Symmetrien und Erhaltungssätze

Kapitelvorwort

Symmetrien spielen in der Physik eine entscheidende Rolle. Nach dem Noether-Theorem gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines klassischen Systems ein Erhaltungssatz. Neben Energie, Impuls, Drehimpuls, Parität und elektrischer Ladung sind dies erhaltene Ladungen in der Elementarteilchenphysik. Die Kenntnis der Symmetrien kann bei der Lösungssuche in bekannten Theorien oder bei der Suche nach neuen Theorien hilfreich sein.

Der wichtige Abschnitt 27.1 handelt vom Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgr öÿen in einer Quantentheorie. Die allgemeinen Resultate werden dann in Abschnitt 27.2 auf Raumspiegelungen und in Abschnitt 27.3 auf Verschiebungen im Raum angewandt. Eine weitere Anwendung in Form des Bloch’schen Theorems findet man in geordneten Festkörpern, und dies ist Gegenstand von Abschnitt 27.4. Eine in Atom- und Molekülphysik gleichermaßen wichtige Anwendung ist der Zusammenhang zwischen Drehsymmetrie im Raum und dem zugehörigen erhaltenen Drehimpuls in Abschnitt 27.5. Die spektralen Eigenschaften von Drehimpulsen und die Addition von mehreren Drehimpulsen sind dann Gegenstand in den Abschnitten 27.6 und 27.8.

Appendices

So geht’s weiter

1.1 Darstellung der Drehungen

Mitglieder eines Multipletts werden nicht nur durch die Erzeugenden der Drehungen – die Drehimpule – ineinander transformiert, sondern auch durch die von der Drehimpulsen erzeugten Drehungen. Die $2\ell+1$‐dimensionalen Matrizen, die diese Transformationen leisten, definieren eine $2\ell+1$‐dimensionale Darstellung der Drehgruppe. Zum Beispiel sind die Kugelflächenfunktionen $Y_{11},Y_{10},Y_{1\,-1}$ Linearkombinationen der kartesischen Koordianten $x,y,z$, und ihre Transformation ist durch die bekannte Transformation ${\boldsymbol{x}}\mapsto{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{x}}$ der Koodinaten bestimmt. Sie transformieren unter einer dreidimensionalen Darstellung, die zu der Darstellung durch die Drehmatrizen R äquivalent ist. Im Folgenden untersuchen wir die Eigenschaften der Dastellungen von beliebigen Multipletts mit Drehimpulsquantenzahl $\ell=0,1,2,\dots$

Wir haben uns früher davon überzeugt, dass die Operatoren

$$\left({\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})\psi\right)({\boldsymbol{x}})=\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,{\boldsymbol{\alpha}}\cdot{\hat{\boldsymbol{L}}}/\hbar}\psi\right)({\boldsymbol{x}})=\psi\left({\boldsymbol{R}}^{-1}({\boldsymbol{\alpha}}){\boldsymbol{x}}\right)\,,$$

(27.166)

wobei der Betrag α des beliebigen Vektors ${\boldsymbol{\alpha}}$ den Drehwinkel und seine Richtung die Drehachse angibt, eine unitäre Darstellung der Drehgruppe SO(3) auf dem Hilbert‐Raum der quadratintegrablen Funktionen auf der Einheitssphäre definieren:

$${\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\gamma}})={\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\beta}}){\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\alpha}})\Longrightarrow{\hat{U}}({\boldsymbol{\gamma}})={\hat{U}}({\boldsymbol{\beta}}){\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})\,.$$

(27.167)

Der $(2\ell+1)$‐dimensionale Unterraum

$$\mathcal{Y}_{\ell}=\mathrm{Span}\big\{Y_{\ell m}|m=-\ell,\dots,\ell\big\}\subset L_{2}\left(S^{2}\right)\,,$$

(27.168)

aufgespannt durch die Funktionen des Multipletts mit Bahndrehimpuls $\ell$, wird durch die Operatoren ${\hat{L}}_{3},L_{\pm}$ und damit durch die Drehimpulsoperatoren ${\hat{L}}_{i}$ auf sich abgebildet. Damit ist jedes $\mathcal{Y}_{\ell}$ in der orthogonalen Zerlegung

$$L_{2}(S^{2})=\mathcal{Y}_{0}\oplus\mathcal{Y}_{1}\oplus\mathcal{Y}_{2}\oplus\dots=\bigoplus_{\ell=0}^{\infty}\mathcal{Y}_{\ell}$$

(27.169)

invariant unter jeder Potenz von ${\boldsymbol{\alpha}}\cdot{\hat{\boldsymbol{L}}}$ und damit unter jeder Drehung ${\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})$.

