromdichte ist

$$j=-e\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h\lambda_{\mathrm{T}}^{2}}\,\mathrm{e}^{-\beta(\Phi_{0}-\mu)}\,.$$

(37.216)

37.8

Das Ergebnis zu Teilaufgabe (b) ist die Korrelationsfunktion

$$\Upgamma_{jk}=\delta_{jk}c(1-c)\,.$$

(37.217)

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

37.1

• (a) Allgemein ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis A durch das Verhältnis der Anzahl der dem Ereignis günstigen und der Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse gegeben. Angewandt auf den hier betrachteten Fall steht A für das Ereignis „das Teilsystem $\mathcal{S}$ hat die Energie E _n “. Die restliche Energie $\bar{E}-E_{n}$ des Gesamtsystems $\bar{\mathcal{S}}$ muss dann dem Teilsystem $\mathcal{U}$ auf eine beliebige Weise zugeordnet werden. Die Anzahl der dem Ereignis günstigen Zustände ist also $\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E}-E_{n},\Updelta)$. Möglich sind aber insgesamt $\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)$. Unter der Voraussetzung des statistischen Grundpostulats ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit demnach

  $$p(E_{n})=\frac{\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E}-E_{n},\Updelta)}{\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)}\,.$$

  (37.218)

• (b) Wir entwickeln den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit $p(E_{n})$ in der als klein angenommenen Energie $E_{n}\ll\bar{E}$:

  $$\begin{aligned}\ln p(E_{n})&=\ln\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E}-E_{n},\Updelta)-\ln\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)\\ &\approx\ln\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E},\Updelta)-\ln\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)\\ &\quad+\left.\frac{\partial}{\partial E}\ln\Upomega_{\mathcal{U}}(E,\Updelta)\right|_{E=\bar{E}}(-E_{n})\\ &=\ln\frac{\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E},\Updelta)}{\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)}-\beta E_{n}\,.\end{aligned}$$

  (37.219)

  Die Wahrscheinlichkeit $p(E_{n})$ für $E_{n}\ll\bar{E}$ ist also in bester Näherung

  $$p(E_{n})\approx\frac{\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E},\Updelta)}{\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)}\exp\left(-\beta E_{n}\right)\,.$$

  (37.220)

  Die hier definierte Größe β entspricht der üblichen reziproken thermischen Energie:

  $$\beta=\left(\frac{\partial\ln\Upomega_{\mathcal{U}}}{\partial E}\right)_{\bar{E}}=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}\,.$$

  (37.221)

• (c) Die in Teilaufgabe (b) bestimmte Wahrscheinlichkeit $p(E_{n})$ gilt tatsächlich auch dann, wenn es sich bei $\mathcal{S}$ um ein einzelnes Atom oder Molekül handeln sollte, weil bei der bisherigen Überlegung nur angenommen werden musste, dass die Systeme $\mathcal{U}$ und $\bar{\mathcal{S}}$ makroskopisch sind.

• (d) Wir bezeichnen die Anzahl der Zustände des Systems $\mathcal{S}$ mit Energien im Intervall $[0,E]$ mit $\Phi_{\mathcal{S}}(E)$. Die Anzahl der Zustände dieses Systems im Energieintervall $[E,E+\delta E]$ ist dann

  $$\begin{aligned}\Upomega_{\mathcal{S}}(E,\delta E)&=\Phi_{\mathcal{S}}(E+\delta E)-\Phi_{\mathcal{S}}(E)\\ &\approx\frac{\partial}{\partial E}\Phi_{\mathcal{S}}(E)\delta E\,.\end{aligned}$$

  (37.222)

  Damit erhalten wir für $\delta E<\Updelta$

  $$\begin{aligned}w(E)\delta E&=\sum_{\{n\}}P(E_{n})\\ &=\frac{\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E}-E,\Updelta)}{\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)}\Upomega_{\mathcal{S}}(E,\delta E)\\ &=\frac{\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E}-E,\Updelta)}{\Upomega_{\bar{\mathcal{S}}}(\bar{E},\Updelta)}\frac{\partial}{\partial E}\Phi_{\mathcal{S}}(E)\delta E\,,\end{aligned}$$

  (37.223)

  wobei auf der rechten Seite der ersten Zeile über alle Zustände n zu summieren ist, deren Energie E _n im Intervall $[E,E+\delta E]$ liegt. In der zweiten Zeile wird davon Gebrauch gemacht, dass es nun nicht mehr nur eine Möglichkeit gibt, im System $\mathcal{S}$ einen Zustand mit der gewünschten Energie zu realisieren, sondern eine Zahl, die durch $\Upomega_{\mathcal{S}}(E,\delta E)$ quantifiziert wird. Während die Ableitung von Φ in der letzten Zeile mit E steil ansteigt, fällt $\Upomega_{\mathcal{U}}(\bar{E}-E,\Updelta)$ steil ab. Zusammen bilden beide Faktoren ein scharfes Maximum.

