Zentralkräfte – das Wasserstoffatom

Kapitelvorwort

Wasserstoffähnliche Atome oder Ionen besitzen nur ein Elektron. Das klassische Einelektronsystem ist der Wasserstoff selbst. Hier ist das Elektron über die Coulomb-Wechselwirkung an ein einzelnes Proton gebunden. Ein anderes System ist das Positronium, das aus einem Elektron und seinem Antiteilchen, dem Positron, besteht. In diesem Kapitel untersuchen wir nichtrelativistische Systeme. Die vorwiegend relativistischen Korrekturen werden dann in Kapitel 30 besprochen.

Im Abschnitt 28.1 wird die Dynamik eines Zweikörpersystems in Schwerpunkts- und Relativbewegung zerlegt und anschließend in Abschnitt 28.2 die zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung für ein Teilchen in einem unendlich hohen sphärischen Potenzialtopf gelöst. Nach diesen Vorbereitungen findet man in Abschnitt 28.3 die Berechnung der Energien und Energie- Eigenfunktionen für die Relativbewegung im Wasserstoffatom. Dabei macht man ganz wesentlich von der Drehsymmetrie im Coulomb-Potential Gebrauch. Im letzten Abschnitt 28.4 wird die äußerst elegante algebraische Lösung des Wasserstoffatoms von Wolfgang Pauli vorgestellt. Ausgehend vom erhaltenen Runge-Lenz-Vektoroperator kann man nämlich Energien und Energie-Eigenfunktionen des Atoms berechnen, ohne eine Differenzialgleichung zu lösen.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

28.1 • Zweiteilchensysteme

Man betrachte ein nichtrelativistisches System, bestehend aus zwei unterscheidbaren Teilchen mit Orts‐ und Impulsoperatoren ${\hat{\boldsymbol{x}}}_{1},{\hat{\boldsymbol{p}}}_{1}$ und ${\hat{\boldsymbol{x}}}_{2},{\hat{\boldsymbol{p}}}_{2}$.

• (a) Bestimmen Sie die zu (28.4) inverse Transformation.

• (b) Drücken Sie den gesamten Bahndrehimpuls durch die Koordinaten und Impulse der Schwerpunkts‐ und Relativbewegung aus.

28.2 •• Identitäten für Bahndrehimpuls

Es sei ${\boldsymbol{e}}_{r}={\boldsymbol{x}}/r$ der Einheitsvektor in radialer Richtung. Beweisen Sie die Identitäten

$$\begin{aligned}\text{(a)}&\quad({\boldsymbol{e}}_{r}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})^{2}={\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\,,\\ \text{(b)}&\quad{\boldsymbol{e}}_{r}\cdot({\boldsymbol{e}}_{r}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})=0\,,\\ \text{(c)}&\quad({\boldsymbol{e}}_{r}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})\cdot{\boldsymbol{e}}_{r}=2\mathrm{i}\hbar\,.\end{aligned}$$

(28.115)

Lösungshinweis:

Beachten Sie, dass ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ mit jeder Funktion $f(r)$ von $r=|{\boldsymbol{x}}|$ vertauscht, da ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ mit dem Skalar $r^{2}={\boldsymbol{x}}\cdot{\boldsymbol{x}}$ vertauscht.

28.3 •• Frobenius‐Sommerfeld‐Methode für die radiale Schrödinger‐Gleichung

Wir machen für Lösungen der dimensionslosen radialen Schrödinger‐Gleichung

$$\left(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}\rho^{2}}-\kappa^{2}+\frac{2Z}{\rho}-\frac{\ell(\ell+1)}{\rho^{2}}\right)u_{E\ell}(\rho)=0\,$$

(28.116)

den im Text begründeten Ansatz

$$u_{E\ell}(\rho)=\mathrm{e}^{-\kappa\rho}\rho^{\ell+1}F(\rho)\,,\quad F(\rho)=\sum_{s=0}^{\infty}a_{s}\rho^{s}\,.$$

(28.117)

• (a) Finden Sie zuerst die Differenzialgleichung für F.

• (b) Setzen Sie nun die Potenzreihe für F in die gewonnene Differenzialgleichung ein und bestimmen Sie durch einen Koeffizientenvergleich die Rekursionsrelation $a_{s+1}=G(s,\ell,Z,\kappa)\,a_{s}$ für die Entwicklungskoeffizienten.

28.4 • Isotopieverschiebung

Da Kerne nicht unendlich schwer sind, erfolgt bekanntlich die Elektronenbewegung in wasserstoffähnlichen Atomen bezüglich des Schwerpunktes. Dies wird durch Einführung der reduzierten Masse μ berücksichtigt. Berechnen Sie die Wellenlänge der roten Balmer‐Linie beim Übergang von n = 3 nach n = 2 (in Å) für folgende Kerne:

• (a) die unendlich schwere Kernmasse,

• (b) das Proton,

• (c) den Deuteriumkern,

• (d) den Tritiumkern,

• (e) das Positron.

Lösungshinweis:

Wellenlängendifferenzen von Spektrallinien für verschieden schwere Kerne desselben Elements nennt man Isotopieverschiebung. Eine für die Aufgabe relevante Größe ist die Rydberg‐Konstante:

$$R_{\infty}=10.973.731{,}568\ 539\,\text{m}^{-1}\,.$$

(28.118)

28.5 ••• Wichtige Integrale der zugeordneten Laguerre‐Polynome

Im „Mathematischen Hintergrund“ 28.3.5 wurde besprochen, dass die zugeordneten Laguerre‐Polynome wie folgt erzeugt werden können:

$$G^{(p)}_{t}(x)=\frac{1}{1-t}\left(\frac{t}{t-1}\right)^{p}\mathrm{e}^{-xt/(1-t)}=\sum_{m=p}^{\infty}L_{m}^{(p)}\frac{t^{m}}{m!}\,.$$

(28.119)

• (a) Berechnen Sie für $p,k\in\mathbb{N}_{0}$ die Integrale

  $$I^{(p)}_{k}(s,t)=\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,x^{p+1}x^{k}\,\mathrm{e}^{-x}G^{(p)}_{s}G^{(p)}_{t}$$

  (28.120)

  als Funktionen der reellen Variablen s und t.

• (b) Setzen Sie für die erzeugenden Funktionen $G^{(p)}_{s}$ und $G^{(p)}_{t}$ die Potenzreihe in (28.119) ein und finden Sie die entstehende Doppelsumme für $I^{(p)}_{k}(s,t)$.

• (c) Betrachten Sie den Spezialfall k = 0 und bestimmen Sie nun durch Vergleich der beiden Ausdrücke für $I^{(p)}_{0}$ die Skalarprodukte

  $$\langle{L_{m}^{(p)}},{L_{n}^{(p)}}\rangle_{p}=\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,x^{p+1}\mathrm{e}^{-x}L_{m}^{(p}(x)L_{n}^{(p)}(x)\,.$$

  (28.121)

• (d) Beweisen Sie mit dem soeben gewonnenen Resultat, dass die radialen Funktionen in (28.79) gemäß der Vorschrift (28.81) normiert sind.