Drehung von Kugelflächenfunktionen

Drehungen in $L_{2}(S^{2})$ lassen die Unterräume $\mathcal{Y}_{\ell}$ der Kugelflächenfunktionen mit festem Drehimpuls invariant, d. h.

$${\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})\left|{\ell m}\right\rangle=\sum_{m^{\prime}=-\ell}^{\ell}|\ell m^{\prime}\rangle D^{(\ell)}_{m^{\prime}m}({\boldsymbol{\alpha}})\,,$$

(27.170)

mit einer $(2\ell+1)$‐dimensionalen unitären Matrix

$$D^{(\ell)}_{m^{\prime}m}({\boldsymbol{\alpha}})=\langle\ell m^{\prime}|{\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})\left|{\ell m}\right\rangle.$$

(27.171)

Diese Formeln sind äquivalent zu

$$Y_{\ell m}\left({\boldsymbol{R}}^{-1}({\boldsymbol{\alpha}})\,{\boldsymbol{e}}_{r}\right)=\sum_{m^{\prime}=-\ell}^{\ell}Y_{\ell m^{\prime}}({\boldsymbol{e}}_{r})\,D^{(\ell)}_{m^{\prime}m}({\boldsymbol{\alpha}})\,.$$

(27.172)

Wir wollen uns nun davon überzeugen, dass für jedes $\ell$ die lineare Abbildung

$${\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\alpha}})\longrightarrow{\boldsymbol{D}}^{(\ell)}({\boldsymbol{\alpha}})$$

(27.173)

eine $(2\ell+1)$‐dimensionale unitäre Darstellung der Drehgruppe definiert.

Die Matrix ${\boldsymbol{D}}^{(\ell)}({\boldsymbol{\alpha}})$ ist die Einschränkung des unitären Operators ${\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})$ auf den invarianten Teilraum $\mathcal{Y}_{\ell}$ und ist deshalb selbst unitär. Seien nun

$$\begin{aligned}D^{(\ell)}_{m^{\prime}m}({\boldsymbol{\alpha}})&=\langle\ell m^{\prime}|{\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})\left|{\ell m}\right\rangle\,,\\ D^{(\ell)}_{m^{\prime}m}({\boldsymbol{\beta}})&=\langle\ell m^{\prime}|{\hat{U}}({\boldsymbol{\beta}})\left|{\ell m}\right\rangle\end{aligned}$$

(27.174)

die den Drehungen ${\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\alpha}})$ und ${\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{\beta}})$ zugeordneten Matrizen und ${\hat{U}}({\boldsymbol{\gamma}})$ wie in (27.167) definiert. Dann ist

$$\begin{aligned}D^{(\ell)}_{m^{\prime}m}({\boldsymbol{\gamma}})&=\langle\ell m^{\prime}|{\hat{U}}({\boldsymbol{\gamma}})\left|{\ell m}\right\rangle=\langle\ell m^{\prime}|{\hat{U}}({\boldsymbol{\beta}}){\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})\left|{\ell m}\right\rangle\\ &=\sum_{m^{\prime\prime}}\langle\ell m^{\prime}|{\hat{U}}({\boldsymbol{\beta}})|\ell m^{\prime\prime}\rangle\langle\ell m^{\prime\prime}|{\hat{U}}({\boldsymbol{\alpha}})\left|{\ell m}\right\rangle\\ &=\sum_{m^{\prime\prime}}D^{(\ell)}_{m^{\prime}m^{\prime\prime}}({\boldsymbol{\beta}})D^{(\ell)}_{m^{\prime\prime}m}({\boldsymbol{\alpha}})\end{aligned}$$

(27.175)

bzw.

$${\boldsymbol{D}}^{(\ell)}({\boldsymbol{\gamma}})={\boldsymbol{D}}^{(\ell)}({\boldsymbol{\beta}}){\boldsymbol{D}}^{(\ell)}({\boldsymbol{\alpha}})\,.$$

(27.176)

Da zusätzlich ${\boldsymbol{D}}^{(\ell)}({\boldsymbol{0}})={\boldsymbol{I}}$ gilt haben wir bewiesen, dass (27.173 ) eine $(2\ell+1)$‐dimensionale Darstellung der Drehgruppe SO(3) ist. Diese Darstellungen haben keinen invarianten Teilraum – derartige Darstellungen nennt man irreduzibel –, da vermittels der Leiteroperatoren alle Eigenfunktionen ${Y_{\ell m}}$ im Darstellungsraum $\mathcal{Y}_{\ell}$ aus $Y_{\ell\ell}$ gewonnen werden können.

Die Darstellungsmatrizen ${\boldsymbol{D}}^{(\ell)}$ können mit unseren bisherigen Resultaten berechnet werden. In Aufgabe 27.5 bestimmen wir diese für $\ell=1/2$ und $\ell=1$.