37.2

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit geben wir dem einen Teilchen, dessen mittlere kinetische Energie gesucht ist, den Index 1. Seine mittlere kinetische Energie folgt aus

$$\langle\varepsilon\rangle=\frac{\langle{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}\rangle}{2m} =\frac{1}{2mh^{3N}N!\,Z_{\mathrm{k}}}$$

$$ \quad\cdot\int\!\!\int{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}\exp\left[-\beta\left(\sum_{i=1}^{N}\frac{{\boldsymbol{p}}_{i}^{2}}{2m}+V({\boldsymbol{q}}_{1},\ldots,{\boldsymbol{q}}_{N})\right)\right]$$

$$ \quad\cdot\prod_{i=1}^{N}\mathrm{d}{\boldsymbol{q}}_{i}\mathrm{d}{\boldsymbol{p}}_{i}\,,$$

(37.224)

worin die kanonische Zustandssumme durch

$$Z_{\mathrm{k}} =\frac{1}{h^{3N}N!}$$

(37.225)

$$ \quad\cdot\int\!\!\int\exp\left[-\beta\left(\sum_{i=1}^{N}\frac{{\boldsymbol{p}}_{i}^{2}}{2m}+V({\boldsymbol{q}}_{1},\ldots,{\boldsymbol{q}}_{N})\right)\right]\prod_{i=1}^{N}\mathrm{d}{\boldsymbol{q}}_{i}\mathrm{d}{\boldsymbol{p}}_{i}$$

gegeben ist. Für die Teilchen $2\ldots N$ enthalten die Integrale in den letzten beiden Gleichungen dieselben Faktoren, die sich demnach herauskürzen. Insbesondere faktorisiert das Integral über die potenzielle Energie, das sich separat ausführen und kürzen lässt. Übrig bleibt daher nur

$$\langle\varepsilon\rangle =\frac{1}{2m}\left[\int\exp\left(-\beta\frac{{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}}{2m}\right)\mathrm{d}{\boldsymbol{p}}_{1}\right]^{-1}\int{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}\exp\left(-\beta\frac{{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}}{2m}\right)\mathrm{d}{\boldsymbol{p}}_{1}$$

$$ =\frac{3}{2\beta}=\frac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T\,.$$

(37.226)

Dieses Ergebnis reproduziert den Gleichverteilungssatz, gilt aber nicht quantal, weil die Reihenfolge der Orts‐ und Impulsintegrationen beliebig vertauscht wurde, was quantal nicht erlaubt ist. Die operatorwertige Exponentialfunktion

$$\exp\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=\exp\left(\hat{A}\right)\exp\left(\hat{B}\right)$$

(37.227)

faktorisiert nur dann, wenn die Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ vertauschen (siehe hierzu die Baker‐Campbell‐Hausdorff‐Formel aus Aufgabe 25.6).

37.3

• (a) Die Zustandssumme der Rotationszustände ist

  $$\begin{aligned}z_{\mathrm{rot}}&=\sum_{j=0}^{\infty}(2j+1)\exp\left[-\frac{\beta\hbar^{2}}{2I}j(j+1)\right]\\ &\approx\int_{0}^{\infty}(2j+1)\exp\left[-\frac{\beta\hbar^{2}}{2I}j(j+1)\right]\mathrm{d}j\\ &=\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{\beta\hbar^{2}}{2I}x\right)\mathrm{d}x\\ &=\frac{2I}{\beta\hbar^{2}}=\frac{2Ik_{\mathrm{B}}T}{\hbar^{2}}=\frac{T}{\Theta_{\mathrm{rot}}}\,,\end{aligned}$$

  (37.228)

  wobei wir die Substitution $j(j+1)\to x$ vorgenommen und die Rotationstemperatur

  $$\Theta_{\mathrm{rot}}=\frac{\hbar^{2}}{2Ik_{\mathrm{B}}}$$

  (37.229)

  identifiziert haben. Die Summe in ein Integral umzuwandeln, ist dann zulässig, wenn die Rotationszustände sehr dicht liegen. Für sehr hohe Temperaturen, $T\gg\Theta_{\mathrm{rot}}$, ist dies auch der Fall.