• (e) Betrachten Sie den Fall k = 1 und bestimmen Sie die Matrixelemente

  $$\langle{L_{m}^{(p)}},{xL_{m}^{(p)}}\rangle_{p}=\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,x^{p+1}\mathrm{e}^{-x}L_{m}^{(p}(x)\,xL_{m}^{(p)}(x)\,.$$

  (28.122)

• (f) Berechnen Sie nun die Erwartungswerte

  $$\langle x\rangle=\frac{\langle{L_{m}^{(p)}},{xL_{m}^{(p)}}\rangle_{p}}{\langle{L_{m}^{(p)}},{L_{m}^{(p)}}\rangle_{p}}\,.$$

  (28.123)

  Wie vereinfachen sich diese, wenn wir m und p durch die Hauptquantenzahl n und den Drehimpuls $\ell$ in (28.78) ersetzen?

Lösungshinweis:

In Teilaufgabe (a) werden Sie das Integral (28.86) benötigen und in Teilaufgabe (b) die Reihenentwicklung

$$\frac{1}{(1-x)^{q+1}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(q+k)!}{k!q!}\,x^{k}\,.$$

(28.124)

28.6 • Überlagerung von Wasserstoffeigenzuständen

Es seien $\left|{n\ell m}\right\rangle$ die auf eins normierten Eigenzustände des Wasserstoffatoms. Dieses befinde sich in dem durch den Ket

$$\left|{\psi}\right\rangle=\frac{1}{6}\left(4\left|{100}\right\rangle+3\left|{211}\right\rangle-\left|{210}\right\rangle+\sqrt{10}\left|{21,-1}\right\rangle\right)\,$$

(28.125)

beschriebenen Zustand.

• (a) Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, den Wert $\hat{L}_{z}=0$ zu finden?

• (b) Was sind die Erwartungswerte von ${\hat{H}},\,{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}$ und ${\hat{L}}_{z}$?

28.7 •• Charakteristische Erwartungswerte für das H‐Atom im Grundzustand

Die gemäß (28.81) normierte radiale Grundzustandswellenfunktion in Tab. 28.4 ist

$$R_{10}=2\,\mathrm{e}^{-\rho}\,,\quad\rho=\frac{r}{a_{\mathrm{B}}}\,.$$

(28.126)

• (a) Was ist der wahrscheinlichste Wert für den Abstand r des Elektrons vom Kern im Grundzustand, und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das Elektron in einem Abstand $r> a_{\mathrm{B}}$ anzutreffen?

• (b) Was ist der wahrscheinlichste Wert für den Impulsbetrag des Elektrons im Grundzustand?

Lösungshinweis:

Bei Teilaufgabe (a) werden Sie das Integral

$$\int\mathrm{d}\rho\,\rho^{2}\mathrm{e}^{-a\rho}=-\frac{1}{a^{3}}\left(a^{2}\rho^{2}+2a\rho+2\right)\mathrm{e}^{-\rho}+\text{const}$$

(28.127)

benötigen. Bei Teilaufgabe (b) geht man am besten mithilfe der Fourier‐Transformation in den Impulsraum. Sie werden das Integral

$$\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\xi\,\xi\,\sin\alpha\xi\,\mathrm{e}^{-\beta\xi}=\frac{2\alpha\beta}{(\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}}\,,\quad\beta\in\mathbb{R}^{+}\,$$

(28.128)

brauchen.

28.8 ••• Laplace‐Runge‐Lenz‐Vektor

• (a) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls und Runge‐Lenz‐Vektor

  $${\hat{\boldsymbol{Q}}}=\frac{1}{2\mu\gamma}\left({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)-{\hat{\boldsymbol{e}}}\,,\quad{\hat{\boldsymbol{e}}}=\frac{{\hat{\boldsymbol{x}}}}{{\hat{r}}}\,$$

  (28.129)

  senkrecht zueinander sind:

  $${\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{Q}}}={\hat{\boldsymbol{Q}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{L}}}=0\,.$$

  (28.130)

• (b) Bestimmen Sie das Quadrat des Runge‐Lenz‐Vektors ${\hat{\boldsymbol{Q}}{}^{2}}$.

• (c) Bestimmen Sie die Vertauschungsrelationen für die Komponenten des Laplace‐Runge‐Lenz‐Vektoroperators.

Lösungshinweis:

Man beachte, dass ${\hat{\boldsymbol{e}}}$ nicht ein kommutierender Einheitsvektor ist, sondern für den Operator ${\hat{\boldsymbol{x}}}/{\hat{r}}$ steht. Inbesondere ist ${\hat{\boldsymbol{e}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{e}}}$ der Einheitsoperator. Bei der Lösung dieser Aufgabe gibt es keine prinzipiellen Probleme, aber sie ist aufwendig. Sie werden oft Gebrauch von der Produktregel für den Kommutator und der Identität $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}$ machen. Erinnern Sie sich auch daran, dass die Komponenten eines Vektoroperators folgende Vertauschungsrelationen mit den Drehimpulskomponenten haben:

$$[{\hat{L}}_{i},{\hat{V}}_{j}]=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}{\hat{V}}_{k}\,.$$

(28.131)

Die Rechnung wird etwas einfacher, wenn Sie zuerst zeigen, dass der Vektoroperator ${\hat{\boldsymbol{Q}}}$ wie folgt geschrieben werden kann:

$${\hat{\boldsymbol{Q}}}=\frac{1}{2\mu\gamma}\left({\hat{\boldsymbol{D}}}+{{\hat{\boldsymbol{D}}}}{}^{\dagger}\right)-{\hat{\boldsymbol{e}}}\,,\quad{\hat{\boldsymbol{D}}}={\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}\,.$$

(28.132)

Lösungen zu den Aufgaben

28.3

Sie sollten die Relation (28.64) finden.

28.8

Sie sollten erhalten:

$$[{\hat{Q}}_{i},{\hat{Q}}_{j}]=\frac{2\hbar}{\mathrm{i}\mu\gamma^{2}}{\hat{H}}\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}\,.$$

(28.133)

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

28.1

• (a) Durch Addition oder Subtraktion der passend skalierten Gleichungen in (28.4) erhält man folgende Ausdrücke für Orts‐ und Impulsoperatoren der einzelnen Teilchen:

  $${\hat{\boldsymbol{x}}}_{1}={\hat{\boldsymbol{X}}}+\frac{m_{2}}{M}{\hat{\boldsymbol{x}}}\,,\quad{\hat{\boldsymbol{x}}}_{2}={\hat{\boldsymbol{X}}}-\frac{m_{1}}{M}{\hat{\boldsymbol{x}}}\,$$

  (28.134)

  und

  $${\hat{\boldsymbol{p}}}_{1}=\frac{m_{1}}{M}{\hat{\boldsymbol{P}}}+{\hat{\boldsymbol{p}}}\,,\quad{\hat{\boldsymbol{p}}}_{2}=\frac{m_{2}}{M}{\hat{\boldsymbol{P}}}-{\hat{\boldsymbol{p}}}\,.$$