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

27.1 • Erhaltene Größen

Betrachten Sie den Hamilton‐Operator für ein Teilchen im $\mathbb{R}^{3}$:

$${\hat{H}}=\frac{{\hat{\boldsymbol{p}}}^{2}}{2m}+V({\hat{\boldsymbol{x}}})$$

(27.177)

mit dem Potenzial

$$V(x,y,z)=V(\varrho)\,,\qquad\varrho^{2}=x^{2}+y^{2}\,.$$

(27.178)

• (a) Welche Symmetrien hat das System?

• (b) Geben Sie die zugehörigen Erhaltungsgrößen an.

27.2 • Einfache Konsequenz der Drehimpulsalgebra

Zeigen Sie folgenden Sachverhalt: Vertauscht ein Operator ${\hat{A}}$ mit zwei Komponenten des Drehimpulsoperators ${\boldsymbol{J}\kern-4.0pt\hat{\phantom{\boldsymbol{J}}}}$, so vertauscht er auch mit der dritten Komponente.

Lösungshinweis:

Hier darf man die Jacobi‐Identität verwenden.

27.3 •• Vektor‐Operatoren

In dieser Aufgabe untersuchen wir das Transformationsverhalten von Wellenfunktionen und Operatoren bei Drehungen im Raum.

• (a) Beweisen Sie zuerst, dass ${\hat{\boldsymbol{x}}}$ ein Vektoroperator ist:

  $${\hat{U}}({\boldsymbol{R}}){\hat{\boldsymbol{x}}}{\hat{U}}^{-1}({\boldsymbol{R}})={\boldsymbol{R}}^{-1}{\hat{\boldsymbol{x}}}\,.$$

  (27.179)

• (b) Wie transformieren die Wellenfunktionen $\tilde{\psi}({\boldsymbol{p}})$ im Impulsraum unter Drehungen?

• (c) Argumentieren Sie nun, dass auch der Impulsoperator ${\hat{\boldsymbol{p}}}$ ein Vektoroperator ist.

• (d) Warum folgt daraus, dass auch ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ ein Vektoroperator ist:

  $${\hat{U}}({\boldsymbol{R}}){\hat{\boldsymbol{L}}}{\hat{U}}^{-1}({\boldsymbol{R}})={\boldsymbol{R}}^{-1}{\hat{\boldsymbol{L}}}\,?$$

  (27.180)

• (e) Warum vertauscht ${\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}$ mit den Operatoren ${\hat{L}}_{i}$?

Lösungshinweis:

In Teilaufgabe (c) löst man am besten im Impulsraum. Teilaufgabe (d) und (c) können ohne Rechnung gelöst werden.

27.4 •• Drehimpuls

Der Bahndrehimpulsoperator eines Teilchens ist ${\hat{\boldsymbol{L}}}={\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}$. Ziel dieser Aufgabe ist es, die wichtigen Kommutatoren $[{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}]$ zu berechnen.

• (a) Berechnen Sie zuerst die Kommutatoren

  $$[{\hat{L}}_{i},{\hat{x}}_{j}]\quad\text{und}\quad[{\hat{L}}_{i},{\hat{p}}_{j}]\,.$$

  (27.181)

• (b) Mit dem Ergebnis sollten Sie nun die Kommutatoren

  $$[{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}]\,$$

  (27.182)

  zwischen den Komponenten des Drehimpulses bestimmen.

27.5 •• Darstellungen der Drehimpulsalgebra

Es seien ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{1},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{2},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}$ die kartesischen Komponenten eines Drehimpulsoperators mit den Vertauschungsrelationen

$$[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{1},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{2}]=\mathrm{i}\hbar{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}\quad\text{und zyklisch}$$

(27.183)

und ${\boldsymbol{J}\kern-4.0pt\hat{\phantom{\boldsymbol{J}}}{}^{2}}$ das Quadrat des Drehimpulses. Wie im Text gezeigt wurde, können die hermiteschen Operatoren ${\boldsymbol{J}\kern-4.0pt\hat{\phantom{\boldsymbol{J}}}{}^{2}}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}$ gleichzeitig diagonalisiert werden:

$$\begin{aligned}{\boldsymbol{J}\kern-4.0pt\hat{\phantom{\boldsymbol{J}}}{}^{2}}\left|{jj_{3}}\right\rangle&=\hbar^{2}j(j+1)\left|{jj_{3}}\right\rangle\,,\\ {J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}\left|{jj_{3}}\right\rangle&=\hbar j_{3}\left|{jj_{3}}\right\rangle\end{aligned}$$

(27.184)

mit halbganzem j und $j_{3}\in\left\{-j,-j+1,\dots,j-1,j\right\}$. In Teilaufgabe (c) und (d) hat die Quantenzahl j einen festen Wert und wird nicht explizit geschrieben.