  Für die Zustandssumme der Vibrationszustände gilt

  $$\begin{aligned}z_{\mathrm{vib}}&=\sum_{n=0}^{\infty}\exp\left[-\beta\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\right]\\ &=\exp\left(-\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\frac{1}{1-\exp\left(-\beta\hbar\omega\right)}\\ &=\frac{1}{\exp\left(\beta\hbar\omega/2\right)-\exp\left(-\beta\hbar\omega/2\right)}\\ &=\frac{1}{2}\left(\sinh\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{2}\left(\sinh\frac{\Theta_{\mathrm{vib}}}{2T}\right)^{-1}\,,\end{aligned}$$

  (37.230)

  wobei wir in der Summe über alle Vibrationszustände eine geometrische Reihe identifiziert haben.

• (b)

  • (1) Der Beitrag der Rotationszustände zur freien Energie beträgt

    $$f^{\mathrm{rot}}=-k_{\mathrm{B}}T\ln\frac{T}{\Theta_{\mathrm{rot}}}$$

    (37.231)

    pro Molekül, die Entropie ist

    $$s^{\mathrm{rot}}=-\left(\frac{\partial f^{\mathrm{rot}}}{\partial T}\right)_{V,N}=k_{\mathrm{B}}\left(1+\ln\frac{T}{\Theta_{\mathrm{rot}}}\right)\,,$$

    (37.232)

    die innere Energie ist

    $$u^{\mathrm{rot}}=f^{\mathrm{rot}}+Ts^{\mathrm{rot}}=k_{\mathrm{B}}T\,,$$

    (37.233)

    sodass die Wärmekapazität bei konstantem Volumen

    $$c_{V}^{\mathrm{rot}}=\left(\frac{\partial u^{\mathrm{rot}}}{\partial T}\right)_{V}=k_{\mathrm{B}}$$

    (37.234)

    beträgt.

  • (2) Mit der Definition

    $$\tau:=\frac{\Theta_{\mathrm{vib}}}{2T}$$

    (37.235)

    erhalten wir für die Vibrationszustände völlig analog die Ergebnisse (Abb. 37.14)

    $$\begin{aligned}f^{\mathrm{vib}}&=k_{\mathrm{B}}T\ln\left(2\sinh\tau\right)\,,\\ s^{\mathrm{vib}}&=k_{\mathrm{B}}\left[\tau\coth\tau-\ln\left(2\sinh\tau\right)\right]\,,\\ c_{V}^{\mathrm{vib}}&=k_{\mathrm{B}}\frac{\tau^{2}}{\sinh^{2}\tau}\,.\end{aligned}$$

    (37.236)

  Abb. 37.14

  

  Die spezifische Wärmekapazität $c_{V}^{\mathrm{vib}}/k_{\mathrm{B}}$ ist als Funktion der Temperatur dargestellt

37.4

Die kanonische Zustandssumme eines Defekts ist

$$Z_{1}=1+\exp\left[-\beta a\left(\frac{N_{0}}{V}\right)^{\gamma}\right]\,,$$

(37.237)

für N ₀ lokalisierbare und daher unterscheidbare Defekte ist sie

$$Z_{\mathrm{k}}=Z_{1}^{N_{0}}\,,$$

(37.238)

woraus die freie Energie

$$F=-k_{\mathrm{B}}TN_{0}\ln\left\{1+\exp\left[-\beta a\left(\frac{N_{0}}{V}\right)^{\gamma}\right]\right\}$$

(37.239)

folgt. Der Druck ist die negative Ableitung der freien Energie nach dem Volumen:

$$P=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}=\frac{a\gamma\left(\frac{N_{0}}{V}\right)^{\gamma+1}}{\exp\left[\beta a\left(\frac{N_{0}}{V}\right)^{\gamma}\right]+1}\,.$$

(37.240)

37.5

Bei der Lösung dieser Aufgabe müssen wir zwei Gegebenheiten besonders beachten: Zum einen handelt es sich um Elektronen, sodass das Pauli‐Prinzip erfüllt werden muss. Zum anderen kennen wir die Anzahl der Elektronen nicht, weder im Metall noch im Dampf, sodass ein großkanonisches Ensemble zweckmäßig ist.