  (28.135)

• (b) Setzt man in ${\hat{\boldsymbol{L}}}={\hat{\boldsymbol{x}}}_{1}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}_{1}+{\hat{\boldsymbol{x}}}_{2}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}_{2}$ die obigen Ausdrücke ein, dann heben sich vier Terme weg, und man erhält

  $${\hat{\boldsymbol{L}}} =\left(\frac{m_{1}}{M}+\frac{m_{2}}{M}\right)\left({\hat{\boldsymbol{X}}}\times{\hat{\boldsymbol{P}}}\right)+\left(\frac{m_{2}}{M}+\frac{m_{1}}{M}\right)\left({\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)$$
  $$ ={\hat{\boldsymbol{L}}}_{\mathrm{sp}}+{\hat{\boldsymbol{L}}}_{\mathrm{rel}}$$

  (28.136)

  mit den Drehimpulsen der Schwerpunkts‐ und Relativdynamik:

  $${\hat{\boldsymbol{L}}}_{\mathrm{sp}}={\hat{\boldsymbol{X}}}\times{\hat{\boldsymbol{P}}}\,,\quad{\hat{\boldsymbol{L}}}_{\mathrm{rel}}={\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\,.$$

  (28.137)

28.2

• (a) Wir berechnen

  $$\begin{aligned}({\boldsymbol{x}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})^{2}&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{irs}{\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{x}}_{r}{\hat{L}}_{s}\\ &=\left(\delta_{jr}\delta_{ks}-\delta_{js}\delta_{kr}\right){\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{x}}_{r}{\hat{L}}_{s}\\ &={\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}-{\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{x}}_{k}{\hat{L}}_{j}\\ &={\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}\,.\end{aligned}$$

  (28.138)

  Im letzten Schritt benutzten wir, dass ${\hat{L}}_{k}{\hat{x}}_{k}$ verschwindet. Man muss immer darauf achten, die Reihenfolge von nicht kommutierenden Operatoren beizubehalten. Nun benutzen wir die in Abschn. 27.5 gewonnenen Vertauschungsrelationen $[{\hat{L}}_{k},{\hat{x}}_{j}]=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{kjs}{\hat{x}}_{s}$ und erhalten

  $$({\boldsymbol{x}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})^{2}={\hat{\boldsymbol{x}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}+\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{kjs}{\hat{x}}_{j}{\hat{x}}_{s}{\hat{L}}_{k}\,.$$

  (28.139)

  Der letzte Term verschwindet aber, da ${\hat{x}}_{j}{\hat{x}}_{s}$ symmetrisch und $\varepsilon_{kjs}$ antisymmetrisch in den Summationsindizes j und s ist. Es folgt die Identität

  $$({\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})^{2}={\hat{\boldsymbol{x}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\,,$$

  (28.140)

  die, da r mit ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ vertauscht, gleichbedeutend mit der ersten Beziehung in der Aufgabenstellung ist.

• (b) Es gilt

  $${\hat{\boldsymbol{x}}}\cdot({\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})=\varepsilon_{ijk}{\hat{x}}_{i}{\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}=0\,,$$

  (28.141)

  da ${\hat{x}}_{i}{\hat{x}}_{j}$ symmetrisch in den Indizes $i,j$ ist.

• (c) Hier erhalten wir

  $$({\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})\cdot{\hat{\boldsymbol{x}}} =\varepsilon_{ijk}{\hat{x}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{x}}_{i}$$
  $$ =\varepsilon_{ijk}{\hat{x}}_{j}\left({\hat{x}}_{i}{\hat{L}}_{k}+\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{kis}{\hat{x}}_{s}\right)\,.$$

  (28.142)

  Der erste Term in der letzten Zeile verschwindet wieder, und der letzte Term ist

  $$\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kis}{\hat{x}}_{j}{\hat{x}}_{s}=2\mathrm{i}\hbar{\hat{\boldsymbol{x}}}^{2}\,.$$

  (28.143)

  Dividieren wir das gewonnene Resultat

  $$({\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})\cdot{\hat{\boldsymbol{x}}}=2\mathrm{i}\hbar\,{\hat{\boldsymbol{x}}}^{2}$$

  (28.144)

  durch den skalaren Operator ${\hat{\boldsymbol{x}}}^{2}$, dann erhalten wir die letzte Identität in der Aufgabenstellung.

28.3

• (a) Mithilfe von

  $$\mathrm{e}^{\kappa\rho}\rho^{-\ell}u_{E\ell}^{\prime}=\rho F^{\prime}+(\ell+1-\kappa\rho)F$$

  (28.145)

  erhalten wir

  $$\mathrm{e}^{\kappa\rho}\rho^{1-\ell}u_{E\ell}^{\prime\prime} =\rho^{2}F^{\prime\prime}+2\rho(\ell+1-\kappa\rho)F^{\prime}$$

  (28.146)
  $$ \phantom{=}\,+\left(\ell(\ell+1)-2\kappa(1+\ell)\rho+\kappa^{2}\rho^{2}\right)F=0\,.$$

  Benutzen wir dies in der radialen Schrödinger‐Gleichung (28.116), erhalten wir folgende Differenzialgleichung:

  $$\rho F^{\prime\prime}+2(\ell+1-\kappa\rho)F^{\prime}+2\left[Z-\kappa(\ell+1)\right]F=0\,.$$

  (28.147)

• (b) In der Differenzialgleichung (28.147) für F benötigen wir die Potenzreihen für $F^{\prime},\,\rho F^{\prime}$ und $\rho F^{\prime\prime}$. Diese sind

  $$F^{\prime} =\sum_{s=1}^{\infty}sa_{s}\,\rho^{s-1}=\sum_{s=0}^{\infty}(s+1)a_{s+1}\,\rho^{s}\,,$$

  (28.148)
  $$\rho F^{\prime} =\sum_{s=1}^{\infty}sa_{s}\,\rho^{s}\,,$$
  $$\rho F^{\prime\prime} =\sum_{s=2}^{\infty}s(s-1)a_{s}\,\rho^{s-1}=\sum_{s=1}^{\infty}(s+1)sa_{s+1}\,\rho^{s}\,.$$

  Diese setzen wir in die Differenzialgleichung ein und vergleichen die Koeffizienten der Potenzen von ρ. Der Koffizient von $\rho^{0}$ ist

  $$2(\ell+1)a_{1}+2\left(Z-\kappa(\ell+1)\right)a_{0}\,.$$

  (28.149)

  Da er verschwinden muss, gilt

  $$a_{1}=\frac{\kappa(\ell+1)-Z}{\ell+1}a_{0}\,.$$

  (28.150)

  Der Koeffizient von $\rho^{s}$ mit $s\geq 1$ ist

  $$(s+1)(s+2\ell+2)a_{s+1}-2\left(Z-\kappa(s+\ell+1)\right)a_{s}\,,$$

  (28.151)

  und sein Verschwinden bedeutet

  $$a_{s+1}=\frac{2}{s+1}\frac{\kappa(s+\ell+1)-Z}{s+2\ell+2}\,a_{s}\,.$$

  (28.152)

  Diese einstufige Rekursionsrelation gilt eigentlich nur für $s\geq 1$. Aber für s = 0 ist sie identisch mit (28.150), sodass sie sogar für alle $s\in\mathbb{N}_{0}$ Gültigkeit hat.