• (a) Berechnen Sie die $(2j+1)$‐dimensionalen Matrizen ${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{3}$ und ${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{+}$ mit den Matrixelementen

  $$\begin{aligned}(D^{(j)}_{3})_{j^{\prime}_{3}j_{3}}&=\langle jj^{\prime}_{3}|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}\left|{jj_{3}}\right\rangle\,,\\ (D^{(j)}_{+})_{j^{\prime}_{3}j_{3}}&=\langle jj^{\prime}_{3}|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}\left|{jj_{3}}\right\rangle\,,\end{aligned}$$

  (27.185)

  wobei ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}={J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{1}+\mathrm{i}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{2}$ der im Text eingeführte Aufsteigeoperator ist. Man erinnere sich hier an die Wirkung dieses Operators auf die Eigenvektoren $\left|{jj_{3}}\right\rangle$.

• (b) Was ist die Beziehung zwischen den Matrizen ${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{+}$ und ${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{-}$, wobei letztere die Matrixelemente $\langle j^{\prime}_{3}|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{-}\left|{j_{3}}\right\rangle$ hat?

• (c) Berechnen Sie nun explizit die zweidimensionalen Matrizen ${\boldsymbol{D}}_{i}$ für $j=1/2$ und deren Vertauschungsrelationen.

• (d) Berechnen Sie nun die dreidimensionalen Matrizen ${\boldsymbol{D}}_{i}$ für j = 1 und deren Vertauschungsrelationen.

• (e) Haben Sie eine Erklärung dafür, dass sich dieselben Vertauschungsrelationen ergeben wie für die ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i}$?

Lösungshinweis:

Im Text wurde gezeigt, dass die drei Matrizen

$${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{1}=\frac{1}{2}\left({\boldsymbol{D}}^{(j)}_{+}+{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{-}\right)\,,\;\;{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{2}=\frac{1}{2\mathrm{i}}\left({\boldsymbol{D}}^{(j)}_{+}-{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{-}\right)\,,\;\;{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{3}$$

(27.186)

eine $(2j+1)$‐dimensionale Darstellung der Drehimpulse ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{1},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{2}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}$ definieren.

27.6 •• Zugeordnete Legendre‐Funktionen

Zeigen Sie, dass die zugeordneten Legendre‐Funktionen

$$P_{\ell}^{\,m}(u)=\frac{(-1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!}\frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!}\left(1-u^{2}\right)^{(1-m)/2}\frac{\mathrm{d}^{\ell-m}}{\mathrm{d}u^{\ell-m}}\left(1-u^{2}\right)^{\ell}$$

(27.187)

• (a) für $m=\ell$ gleich den Funktionen in (27.131) sind,

• (b) die Rekursionsrelationen (27.132) erfüllen.

27.7 • Hantelmolekül

Der Hamilton‐Operator eines starren Hantelmoleküls, das im Schwerpunktsystem um den Koordinatenursprung rotiert, ist durch ${\hat{H}}={\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}/2I$ gegeben. Dabei ist ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ der Bahndrehimpuls und I das Trägheitsmoment des Moleküls.

• (a) Bestimmen Sie die Energieeigenwerte und deren Entartung sowie die entsprechenden Energieeigenzustände.

• (b) Bezüglich einer raumfesten Achse werde das Molekül zu einem bestimmten Zeitpunkt durch die Wellenfunktion

  $$\psi(\vartheta,\varphi)=N\left(\sin\vartheta\cos\varphi+\sin\vartheta\sin\varphi+\cos\vartheta\right)$$

  (27.188)

  beschrieben, wobei N ein Normierungsfaktor und $\vartheta,\varphi$ die üblichen Polarwinkel sind. Wie wahrscheinlich ist es, bei der Messung der verträglichen Observablen ${\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}$ und ${\hat{L}}_{3}$ die Wertepaare $(2\hbar^{2},-\hbar),\,(2\hbar^{2},0)$ bzw. $(2\hbar^{2},\hbar)$ zu finden?

Lösungshinweis:

Schreiben Sie ψ als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen. Überlegen Sie zunächst anhand der Potenzen der trigonometrischen Funktionen von $\vartheta$, welche Werte $\ell$ dabei haben kann.

27.8 •• Auswahlregeln

Aufgrund von Symmetrieüberlegungen kann man oft auf das Verschwinden gewisser Matrixelemente von Operatoren schließen. Bedingungen an die Quantenzahlen, sodass die Matrixelemente nicht notwendigerweise verschwinden, nennt man Auswahlregeln. Betrachtet man ein spinloses Teilchen in einem drehinvarianten Potenzial, so können die Energieeigenzustände von der Form $\left|{n\ell m}\right\rangle$ gewählt werden, wobei $\ell$ und m die Indizes der Kugelflächenfunktionen sind. Die zusätzliche Quantenzahl n wird im Folgenden keine Rolle spielen und deshalb nicht geschrieben.