• (a) Der Hamilton‐Operator für Elektronen in der Gasphase ist

  $$\hat{H}=\varepsilon+\Phi_{0}$$

  (37.241)

  mit der üblichen kinetischen Energie $\varepsilon$. Abgesehen von der Spinentartung kann jeder Impulszustand α nur mit einem oder keinem Elektron besetzt sein, sodass die Einteilchen‐Zustandssumme für den Impulszustand α gleich

  $$Z_{\alpha}=1+\exp\left[-\beta(\varepsilon+\Phi_{0}-\mu)\right]$$

  (37.242)

  ist. Bei den vorgegebenen niedrigen Temperaturen ist die Exponentialfunktion sehr klein gegenüber eins, sodass wir (aufgrund von $\ln(1+x)\approx x$ für $x\ll 1$)

  $$\ln Z_{\alpha}\approx\exp\left[-\beta(\varepsilon+\Phi)\right]$$

  (37.243)

  nähern können. Das großkanonische Potenzial ist dann

  $$J=-k_{\mathrm{B}}T\sum_{\alpha}\ln Z_{\alpha}\approx-k_{\mathrm{B}}T\sum_{\alpha}\exp\left[-\beta(\varepsilon+\Phi)\right]\,.$$

  (37.244)

  Die Summe über die Impulszustände α geht für die freien Elektronen in der Gasphase in ein Integral über. Wir erhalten

  $$\begin{aligned}J&=-k_{\mathrm{B}}T\frac{2V}{h^{3}}\,4\uppi\mathrm{e}^{-\beta\Phi}\int_{0}^{\infty}p^{2}\exp\left(-\beta\frac{p^{2}}{2m}\right)\mathrm{d}p\\ &=-2k_{\mathrm{B}}T\frac{V}{\lambda_{\mathrm{T}}^{3}}\,\mathrm{e}^{-\beta(\Phi_{0}-\mu)}\,,\end{aligned}$$

  (37.245)

  wobei der Faktor zwei nun der Spinentartung Rechnung trägt. Im letzten Schritt haben wir die thermische Wellenlänge $\lambda_{\mathrm{T}}$ identifiziert.

  Die Dampfdichte ist durch die mittlere Teilchenzahl gegeben, die wir durch Ableitung des großkanonischen Potenzials nach dem chemischen Potenzial erhalten,

  $$\langle n\rangle=\frac{\langle N\rangle}{V}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial J}{\partial\mu}\right)_{T,P}=\frac{2}{\lambda_{\mathrm{T}}^{3}}\mathrm{e}^{-\beta\Phi}\,,$$

  (37.246)

  während der Druck aufgrund der Gibbs‐Duhem‐Beziehung gerade gegeben ist durch

  $$\begin{aligned}P&=-\frac{J}{V}=\frac{2}{\lambda_{\mathrm{T}}^{3}}\,k_{\mathrm{B}}T\,\mathrm{e}^{-\beta\Phi}\\ &=\langle n\rangle k_{\mathrm{B}}T=\frac{\langle N\rangle}{V}k_{\mathrm{B}}T\,.\end{aligned}$$

  (37.247)

• (b) Um die Elektronenstromdichte zu berechnen, brauchen wir die Anzahl der Elektronen, deren Impulskomponente positiv ist. Wir führen sphärische Polarkoordinaten so ein, dass die Polachse senkrecht von der Metalloberfläche zu positiven z zeigt, sodass die Impulskomponente in z‐Richtung durch $p\cos\vartheta$ gegeben ist. Die Elektronenstromdichte erhalten wir aus der mittleren Elektronendichte $\langle n\rangle$, indem wir sie mit der mittleren positiven Geschwindigkeit v _z multiplizieren. Diese erhalten wir aus

  $$\langle v_{z}\rangle_{\theta(z)} =\frac{\langle p_{z}\rangle_{\theta(z)}}{2m}$$
  $$ =\frac{1}{2m}\left[4\uppi\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\beta\frac{p^{2}}{2m}\right)p^{2}\mathrm{d}p\right]^{-1}$$
  $$ \phantom{=}\cdot\int_{0}^{2\uppi}\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{\uppi/2}\sin\vartheta\mathrm{d}\vartheta\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}p\,\exp\left(-\beta\frac{p^{2}}{2m}\right)p^{3}\cos\vartheta$$
  $$ =\frac{1}{2m}\left[4\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\beta\frac{p^{2}}{2m}\right)p^{2}\mathrm{d}p\right]^{-1}$$
  $$ \phantom{=}\cdot\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\beta\frac{p^{2}}{2m}\right)p^{3}\mathrm{d}p$$
  $$ =\frac{\left(2\uppi mk_{\mathrm{B}}T\right)^{1/2}}{4\uppi m}=\frac{h}{4\uppi m\lambda_{\mathrm{T}}}=\frac{\lambda_{\mathrm{T}}k_{\mathrm{B}}T}{2h}\,.$$