28.4

Die reduzierte Masse eines wasserstoffähnlichen Atoms ist

$$\mu_{\mathrm{Kern}}=\frac{m_{\mathrm{Kern}}}{m_{\mathrm{e}}+m_{\mathrm{Kern}}}m_{\mathrm{e}}\,.$$

(28.153)

Dies führt auf eine reduzierte Rydberg‐Konstante,

$$R_{\mathrm{Kern}}=\frac{\mu_{\mathrm{Kern}}}{m_{\mathrm{e}}}R_{\infty}\,,$$

(28.154)

und entsprechend ist die gesuchte Linie bei der inversen Wellenlänge

$$\lambda_{\mathrm{Kern}} =\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)^{-1}\frac{1}{R_{\mathrm{Kern}}}=\frac{36}{5}\frac{1}{R_{\infty}}\left(1+\frac{m_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{Kern}}}\right)$$

$$ =\lambda_{\infty}\left(1+\frac{m_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{Kern}}}\right)$$

(28.155)

mit der Wellenlänge für einen unendlich schweren Kern

$$\lambda_{\infty}=\frac{36}{5}\frac{1}{R_{\infty}}=6561{,}123\,\r{A}\,.$$

(28.156)

• (a) Für den unendlich schweren Kern ist die Wellenlänge, wie gerade besprochen, gleich $\lambda_{\infty}$.

• (b) Für den Kern des Wasserstoffatoms, das Proton, ergibt sich

  $$\begin{aligned}m_{\mathrm{e}}/m_{\mathrm{p}}&=0{,}000\ 545\,,\\ \lambda_{\mathrm{H}}&=6564,696\,\r{A}\,.\end{aligned}$$

  (28.157)

• (c) Der Deuteriumkern besteht aus einem Neutron und einem Proton und hat die Masse $3{,}343\,582\cdot 10^{-27}$ kg. Man erhält

  $$\begin{aligned}m_{\mathrm{e}}/m_{\mathrm{D}}&=0{,}000\,272\,,\\ \lambda_{\mathrm{D}}&=6562{,}910\,\r{A}\,.\end{aligned}$$

  (28.158)

• (d) Der Tritiumkern besteht aus zwei Neutronen und einem Proton und hat die Masse $5{,}007\,354\cdot 10^{-27}$ kg. Man findet

  $$\begin{aligned}m_{\mathrm{e}}/m_{\mathrm{T}}&=0{,}000\,182\,,\\ \lambda_{\mathrm{T}}&=6562{,}316\,\r{A}\,.\end{aligned}$$

  (28.159)

• (e) Das exotische Atom aus dem Elektron und seinem Antiteilchen, dem Positron, nennt man Positronium. Das Positronium hat eine endliche Lebensdauer im Bereich von Nanosekunden. Hier ist

  $$\lambda_{\mathrm{Pos}}=2\cdot 6\ 562{,}316\;\r{A}=13\ 122{,}245\;\r{A}\,.$$

  (28.160)

28.5

• (a) Die Berechnung des Integrals $I^{(p)}_{k}(s,t)$ führt auf

  $$\frac{(st)^{p}}{(1-s)^{p+1}(1-t)^{p+1}}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,x^{p+1+k}\mathrm{e}^{-\beta x}\,$$

  (28.161)

  mit der Abkürzung

  $$\beta=1+\frac{s}{1-s}+\frac{t}{1-t}=\frac{1-st}{(1-s)(1-t)}\,.$$

  (28.162)

  Mithilfe des Integrals in (28.86) führt dies auf

  $$I^{(p)}_{k}(s,t)=(p+1+k)!\,\frac{(st)^{p}(1-s)^{k+1}(1-t)^{k+1}}{(1-st)^{p+2+k}}\,.$$

  (28.163)

• (b) Nach Einsetzen der Reihenentwicklungen für die beiden erzeugenden Funktionen in (28.120) erhält man sofort

  $$I^{(p)}_{k}(s,t)=\sum_{m,n\geq p}\frac{s^{m}t^{n}}{m!n!}\int\mathrm{d}x\,x^{p+1}x^{k}\,L_{m}^{(p)}L_{n}^{(p)}\,.$$

  (28.164)

• (c) Für k = 0 vereinfacht sich (28.163) zu

  $$I^{(p)}_{0}(s,t)=(p+1)!\,\frac{(st)^{p}(1-s)(1-t)}{(1-st)^{p+2}}\,.$$

  (28.165)

  Mithilfe der im Hinweis angegebenen Reihenentwicklung

  $$\frac{1}{(1-st)^{p+2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(p+k+1)!}{k!(p+1)!}(st)^{k}$$

  (28.166)

  gewinnt man daraus die Darstellung

  $$I^{(p)}_{0}(s,t)=(1-s)(1-t)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(p+k+1)!}{k!}\,(st)^{k+p}\,.$$

  (28.167)

  Um diese mit der alternativen Reihenentwicklung

  $$I^{(p)}_{0}(s,t)=\sum_{m,n\geq p}\frac{s^{m}t^{n}}{m!n!}\,\langle{L_{m}^{(p)}},{L_{n}^{(p)}}\rangle_{p}\,$$

  (28.168)

  zu vergleichen, schreiben wir die Summe (28.167) etwas um. Zuerst wählen wir $m=p+k$ anstelle von k als Summationsindex:

  $$I^{(p)}_{0}(s,t)=(1-s-t+st)\sum_{m=p}^{\infty}\frac{(m+1)!}{(m-p)!}\,(st)^{m}\,.$$

  (28.169)

  Dieser Ausdruck kann wie folgt geschrieben werden:

  $$\begin{aligned}I^{(p)}_{0}(s,t)&=(1+st)\sum_{m=p}^{\infty}\frac{(m+1)!}{(m-p)!}(st)^{m}\\ &\phantom{=}\,-\sum_{m=p}^{\infty}\frac{(m+1)!}{(m-p)!}(st)^{m}(t+s)\\ &=\sum_{m=p}^{\infty}(2m+1-p)\frac{m!}{(m-p)!}(st)^{m}\\ &\phantom{=}\,-\sum_{m=p}^{\infty}\frac{(m+1)!}{(m-p)!}(s+t)(st)^{m}\,.\end{aligned}$$

  (28.170)

  Der Vergleich mit (28.168) führt nun unmittelbar auf folgende nicht verschwindenden Skalarprodukte:

  $$\langle{L^{(p)}_{m}},{L^{(p)}_{m}}\rangle_{p} =\frac{(2m-p+1)(m!)^{3}}{(m-p)!}\,,$$

  (28.171)
  $$\langle{L^{(p)}_{m}},{L^{(p)}_{m+1}}\rangle_{p} =\langle{L^{(p)}_{m+1}},{L^{(p)}_{m}}\rangle_{p}=-\frac{m![(m+1)!]^{2}}{(m-p)!}\,.$$