• (a) Bestimmen Sie die Auswahlregeln für Matrixelemente der Form

  $$\left\langle{\ell^{\prime}m^{\prime}}\right|{\hat{A}}\left|{\ell m}\right\rangle\,,$$

  (27.189)

  die aus der Paritätserhaltung folgen. Dabei sei ${\hat{A}}$ entweder ein gerader oder ungerader Operator unter Spiegelungen. Spezialisieren Sie auf den elektrischen Dipoloperator ${\hat{\boldsymbol{D}}}=e{\hat{\boldsymbol{x}}}$ und den Bahndrehimpulsoperator ${\hat{\boldsymbol{L}}}$.

• (b) Berechnen Sie für die Matrixelemente

  $$\langle\ell^{\prime}m^{\prime}|{\hat{L}}_{i}\left|{\ell m}\right\rangle$$

  (27.190)

  exakt und finden sie die Auswahlregeln (nicht alle mit den Auswahlregeln verträglichen Matrixelemente sind ungleich null). Beginnen Sie mit der Auswahlregel, die $\ell^{\prime}$ und $\ell$ verbindet.

• (c) Finden Sie Auswahlregeln für

  $$\left\langle{n^{\prime}\ell^{\prime}m^{\prime}}\right|{\hat{V}}_{i}\left|{n\ell m}\right\rangle\,$$

  (27.191)

  bezüglich der magnetischen Quantenzahlen $m,\,m^{\prime}$, wobei ${\hat{\boldsymbol{V}}}$ ein beliebiger Vektoroperator ist.

Lösungshinweis:

Verwenden Sie die Vertauschungsrelationen zwischen den Komponenten ${\hat{V}}_{3},{\hat{V}}_{\pm}$ eines Vektoroperators ${\hat{\boldsymbol{V}}}$ mit ${\hat{L}}_{3}$, um Auswahlregeln für die magnetische Quantenzahl zu erhalten. Dabei sind wieder ${\hat{V}}_{\pm}={\hat{V}}_{1}\pm\mathrm{i}{\hat{V}}_{2}$.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

27.1

• (a) Die potenzielle Energie ändert sich nicht bei einer Spiegelung von ${\boldsymbol{x}}$ am Ursprung. Deshalb vertauscht ${\hat{H}}$ mit dem unitären Paritätsoperator:

  $${\hat{U}}(P){\hat{H}}{\hat{U}}^{-1}(P)={\hat{H}}\,.$$

  (27.192)

  Das Potenzial hängt nicht von der Koordinate z ab, und somit sind Verschiebungen in z‐Richtung Symmetrien des Systems:

  $${\hat{U}}(a{\boldsymbol{e}}_{3}){\hat{H}}{\hat{U}}^{-1}(a{\boldsymbol{e}}_{3})={\hat{H}}\,.$$

  (27.193)

  Die potenzielle Energie hängt nur vom Abstand zwischen ${\boldsymbol{x}}$ und der z‐Achse ab und ändert sich deshalb nicht bei einer Drehung um diese Achse:

  $${\hat{U}}\left({\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{e}}_{3},\vartheta)\right){\hat{H}}{\hat{U}}^{-1}\left({\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{e}}_{3},\vartheta)\right)={\hat{H}}\,.$$

  (27.194)

• (b) Das Theorem von Emmy Noether in der Quantentheorie besagt, dass die Erzeugende einer kontinuierlichen Symmetrie mit dem Hamilton‐Operator vertauscht.

  Die Verschiebungen in z‐Richtung werden von der Impulskomponente ${\hat{p}}_{3}$ erzeugt und die Drehungen um die z‐Achse von der Drehimpulskomponente ${\hat{L}}_{3}$. Somit ergeben sich neben der Parität noch der Impuls ${\hat{p}}_{3}$ und der Drehimpuls ${\hat{L}}_{3}$ als Erhaltungsgrößen.

27.2

Nach Voraussetzung ist

$$[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i},{\hat{A}}]=[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{j},{\hat{A}}]=0$$

(27.195)

für $i\neq j$. Mithilfe der Jacobi‐Identität folgt

$$\begin{aligned}0&=[[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{j}],{\hat{A}}]+[[{\hat{A}},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i}],{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{j}]+[[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{j},{\hat{A}}],{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i}]\\ &=[[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{j}],{\hat{A}}]\,,\end{aligned}$$

(27.196)

sodass auch der Kommutator $[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{j}]=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{k}$ mit dem Operator ${\hat{A}}$ vertauscht. Für $i\neq j$ ist der Kommutator von ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{j}$ proportional der fehlenden Komponente des Drehimpulsoperators.