  (37.248)

  Das Produkt aus dieser mittleren Geschwindigkeit, der mittleren Elektronendichte und der Ladng $(-e)$ ergibt die Stromdichte

  $$j=-e\langle v_{z}\rangle\langle n\rangle=-e\frac{k_{\mathrm{B}}T}{h\lambda_{\mathrm{T}}^{2}}\,\mathrm{e}^{-\beta(\Phi_{0}-\mu)}$$

  (37.249)

  der Elektronen. Dieses Ergebnis heißt Richardson‐Dushman‐Gleichung .

37.6

• (a) Wir haben zwei Bosonen vorliegen, N = 2, die sich in folgenden Konfigurationen auf die drei Zustände verteilen können:

  $$\begin{aligned}&\left\{2,0,0\right\}\,,\quad\left\{0,2,0\right\}\,,\quad\left\{0,0,2\right\}\,,\\ &\left\{1,1,0\right\}\,,\quad\left\{1,0,1\right\}\,,\quad\left\{0,1,1\right\}\,.\end{aligned}$$

  (37.250)

  Die zugehörige kanonische Zustandssumme ist

  $$Z_{\mathrm{k}} =\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{1}}+\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{2}}+\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{3}}$$

  (37.251)
  $$ \phantom{=}+\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})}+\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3})}+\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})}\,.$$

  Im Zustand 1 hält sich in den folgenden Konfigurationen (mindestens) ein Teilchen auf:

  $$\left\{2,0,0\right\}\,,\quad\left\{1,1,0\right\}\,,\quad\left\{1,0,1\right\}\,.$$

  (37.252)

  Daraus und aus der Zustandssumme erhalten wir die Wahrscheinlichkeit

  $$P_{1}=\frac{1}{Z_{\mathrm{k}}}\left(\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{1}}+\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})}+\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3})}\right)$$

  (37.253)

  dafür, dass der Zustand 1 mindestens einfach besetzt ist.

• (b) Unter der Bedingung, dass die Energie $E=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ ist, steht einem Zweibosonensystem genau eine Konfiguration zur Verfügung, nämlich $\{1,1,0\}$. Die (mikrokanonische) Entropie ist also gleich null, da sie den Logarithmus der Anzahl zugänglicher Konfigurationen misst. Wenn die Teilchen, nennen wir sie A und B, unterscheidbar sind, gibt es zwei Konfigurationen, $\{A,B,0\}$ und $\{B,A,0\}$, weshalb dann die Entropie gleich $k_{\mathrm{B}}\ln 2$ ist.

37.7

• (a) Bei fester mittlerer Teilchenzahl $\langle N\rangle$ benötigen wir das großkanonische Potenzial des N‐Teilchen‐Systems, sodass wir mit der großkanonischen Zustandssumme

  $$Z_{\mathrm{gk}}=\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{\{N_{\alpha}\}}\exp\left[-\beta\sum_{\alpha}\left(\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})-\mu\right)N_{\alpha}\right]$$

  (37.254)

  beginnen. Die Summation über $\{N_{\alpha}\}$ bedeutet, dass die Summe aller $N_{\alpha}$ gerade N ergeben muss. Den Druck erhalten wir zunächst aus der negativen Ableitung des großkanonischen Potenzials nach dem Volumen:

  $$P =-\left(\frac{\partial J}{\partial V}\right)_{T,\mu}=k_{\mathrm{B}}T\left(\frac{\partial\ln Z_{\mathrm{gk}}}{\partial V}\right)_{T,\mu}$$

  (37.255)
  $$ =\frac{k_{\mathrm{B}}T}{Z_{\mathrm{gk}}}\frac{\partial}{\partial V}\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{\{N_{\alpha}\}}\exp\left[-\beta\sum_{\alpha}\left(\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})-\mu\right)N_{\alpha}\right]\,.$$