• (d) Setzen wir die Darstellung (28.79) in das Integral (28.81) ein, so finden wir nach der Variablenänderung $\rho=nx/(2Z)$

  $$\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\rho\,\rho^{2}R^{2}_{n\ell}(\rho) =N_{n\ell}^{2}\left(\frac{n}{2Z}\right)^{3}\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}x^{2\ell}\left(L_{n+\ell}^{(2\ell+1)}(x)\right)^{2}$$
  $$ =N_{n\ell}^{2}\left(\frac{n}{2Z}\right)^{3}\langle{L_{n+1)}^{(2\ell+1)}},{L_{n+1}^{(2\ell+1}}\rangle$$
  $$ =N_{n\ell}^{2}\left(\frac{n}{2Z}\right)^{3}\frac{2n\left[(n+\ell)\right]^{2}}{(n-\ell-1)!}\,.$$

  (28.172)

  Im letzten Schritt wurde von (28.171) Gebrauch gemacht. Setzen wir noch $N_{n\ell}$ in (28.80) ein, so findet man in der Tat

  $$\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\rho\,\rho^{2}R^{2}_{n\ell}(\rho)=1\,.$$

  (28.173)

• (e) Die Rechnung ist ähnlich der vorherigen, und wir können einige Rechenschritte überspringen. Wir beginnen mit

  $$ I^{(p)}_{1}(s,t)=(p+2)!\,\frac{(st)^{p}(1-s)^{2}(1-t)^{2}}{(1-st)^{p+3}}$$

  (28.174)
  $$ \quad=\sum_{m\geq p}\left(3m(m+1-p)+p^{2}+2\right)\frac{m!}{(m-p)!}(st)^{m}+\dots\,,$$

  wobei die Punkte für Terme stehen, die nicht gleiche Potenzen von s und t enthalten und deshalb nicht zu den gesuchten Matrixelementen in

  $$I^{(p)}_{1}(s,t)=\sum_{m\geq p}\frac{(st)^{m}}{m!^{2}}\,\langle{L_{m}^{(p)}},{xL_{m}^{(p)}}\rangle_{p}+\dots\,$$

  (28.175)

  beitragen. Der Vergleich der beiden letzten Resultate führt auf

  $$\langle{L_{m}^{(p)}},{xL_{m}^{(p)}}\rangle_{p} =\left(6m(m+1-p)+(p-1)(p-2)\right)$$
  $$ \phantom{=}\,\cdot\frac{(m!)^{3}}{(m-p)!}\,.$$

  (28.176)

• (f) Wir brauchen nun nur noch die Ergebnisse (28.171) und (28.176) einzusetzen und erhalten

  $$\langle x\rangle=\frac{6m(m+1-p)+(p-1)(p-2)}{2m-p+1}\,.$$

  (28.177)

  Ersetzen wir hier m und p durch die Hauptquantenzahl n und den Drehimpuls $\ell$ gemäß (28.78), dann vereinfacht sich der Ausdruck wie folgt:

  $$\langle x\rangle=\frac{3n^{2}-\ell(\ell+1)}{n}\,.$$

  (28.178)

28.6

• (a) Die Terme in (28.125) sind gemeinsame Eigenvektoren der verträglichen Observablen ${\hat{H}},{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}$ und ${\hat{L}}_{z}$, und deshalb sind die Quadrate der Entwicklungskoeffizienten gleich den Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der verschiedenen Kombinationen von Quantenzahlen:

  $$\begin{aligned}p_{100}&=\frac{16}{36}\,,\quad p_{211}=\frac{9}{36}\,,\\ p_{210}&=\frac{1}{36}\,,\quad p_{21-1}=\frac{10}{36}\,.\end{aligned}$$

  (28.179)

  Somit ist die Wahrscheinlichkeit für die Messung von m = 0 gleich $p_{100}+p_{210}=17/36$.

• (b) Mittelwerte:

  $$\langle{{\hat{H}}}\rangle_{\psi} =\text{Ry}\left(p_{100}+\frac{1}{4}(p_{211}+p_{210}+p_{21-1})\right)=\frac{21}{36}\text{Ry}\,,$$
  $$\langle{{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}}\rangle_{\psi} =2\hbar^{2}\left(p_{211}+p_{210}+p_{21-1}\right)=\frac{10\hbar^{2}}{9}\,,$$
  $$\langle{{\hat{L}}_{z}}\rangle_{\psi} =\hbar\left(p_{211}-p_{21-1}\right)=-\frac{\hbar}{36}\,.$$

  (28.180)

28.7

• (a) Für die Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes $r_{\mathrm{max}}$ und der Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Abstands $a_{\mathrm{B}}$ vom Kern benötigen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, das Elektron in einem Abstand ρ anzutreffen:

  $$w(\rho)=\rho^{2}|R_{10}(\rho)|^{2}=4\rho^{2}\mathrm{e}^{-2\rho}\,.$$

  (28.181)

  Der Faktor $\rho^{2}$ stammt vom Volumenelement in Kugelkoordinaten. Wir differenzieren und erhalten das Maximum.

  $$\partial_{\rho}w(\rho)=8(1-\rho)\rho\,\mathrm{e}^{-2\rho}\stackrel{!}{=}0\ \ \Rightarrow\ \ \rho_{\mathrm{max}}=1\,.$$

  (28.182)

  Die zweite Lösung $\rho=0$ führt auf ein Minimum von w, das hier nicht von Interesse ist. Das Elektron befindet sich somit am wahrscheinlichsten im Abstand $r=a_{\mathrm{B}}$ und somit einen Bohr’schen Atomradius vom Atomkern entfernt. Wir bestimmen noch die Wahrscheinlichkeit für einen Abstand $r> a_{\mathrm{B}}$ bzw. $\rho> 1$:

  $$4\!\int_{1}^{\infty}\!\mathrm{d}\rho\,\rho^{2}\mathrm{e}^{-2\rho}=(2\rho^{2}+2\rho+1)\mathrm{e}^{-2\rho}|_{\rho=1}=\frac{5}{\mathrm{e}^{2}}\approx 0{,}677\,.$$

  (28.183)

• (b) Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Impulse ist die Fourier‐Transformierte der Wellenfunktion im Ortsraum:

  $$\psi_{100}({\boldsymbol{x}})=\frac{1}{a_{\mathrm{B}}^{3/2}}R_{10}(\rho)Y_{00}(\vartheta,\varphi)=\frac{\mathrm{e}^{-\rho}}{\sqrt{\uppi}\,a_{\mathrm{B}}^{3/2}}\,.$$

  (28.184)

  Hier tritt im Nenner die Potenz 3/2 des Bohr’schen Radius auf, weil wir bezüglich r anstelle von ρ normierten.