27.3

• (a) Wenden wir die Operatoren ${\hat{U}}^{-1},{\hat{\boldsymbol{x}}}$ und ${\hat{U}}$ in dieser Reihenfolge auf eine Wellenfunktion im Ortsraum an, dann erhalten wir

  $$\psi({\boldsymbol{x}})\stackrel{{\hat{U}}^{-1}}{\mapsto}\psi({\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{x}})\stackrel{{\hat{\boldsymbol{x}}}}{\mapsto}{\boldsymbol{x}}\psi({\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{x}})\stackrel{{\hat{U}}}{\mapsto}\left({\boldsymbol{R}}^{-1}{\boldsymbol{x}}\right)\psi({\boldsymbol{x}})\,.$$

  (27.197)

  Das gleiche Ergebnis finden wir, wenn wir mit ${\boldsymbol{R}}^{-1}{\hat{\boldsymbol{x}}}$ auf die Wellenfunktion wirken. Da dies für alle Wellenfunktionen gilt, folgt das Transformationsgesetz in (27.179).

• (b) Bei einer Drehung transformiert eine Wellenfunktion im Ortsraum in $\psi({\boldsymbol{R}}^{-1}{\boldsymbol{x}})$. Die Fourier‐Transformierte der transformierten Wellenfunktion ist

  $$\left({\hat{U}}({\boldsymbol{R}})\tilde{\psi}\right)({\boldsymbol{p}})=\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{p}}\cdot{\boldsymbol{x}}/\hbar}\psi({\boldsymbol{R}}^{-1}{\boldsymbol{x}})\,.$$

  (27.198)

  Setzen wir die Integrationsvariable ${\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{y}}$, findet man mit $\det{\boldsymbol{R}}=1$

  $$\left({\hat{U}}({\boldsymbol{R}})\tilde{\psi}\right)({\boldsymbol{p}})=\kappa\int\mathrm{d}^{3}y\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{p}}\cdot({\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{y}})/\hbar}\psi({\boldsymbol{y}})\,.$$

  (27.199)

  Benutzt man im Exponenten die Relation ${\boldsymbol{p}}\cdot({\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{y}})=({\boldsymbol{R}}^{-1}{\boldsymbol{p}})\cdot{\boldsymbol{y}}$, erhält man

  $$\left({\hat{U}}({\boldsymbol{R}})\tilde{\psi}\right)({\boldsymbol{p}})=\tilde{\psi}\left({\boldsymbol{R}}^{-1}{\boldsymbol{p}}\right)\,.$$

  (27.200)

• (c) Ähnlich wie in Teilaufgabe (a) berechnen wir nun das Produkt der Operatoren ${\hat{U}}{\hat{\boldsymbol{p}}}{\hat{U}}^{-1}$ im Impulsraum:

  $$\tilde{\psi}({\boldsymbol{p}})\stackrel{{\hat{U}}^{-1}}{\mapsto}\tilde{\psi}({\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{p}})\stackrel{{\hat{\boldsymbol{p}}}}{\mapsto}{\boldsymbol{p}}\tilde{\psi}({\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{p}})\stackrel{{\hat{U}}}{\mapsto}\left({\boldsymbol{R}}^{-1}{\boldsymbol{p}}\right)\tilde{\psi}({\boldsymbol{p}})\,.$$

  (27.201)

  Das gleiche Ergebnis finden wir, wenn wir mit ${\boldsymbol{R}}^{-1}{\hat{\boldsymbol{p}}}$ auf die Wellenfunktion im Impulsraum wirken. Somit folgt das Transformationsgesetz:

  $${\hat{U}}({\boldsymbol{R}}){\hat{\boldsymbol{p}}}{\hat{U}}^{-1}({\boldsymbol{R}})={\boldsymbol{R}}^{-1}{\hat{\boldsymbol{p}}}\,.$$

  (27.202)

• (d) Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor unter eigentlichen Drehungen. Dies gilt insbesondere für das Kreuzprodukt ${\hat{\boldsymbol{L}}}={\hat{\boldsymbol{x}}}\times{\hat{\boldsymbol{p}}}$ der Vektoroperatoren ${\hat{\boldsymbol{x}}}$ und ${\hat{\boldsymbol{p}}}$.