  In der Doppelsumme hängt allein der Impuls ${\boldsymbol{p}}_{\alpha}$ vom Volumen ab, denn er ist homogen vom Grad −1/3 im Volumen. Die Ableitung der Energie $\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})$ nach dem Volumen ergibt daher

  $$\frac{\partial\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})}{\partial V}=\frac{\partial p_{\alpha}}{\partial V}\frac{\partial\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})}{\partial p_{\alpha}}=-\frac{1}{3}\frac{p_{\alpha}}{V}\,n\frac{\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})}{p_{\alpha}}=-\frac{n}{3}\frac{\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})}{V}\,,$$

  (37.256)

  wobei wir zweimal den Euler’schen Satz über homogene Funktionen verwendet haben (siehe den „Mathematischen Hintergrund“ 33.3.5). Mit diesem Ergebnis folgt

  $$P =\frac{n}{3VZ_{\mathrm{gk}}}\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{\{N_{\alpha}\}}\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})\exp\left[-\beta\sum_{\alpha}\left(\varepsilon({\boldsymbol{p}}_{\alpha})-\mu\right)N_{\alpha}\right]$$
  $$ =\frac{nU}{3V}\,.$$

  (37.257)

  Der Druck erweist sich als proportional zur inneren Energiedichte, wobei das Verhältnis $n/3$ als Proportionalitätsfaktor auftritt.

• (b) In d statt drei Dimensionen ist der Impuls homogen vom Grad $-1/d$ im Volumen, woraus

  $$P=\frac{nU}{dV}$$

  (37.258)

  resultiert.

37.8

• (a) Zunächst müssen wir prüfen, ob die Summe über die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Konfigurationen eins ergibt:

  $$1 \stackrel{?}{=}\sum_{\tau_{1}=0,1}\ldots\sum_{\tau_{N_{\mathrm{G}}}=0,1}W(\tau_{1},\ldots,\tau_{N_{\mathrm{G}}})$$

  (37.259)
  $$ =\sum_{\tau_{1}=0,1}\ldots\sum_{\tau_{N_{\mathrm{G}}}=0,1}\prod_{i=1}^{N_{\mathrm{G}}}\left[c\tau_{i}+(1-c)(1-\tau_{i})\right]$$
  $$ =\prod_{i=1}^{N_{\mathrm{G}}}\left[c+(1-c)\right]=\left[c+(1-c)\right]^{N_{\mathrm{G}}}=1\,.$$

  Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten sind also tatsächlich normiert. Wählen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Gitterplatz j = 1, dann erhalten wir

  $$\langle\tau_{1}\rangle =\sum_{\tau_{1}=0,1}\ldots\sum_{\tau_{N_{\mathrm{G}}}=0,1}\tau_{1}w(\tau_{1})\prod_{i=2}^{N_{\mathrm{G}}}w(\tau_{i})$$
  $$ =w(1)\left[c+(1-c)\right]^{N_{\mathrm{G}}-1}=c\,,$$

  (37.260)

  d. h., die Konstante c gibt die mittlere Besetzungszahl eines einzelnen Gitterplatzes an.

• (b) Für alle Gitterplätze $j,k$ ist $\langle\tau_{j}\rangle=c=\langle\tau_{k}\rangle$, sodass

  $$\langle\tau_{j}\rangle\langle\tau_{k}\rangle=c^{2}$$

  (37.261)

  ist. Für $j=k$ ist der Mittelwert $\langle\tau_{j}\tau_{k}\rangle=\langle\tau_{j}^{2}\rangle=\langle\tau_{j}\rangle=c$. Neu zu berechnen bleibt also nur der Mittelwert für $j\neq k$. Wählen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit j = 1 und k = 2, dann folgt

  $$\langle\tau_{1}\tau_{2}\rangle =\sum_{\tau_{1}=0,1}\ldots\sum_{\tau_{N_{\mathrm{G}}}=0,1}\tau_{1}w(\tau_{1})\tau_{2}w(\tau_{2})\prod_{i=3}^{N_{\mathrm{G}}}w(\tau_{i})$$
  $$ =c^{2}\,.$$

  (37.262)

  Für $j\neq k$ ist $\Upgamma_{jk}=0$, verschiedene Gitterplätze sind also nicht korreliert. Für $j=k$ ist $\Upgamma_{jk}=c-c^{2}=c(1-c)$, insgesamt also

  $$\Upgamma_{jk}=\delta_{jk}c(1-c)\,.$$

  (37.263)