  Mithilfe von ${\boldsymbol{x}}\cdot{\boldsymbol{p}}=a_{\mathrm{B}}\rho|{\boldsymbol{p}}|z$, wobei z für $\cos\vartheta$ steht, lautet die Fourier‐Transformierte

  $$\begin{aligned}\tilde{\psi}({\boldsymbol{p}})&=\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{p}}\cdot{\boldsymbol{x}}/\hbar}\psi_{100}({\boldsymbol{x}})\\ &=\frac{2\uppi a_{\mathrm{B}}^{3/2}}{\sqrt{\uppi}}\kappa\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\rho\,\rho^{2}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}z\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}a_{\mathrm{B}}\rho pz/\hbar}\,\mathrm{e}^{-\rho}\,.\end{aligned}$$

  (28.185)

  Hierin steht, wie bei der Diskussion der Fourier‐Transformation in Kap. 22, die Konstante κ für $1/(2\uppi\hbar)^{3/2}$ und die Integration über den Azimutwinkel wurde ausgeführt.

  Offensichtlich hängt die Fourier‐Transformierte einer nur vom Radius abhängigen Wellenfunktion lediglich vom Betrag $p=|{\boldsymbol{p}}|$ des Impulses ab:

  $$\tilde{R}_{100}(p) =\sqrt{4\uppi}\,\tilde{\psi}(p)$$
  $$ =\frac{8\hbar\uppi\kappa\,a_{\mathrm{B}}^{3/2}}{a_{\mathrm{B}}p}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\rho\,\rho\sin\left(\frac{a_{\mathrm{B}}p\rho}{\hbar}\right)\,\mathrm{e}^{-\rho}$$
  $$ =16\uppi\,\kappa\frac{a_{\mathrm{B}}^{3/2}}{\left[1+(a_{\mathrm{B}}p/\hbar)^{2}\right]^{2}}\,.$$

  (28.186)

  Hier wurde das Integral (28.128) gebraucht. Der Faktor $\sqrt{4\uppi}$ nach dem ersten Gleichheitszeichen berücksichtigt, dass $\tilde{\psi}$ bezüglich $\mathrm{d}^{3}p$ und $\tilde{R}$ bezüglich $\mathrm{d}p\,p^{2}$ normiert ist und die Einheitssphäre die Fläche $4\uppi$ hat. Durch Differenziation nach p finden wir das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte $w(p)=|\tilde{R}_{100}(p)|^{2}p^{2}$:

  $$\partial_{p}w(p)=\frac{2w(p)}{p}\left(1-\frac{4(a_{\mathrm{B}}p/\hbar)^{2}}{1+(a_{\mathrm{B}}p/\hbar)^{2}}\right)\stackrel{!}{=}0\,.$$

  (28.187)

  Somit ist der wahrscheinlichste Impuls

  $$p_{\mathrm{max}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\hbar}{a_{\mathrm{B}}}\,.$$

  (28.188)

28.8

• (a) Der zu ${\hat{\boldsymbol{D}}}={\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}$ adjungierte Operator ist wegen

  $${\hat{D}}_{i}^{\dagger}=\varepsilon_{ijk}({\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{k})^{\dagger}=\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}{\hat{p}}_{j}=-\varepsilon_{ikj}{\hat{L}}_{k}{\hat{p}}_{j}$$

  (28.189)

  gleich $-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}$. Dies beweist, dass der Laplace‐Runge‐Lenz‐Vektor hermitesch ist, und führt auf die alternative Darstellung (28.132).

  Um die Orthogonalität von ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ und ${\hat{\boldsymbol{Q}}}$ zu beweisen, bestimmen wir im ersten Schritt das Skalarprodukt

  $$\begin{aligned}&{\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}})=\varepsilon_{ijk}\left({\hat{L}}_{i}{\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{k}-{\hat{L}}_{i}{\hat{L}}_{j}{\hat{L}}_{k}\right)\\ &\quad=\varepsilon_{ijk}\left({\hat{L}}_{i}{\hat{L}}_{k}{\hat{p}}_{j}+\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{jkm}{\hat{L}}_{i}{\hat{p}}_{m}-{\hat{L}}_{i}{\hat{L}}_{j}{\hat{L}}_{k}\right)\,.\end{aligned}$$

  (28.190)

  Bei der Summation über die Indizes verschwinden der erste und letzte Term in den Klammern. Die Kontraktion der beiden $\varepsilon$‐Tensoren ergibt $2\delta_{im}$, und somit verbleiben wir mit

  $${\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot\left({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)=2\mathrm{i}\hbar{\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}}=0\,.$$

  (28.191)

  Im zweiten Schritt bestimmen wir das Skalarprodukt

  $${\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{x}}}=\varepsilon_{ijk}{\hat{x}}_{j}{\hat{p}}_{k}{\hat{x}}_{i}=\varepsilon_{ijk}{\hat{x}}_{j}{\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{k}=0\,.$$

  (28.192)

  Wegen des $\varepsilon$‐Tensors sind hier die Summationsindizes k und i verschieden, und deshalb durften wir die Operatoren ${\hat{p}}_{k}$ und ${\hat{x}}_{i}$ vertauschen. Die beiden Gleichungen (28.191) und (28.192) zusammengenommen führen auf ${\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{Q}}}=0$. Da alle Operatoren hermitesch sind, gilt dann auch

  $$({\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{Q}}})^{\dagger}={\hat{\boldsymbol{Q}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{L}}}=0\,.$$

  (28.193)

• (b) Wir beginnen mit

  $$ ({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})\cdot({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}{\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{p}}_{m}{\hat{L}}_{n}$$
  $$ \quad=\left(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}\right)\left({\hat{p}}_{j}{\hat{p}}_{m}{\hat{L}}_{k}{\hat{L}}_{n}+\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{kms}{\hat{p}}_{j}{\hat{p}}_{s}{\hat{L}}_{n}\right)$$
  $$ \quad={\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\,,$$

  (28.194)

  wobei wir im letzten Schritt ${\hat{\boldsymbol{p}}}\,\cdot\,{\hat{\boldsymbol{L}}}=0$ und die Antisymmetrie des $\varepsilon$‐Tensors benutzten. Die Adjungation liefert dann

  $$({\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}})\cdot({\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}})={\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\,.$$

  (28.195)

  Eine ähnliche Rechnung liefert

  $$({\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}})\cdot({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})=-{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\,.$$

  (28.196)

  Es fehlt noch

  $$\begin{aligned}&({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})\cdot({\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}})=\left(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}\right){\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{L}}_{m}{\hat{p}}_{n}\\ &\quad={\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{k}{\hat{L}}_{j}{\hat{p}}_{k}-{\hat{p}}_{j}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}{\hat{p}}_{j}\\ &\quad=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{jks}{\hat{p}}_{s}{\hat{L}}_{j}{\hat{p}}_{k}-{\hat{p}}_{j}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}{\hat{p}}_{j}\,.\end{aligned}$$

  (28.197)

  Der erste Term in der letzten Zeile ist

  $$\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{jks}{\hat{p}}_{s}{\hat{L}}_{j}{\hat{p}}_{k}=-\hbar^{2}\varepsilon_{jks}\varepsilon_{jkt}{\hat{p}}_{s}{\hat{p}}_{t}=-2\hbar^{2}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}\,$$