• (e) Da ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ ein Vektoroperator ist, ist

  $${\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}={\hat{\boldsymbol{L}}}\cdot{\hat{\boldsymbol{L}}}$$

  (27.203)

  ein skalarer Operator, der mit allen Drehungen ${\hat{U}}({\boldsymbol{R}})$ vertauscht. Deshalb vertauscht er auch mit den Erzeugenden der Drehungen, d. h. mit den Komponenten des Drehimpulses. Die explizite Rechnung bestätigt dies:

  $$\begin{aligned}{}\big[{\hat{L}}_{i}{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}\big]&={\hat{L}}_{i}\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}\big]+\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}\big]{\hat{L}}_{i}\\ &=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}\left({\hat{L}}_{i}{\hat{L}}_{k}+{\hat{L}}_{k}{\hat{L}}_{i}\right)=0\,.\end{aligned}$$

  (27.204)

  In der letzten Gleichung haben wir berücksichtigt, dass $\varepsilon_{ijk}$ antisymmetrisch in ij ist, während der Ausdruck in Klammern symmetrisch ist.

27.4

• (a) Wir berechnen zuerst die Kommutatoren zwischen den Komponenten des Drehimpulses und denjenigen des Ortsoperators. Dabei benutzen wir $[{\hat{x}}_{i},{\hat{p}}_{j}]=\mathrm{i}\hbar\delta_{ij}$ und ${\hat{L}}_{i}=\varepsilon_{irs}{\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{s}$, sodass

  $$\begin{aligned}\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{x}}_{j}\big]&=\varepsilon_{irs}\big[{\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{s},{\hat{x}}_{j}\big]=\varepsilon_{irs}{\hat{x}}_{r}\big[{\hat{p}}_{s},{\hat{x}}_{j}\big]\\ &=-\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{irj}{\hat{x}}_{r}=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijr}{\hat{x}}_{r}\,.\end{aligned}$$

  (27.205)

  Ähnlich bestimmt man die Kommutatoren zwischen den ${\hat{L}}_{i}$ und den Komponenten des Impulsoperators:

  $$\begin{aligned}[{\hat{L}}_{i},{\hat{p}}_{j}]&=\varepsilon_{irs}[{\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{s},{\hat{p}}_{j}]=\varepsilon_{irs}[{\hat{x}}_{r},{\hat{p}}_{j}]{\hat{p}}_{s}\\ &=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijs}{\hat{p}}_{s}\,.\end{aligned}$$

  (27.206)

• (b) Daraus folgt nun

  $$\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}\big] =\varepsilon_{jrs}\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{s}\big]=\varepsilon_{jrs}{\hat{x}}_{r}\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{p}}_{s}\big]+\varepsilon_{jrs}\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{x}}_{r}\big]{\hat{p}}_{s}$$
  $$ =\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{jrs}\left(\varepsilon_{ist}{\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{t}+\varepsilon_{irt}{\hat{x}}_{t}{\hat{p}}_{s}\right)\,.$$

  (27.207)

  An dieser Stelle benötigen wir die Kontraktion von zwei $\varepsilon$‐Tensoren:

  $$\varepsilon_{jrs}\varepsilon_{its}=\delta_{ji}\delta_{rt}-\delta_{jt}\delta_{ri}\,.$$

  (27.208)

  Damit erhält man

  $$\big[{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}\big] =\mathrm{i}\hbar\left(-\delta_{ji}\delta_{rt}+\delta_{jt}\delta_{ri}\right){\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{t}+\mathrm{i}\hbar\left(\delta_{ji}\delta_{st}-\delta_{jt}\delta_{si}\right){\hat{x}}_{t}{\hat{p}}_{s}$$
  $$ =\mathrm{i}\hbar\left(-\delta_{ji}{\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{r}+{\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{j}+{\hat{x}}_{s}{\hat{p}}_{s}\delta_{ij}-{\hat{x}}_{j}{\hat{p}}_{i}\right)$$
  $$ =\mathrm{i}\hbar\left({\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{j}-{\hat{x}}_{j}{\hat{p}}_{i}\right)\,.$$

  (27.209)

  Auf der anderen Seite ist

  $$\begin{aligned}\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}&=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{krs}{\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{s}=(\delta_{ir}\delta_{js}-\delta_{is}\delta_{jr}){\hat{x}}_{r}{\hat{p}}_{s}\\ &={\hat{x}}_{i}{\hat{p}}_{j}-{\hat{x}}_{j}{\hat{p}}_{i}\,.\end{aligned}$$

  (27.210)

  Der Vergleich mit (27.209) führt auf die Vertauschungsrelationen für die Komponenten der Drehimpulses:

  $$[{\hat{L}}_{i},{\hat{L}}_{j}]=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}{\hat{L}}_{k}\,.$$

  (27.211)