• (c) Die gesuchte Intensität ergibt sich direkt aus den bisherigen Ergebnissen:

  $$\begin{aligned}I_{D}&=\langle|A^{2}|\rangle-|\langle A\rangle|^{2}\\ &=|F|^{2}\sum_{j}\sum_{k}\left[\langle\tau_{j}\tau_{k}\rangle-\langle\tau_{j}\rangle\langle\tau_{k}\rangle\right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}Q(R_{j}-R_{k})}\\ &=|F|^{2}c(1-c)\sum_{j}\sum_{k}\delta_{jk}\mathrm{e}^{\mathrm{i}Q(R_{j}-R_{k})}\\ &=|F|^{2}c(1-c)N_{\mathrm{G}}\,.\end{aligned}$$

  (37.264)

37.9

• (a) Wir nummerieren die Einteilchenzustände mit $\alpha=1,2,3,4$ und ordnen ihnen für $\alpha=1,2$ die Energie $\varepsilon_{1}$, für $\alpha=3,4$ die Energie $\varepsilon_{2}$ zu. Jeder Einteilchenzustand kann von höchstens einem Fermion besetzt sein, sodass die kanonische Zustandssumme für Fermionen

  $$Z_{\mathrm{k}}^{\mathrm{(F)}}=\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{1}}+\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{2}}+4\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})}$$

  (37.265)

  beträgt. Bosonen können die Einteilchenzustände in beliebigen Anzahlen besetzen, sodass deren kanonische Zustandssumme

  $$Z_{\mathrm{k}}^{\mathrm{(B)}}=3\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{1}}+3\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon_{2}}+4\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2})}$$

  (37.266)

  ist.

• (b) Ein fermionisches Zweiteilchensystem kann die Energie $2\varepsilon_{1}$ nur in einer Konfiguration erreichen, sodass seine Entropie gleich null ist. Ein bosonisches Zweiteilchensystem hingegen hat für die Energie $2\varepsilon_{1}$ drei Möglichkeiten, weshalb seine Entropie $k_{\mathrm{B}}\ln 3$ ist.

37.10

• (a) Die mittlere Besetzungszahl in der großkanonischen Gesamtheit ist

  $$\langle n({\boldsymbol{p}},s)\rangle=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1}$$

  (37.267)

  für Fermionen, also

  $$\langle n({\boldsymbol{p}},s)\rangle=\left\{1+\exp\left[\beta\left(\frac{{\boldsymbol{p}}^{2}}{2m}-\mu\right)\right]\right\}^{-1}\,.$$

  (37.268)

• (b) Die mittlere Teilchenzahl ist

  $$\langle n\rangle=2(2\uppi)\frac{L^{2}}{h^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{p\mathrm{d}p}{\exp\left[\beta(\frac{p^{2}}{2m}-\mu)\right]+1}$$

  (37.269)

  in ebenen Polarkoordinaten, wobei der Vorfaktor 2 die Spinentartung ausdrückt. Zur Berechnung des Integrals substituieren wir kurzerhand

  $$\beta\left(\frac{p^{2}}{2m}-\mu\right)=x\,,\quad p\mathrm{d}p=\frac{m\mathrm{d}x}{\beta}$$

  (37.270)

  und fahren fort:

  $$\begin{aligned}\langle n\rangle&=4\uppi\frac{mL^{2}}{\beta h^{2}}\int_{-\beta\mu}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x}+1}\\ &=4\uppi\frac{mL^{2}}{\beta h^{2}}\int_{-\beta\mu}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{-x}}\\ &=-4\uppi\frac{mL^{2}}{\beta h^{2}}\left.\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\right|_{-\beta\mu}^{\infty}\\ &=4\uppi\frac{mL^{2}}{\beta h^{2}}\ln\left(1+\mathrm{e}^{\beta\mu}\right)\,.\end{aligned}$$

  (37.271)

  Bei vorgegebener Flächendichte der Teilchen, $\nu=\langle n\rangle L^{-2}$, können wir die letzte Gleichung nach Division durch L ² nach μ auflösen und bekommen

  $$\mu=k_{\mathrm{B}}T\ln\left[\exp\left(\frac{h^{2}\nu}{4\uppi mk_{\mathrm{B}}T}\right)-1\right]$$

  (37.272)

  für das chemische Potenzial der Spin‐1/2‐Teilchen.