  (28.198)

  und der letzte Term

  $$\begin{aligned}{\hat{p}}_{j}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}{\hat{p}}_{j}&={\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}}^{2}+{\hat{p}}_{j}[{\hat{\boldsymbol{L}}}^{2},{\hat{p}}_{j}]\\ &={\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}}^{2}+{\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{i}[{\hat{L}}_{i},{\hat{p}}_{j}]+{\hat{p}}_{j}[{\hat{L}}_{i},{\hat{p}}_{j}]{\hat{L}}_{i}\\ &={\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}}^{2}+\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}{\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{i}{\hat{p}}_{k}={\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}}^{2}+2\hbar^{2}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}\,.\end{aligned}$$

  (28.199)

  Subtrahieren wir nun vom Ausdruck (28.198) den Ausdruck (28.199), gewinnen wir

  $$({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}})\cdot({\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}})=-4\hbar^{2}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}-{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\,.$$

  (28.200)

  Nun kennen wir alle Skalarprodukte, um das Quadrat von ${\hat{\boldsymbol{D}}}+{\hat{\boldsymbol{D}}}^{\dagger}$ zu bestimmen:

  $$\left({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)^{2}=4\hbar^{2}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}+4{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\,.$$

  (28.201)

  Wir brauchen noch das Skalarprodukt

  $$\begin{aligned}&{\hat{\boldsymbol{e}}}\cdot\left({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)=\frac{1}{r}\varepsilon_{ijk}\left({\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{k}-{\hat{x}}_{i}{\hat{L}}_{j}{\hat{p}}_{k}\right)\\ &\quad=\frac{1}{r}\varepsilon_{ijk}\left({\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{k}-{\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{k}{\hat{L}}_{j}-\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{jks}{\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{s}\right)\\ &\quad=\frac{2}{r}\left({\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}-\mathrm{i}\hbar{\hat{\boldsymbol{x}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)\end{aligned}$$

  (28.202)

  und die hermitesch konjugierte Relation

  $$\left({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)\cdot{\hat{\boldsymbol{e}}}=\left({\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}+\mathrm{i}\hbar{\hat{\boldsymbol{p}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{x}}}\right)\frac{2}{r}\,.$$

  (28.203)

  Addieren wir die beiden letzten Relationen, dann finden wir

  $$\begin{aligned}&\,{\hat{\boldsymbol{e}}}\cdot\left({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)+\left({\hat{\boldsymbol{p}}}\times{\hat{\boldsymbol{L}}}-{\hat{\boldsymbol{L}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}\right)\cdot{\hat{\boldsymbol{e}}}\\ =&\frac{4}{r}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}-2\mathrm{i}\hbar\left({\hat{\boldsymbol{e}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}}-{\hat{\boldsymbol{p}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{e}}}\right)=\frac{4}{r}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}+\frac{4\hbar^{2}}{r}\,.\end{aligned}$$

  (28.204)

  Kombiniert man nun die Ergebnisse (28.201) und (28.204) und benutzt ${\hat{\boldsymbol{e}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{e}}}={\hat{1}}$, erhält man

  $$\begin{aligned}{\hat{\boldsymbol{Q}}{}^{2}}&=\frac{{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}}{\mu^{2}\gamma^{2}}+\frac{\hbar^{2}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}}{\mu^{2}\gamma^{2}}-\frac{2}{\mu\gamma r}{\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}-\frac{2\hbar^{2}}{\mu\gamma r}+1\\ &=\frac{2}{\mu\gamma^{2}}\left(\frac{{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}}{2\mu}-\frac{\gamma}{r}\right)\left({\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}+\hbar^{2}\right)+1\\ &=\frac{2{\hat{H}}}{\mu\gamma^{2}}\left({\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}+\hbar^{2}\right)+{\hat{1}}\,.\end{aligned}$$

  (28.205)

• (c) Zur Vorbereitung berechnen wir einige einfache Kommutatoren. Aus der Vertauschungsregel

  $$\begin{aligned}\big[{\hat{p}}_{i},{\hat{D}}_{j}\big]&=\big[{\hat{p}}_{i},\varepsilon_{jkm}{\hat{p}}_{k}{\hat{L}}_{m}\big]=\varepsilon_{jkm}{\hat{p}}_{k}[{\hat{p}}_{i},{\hat{L}}_{m}]\\ &=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{jkm}\varepsilon_{imn}{\hat{p}}_{k}{\hat{p}}_{n}=\mathrm{i}\hbar\left({\hat{p}}_{i}{\hat{p}}_{j}-\delta_{ij}\,{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}\right)\end{aligned}$$

  (28.206)

  folgt nun mithilfe von

  $$\varepsilon_{mjn}{\hat{D}}_{n}=\varepsilon_{mjn}\varepsilon_{nrs}{\hat{p}}_{r}{\hat{L}}_{s}={\hat{p}}_{m}{\hat{L}}_{j}-{\hat{p}}_{j}{\hat{L}}_{m}$$

  (28.207)

  der Kommutator

  $$[{\hat{D}}_{i},{\hat{D}}_{j}] =[\varepsilon_{ikm}{\hat{p}}_{k}{\hat{L}}_{m},{\hat{D}}_{j}]=\varepsilon_{ikm}\left({\hat{p}}_{k}[{\hat{L}}_{m},{\hat{D}}_{j}]+[{\hat{p}}_{k},{\hat{D}}_{j}]{\hat{L}}_{m}\right)$$
  $$ =\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ikm}\left(\varepsilon_{mjn}{\hat{p}}_{k}{\hat{D}}_{n}+({\hat{p}}_{k}{\hat{p}}_{j}-\delta_{kj}\,{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}){\hat{L}}_{m}\right)$$
  $$ =-\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijm}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{L}}_{m}\,.$$

  (28.208)

  Ganz ähnlich findet man

  $$\big[{\hat{D}}^{\dagger}_{i},{\hat{D}}_{j}\big] =-\big[\varepsilon_{imk}{\hat{L}}_{m}{\hat{p}}_{k},{\hat{D}}_{j}\big]$$
  $$ =-\varepsilon_{imk}\left({\hat{L}}_{m}[{\hat{p}}_{k},{\hat{D}}_{j}]+[{\hat{L}}_{m},{\hat{D}}_{j}]{\hat{p}}_{k}\right)$$
  $$ =-\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{imk}\left({\hat{L}}_{m}({\hat{p}}_{k}{\hat{p}}_{j}-\delta_{kj}\,{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2})+\varepsilon_{mjn}{\hat{D}}_{n}{\hat{p}}_{k}\right)$$
  $$ =-\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{imk}\left(-\delta_{kj}\,{\hat{L}}_{m}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}+2\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{mjs}{\hat{p}}_{s}{\hat{p}}_{k}\right)$$
  $$ =\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijm}{\hat{L}}_{m}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}+2\hbar^{2}\left({\hat{p}}_{i}{\hat{p}}_{j}-\delta_{ij}\,{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}\right)\,.$$

  (28.209)

  In den antihermiteschen Operatoren

  $$\big[{\hat{D}}_{i}+{\hat{D}}^{\dagger}_{i},{\hat{D}}_{j}+{\hat{D}}^{\dagger}_{j}\big] =\big[{\hat{D}}_{i},{\hat{D}}_{j}\big]-\big[{\hat{D}}_{i},{\hat{D}}_{j}\big]^{\dagger}$$
  $$ \phantom{=}\,+[{\hat{D}}^{\dagger}_{i},{\hat{D}}_{j}]-\big[{\hat{D}}^{\dagger}_{i},{\hat{D}}_{j}\big]^{\dagger}$$
  $$ =-4\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}{\hat{L}}_{k}$$

  (28.210)

  heben sich, nachdem wir die Kommutatoren (28.208) und (28.209) einsetzen, die zu $\hbar^{2}$ proportionalen hermiteschen Terme weg. Wir haben auch noch benutzt, dass die ${\hat{\boldsymbol{L}}}_{m}$ mit dem skalaren Operator ${\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}$ vertauschen.

  Schlussendlich benötigen wir den Kommutator

  $$[{\hat{e}}_{i},{\hat{D}}_{j}] =\varepsilon_{jkm}[{\hat{e}}_{i},{\hat{p}}_{k}{\hat{L}}_{m}]=\varepsilon_{jkm}\left({\hat{p}}_{k}[{\hat{e}}_{i},{\hat{L}}_{m}]+[{\hat{e}}_{i},{\hat{p}}_{k}]{\hat{L}}_{m}\right)$$
  $$ =\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{jkm}\left(\varepsilon_{imn}{\hat{p}}_{k}{\hat{e}}_{n}+\frac{1}{r}(\delta_{ik}-{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}){\hat{L}}_{m}\right)$$

  (28.211)
  $$ =\mathrm{i}\hbar\left({\hat{p}}_{i}{\hat{e}}_{j}-\delta_{ij}\,{\hat{\boldsymbol{p}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{e}}}-\frac{1}{r}\varepsilon_{ijm}{\hat{L}}_{m}-\frac{1}{r}\varepsilon_{jkm}{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}{\hat{L}}_{m}\right)\,.$$

  Beim Übergang von der ersten zur zweiten Zeile wurde der Kommutator von ${\hat{e}}_{i}$ und ${\hat{p}}_{k}$ gebraucht. Diesen kann man sich leicht in der Ortsdarstellung beschaffen:

  $$[{\hat{e}}_{i},{\hat{p}}_{k}]=\mathrm{i}\hbar\,\partial_{k}\left(\frac{x_{i}}{r}\right)=\frac{\mathrm{i}\hbar}{r}\left(\delta_{ik}-{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}\right)\,.$$

  (28.212)

  Mit $[{\hat{e}}_{i},{\hat{D}}_{j}^{\dagger}]=-[{\hat{e}}_{i},{\hat{D}}_{j}]^{\dagger}$ erhalten wir nun

  $$\big[{\hat{e}}_{i},{\hat{D}}_{j}+{\hat{D}}^{\dagger}_{j}\big] =\mathrm{i}\hbar\left({\hat{p}}_{i}{\hat{e}}_{j}+{\hat{e}}_{j}{\hat{p}}_{i}-\delta_{ij}\,({\hat{\boldsymbol{p}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{e}}}+{\hat{\boldsymbol{e}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}})\right)$$
  $$ \phantom{=}\,-\frac{2\mathrm{i}\hbar}{r}\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}$$
  $$ \phantom{=}\,-\frac{\mathrm{i}\hbar}{r}\varepsilon_{jkm}\left({\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}{\hat{L}}_{m}+{\hat{L}}_{m}{\hat{e}}_{k}{\hat{e}}_{i}\right)\,.$$

  (28.213)

  Für den letzten Klammerausdruck findet man mithilfe des Kommutators

  $$[{\hat{L}}_{m},{\hat{e}}_{k}{\hat{e}}_{i}]=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{mks}{\hat{e}}_{s}{\hat{e}}_{i}+\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{mis}{\hat{e}}_{k}{\hat{e}}_{s}$$

  (28.214)

  den Ausdruck

  $$\varepsilon_{jkm}\left({\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}{\hat{L}}_{m}+{\hat{L}}_{m}{\hat{e}}_{k}{\hat{e}}_{i}\right)=2\varepsilon_{jkm}{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}{\hat{L}}_{m}+\mathrm{i}\hbar(\delta_{ij}-3{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{j})\,.$$

  In den Vertauschungsrelationen der Komponeten von ${\hat{\boldsymbol{Q}}}$ trägt nur der antisymmtrische Anteil des Kommutators (28.213) bei:

  $$\begin{aligned}{\hat{A}}_{ij}&\equiv[{\hat{e}}_{i},{\hat{D}}_{j}+{\hat{D}}^{\dagger}_{j}]+[{\hat{D}}_{i}+{\hat{D}}^{\dagger}_{i},{\hat{e}}_{j}]\\ &=[{\hat{e}}_{i},{\hat{D}}_{j}+{\hat{D}}^{\dagger}_{j}]-[{\hat{e}}_{j},{\hat{D}}_{i}+{\hat{D}}^{\dagger}_{i}]\,.\end{aligned}$$

  (28.215)

  Dieser lautet

  $$\begin{aligned}{\hat{A}}_{ij}&=-\frac{4\mathrm{i}\hbar}{r}\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}+2\mathrm{i}\hbar\left({\hat{e}}_{j}{\hat{p}}_{i}-{\hat{e}}_{i}{\hat{p}}_{j}\right)\\ &\phantom{=}\,\,-\frac{2\mathrm{i}\hbar}{r}\left(\varepsilon_{jkm}{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}{\hat{L}}_{m}-\varepsilon_{ikm}{\hat{e}}_{j}{\hat{e}}_{k}{\hat{L}}_{m}\right)\,.\end{aligned}$$

  (28.216)

  Bemerkt man noch, dass

  $$\varepsilon_{jkm}{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{k}{\hat{L}}_{m}=r{\hat{e}}_{i}{\hat{e}}_{j}({\hat{\boldsymbol{e}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}})-r{\hat{e}}_{i}{\hat{p}}_{j}\,,$$

  (28.217)

  dann folgt

  $${\hat{A}}_{ij}=-\frac{4\mathrm{i}\hbar}{r}\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}\,.$$

  (28.218)

  Nun sind wir im Besitz aller Kommutatoren, um die Aufgabe zu lösen:

  $$\big[{\hat{Q}}_{i},{\hat{Q}}_{j}\big] =\frac{1}{4\mu^{2}\gamma^{2}}\big[{\hat{D}}_{i}+{\hat{D}}^{\dagger}_{i},{\hat{D}}_{j}+{\hat{D}}^{\dagger}_{j}\big]-\frac{1}{2\mu\gamma}{\hat{A}}_{ij}$$
  $$ =\frac{\hbar}{\mathrm{i}\mu\gamma^{2}}\left(\frac{{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}}{\mu}-\frac{2\gamma}{r}\right)\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}$$
  $$ =\frac{2\hbar}{\mathrm{i}\mu\gamma^{2}}{\hat{H}}\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}\,.$$

  (28.219)