27.5

• (a) Im Text wurde bewiesen, dass der Aufsteigeoperator ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}={J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{1}+\mathrm{i}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{2}$ wie folgt auf die gemeinsamen Eigenvektoren von ${\boldsymbol{J}\kern-4.0pt\hat{\phantom{\boldsymbol{J}}}{}^{2}}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}$ wirkt:

  $$\begin{aligned}J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}_{+}\left|{jj_{3}}\right\rangle&=\hbar c_{+}(j,j_{3})\,\left|{j,j_{3}+1}\right\rangle\quad\text{mit}\\ c^{2}_{+}(j,j_{3})&=j(j+1)-j_{3}(j_{3}+1)\,.\end{aligned}$$

  (27.212)

  Deshalb finden wir für die gesuchten Matrixelemente

  $$\begin{aligned}(D^{(j)}_{3})_{j^{\prime}_{3}j_{3}}&=\hbar j_{3}\langle jj^{\prime}_{3}|jj_{3}\rangle=\hbar j_{3}\delta_{j_{3}^{\prime}j_{3}}\,,\\ (D^{(j)}_{+})_{j^{\prime}_{3}j_{3}}&=\hbar c_{+}(j,j_{3})\,\delta_{j^{\prime}_{3},j_{3}+1}\,.\end{aligned}$$

  (27.213)

• (b) Der Absteigeoperator ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{-}$ ist adjungiert zum Aufsteigeoperator ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}$, sodass

  $$\begin{aligned}\left(D^{(j)}_{-}\right)_{j_{3}^{\prime}j_{3}}&=\langle j^{\prime}_{3}|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{-}\left|{j_{3}}\right\rangle\\ &=\langle j_{3}|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}|j_{3}^{\prime}\rangle^{*}=\left(D^{(j)}_{+}\right)_{j_{3}j_{3}^{\prime}}^{*}\,,\end{aligned}$$

  (27.214)

  was bedeutet, dass die Matrizen adjungiert zueinander sind:

  $${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{-}={\boldsymbol{D}}^{(j)\dagger}_{+}\,.$$

  (27.215)

  Es genügt also, die Matrix ${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{+}$ zu berechnen.

• (c) Für $j=\tfrac{1}{2}$ existieren die beiden Zustände $|\!{1}/{2}\rangle$ und $|{-1}/{2}\rangle$, und das nicht verschwindende $c_{+}$ lautet

  $$c_{+}(-\textstyle\frac{1}{2})=1\,.$$

  (27.216)

  Die Matrixelemente ungleich null sind

  $$\begin{aligned}\left\langle{\pm\textstyle\frac{1}{2}}\right|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}\left|{\pm\textstyle\frac{1}{2}}\right\rangle&=\pm\frac{\hbar}{2}\,,\\ \left\langle{\textstyle\frac{1}{2}}\right|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}\left|{-\textstyle\frac{1}{2}}\right\rangle&=\hbar\,.\end{aligned}$$

  (27.217)

  Wählen wir ${\boldsymbol{e}}_{1}=|{1}/{2}\rangle$ und ${\boldsymbol{e}}_{2}=|{-1}/{2}\rangle$, dann haben die darstellenden Matrizen die Form

  $${\boldsymbol{D}}_{3}=\frac{\hbar}{2}\sigma_{3}\,,\quad{\boldsymbol{D}}_{+}=\hbar\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\,.$$

  (27.218)

  Daraus folgt nun unmittelbar

  $${\boldsymbol{D}}_{1}=\frac{\hbar}{2}\sigma_{1}\,,\quad{\boldsymbol{D}}_{2}=\frac{\hbar}{2}\sigma_{2}\,,$$

  (27.219)

  wobei $\sigma_{1},\sigma_{2}$ und $\sigma_{3}$ die in Aufgabe 24.7 eingeführten Pauli‐Matrizen sind. Man findet die Vertauschungsregeln

  $$\left[{\boldsymbol{D}}_{i},{\boldsymbol{D}}_{j}\right]=\frac{\mathrm{i}\hbar^{2}}{2}\varepsilon_{ijk}\sigma_{k}=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}{\boldsymbol{D}}_{k}\,.$$

  (27.220)

• (d) Für j = 1 existieren drei Drehimpulseigenzustände $\left|{1}\right\rangle,\,\left|{0}\right\rangle$ und $\left|{-1}\right\rangle$, charakterisiert durch die magnetische Quantenzahl. Die $c_{+}$‐Koeffizienten ungleich null lauten

  $$c_{+}(0)=c_{+}(-1)=\sqrt{2}\,.$$

  (27.221)

  Entsprechend sind die nicht verschwindenden Matrixelemente von ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}$ gleich

  $$\begin{aligned}\left\langle{j_{3}}\right|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}\left|{j_{3}}\right\rangle&=\hbar j_{3}\,,\\ \left\langle{1}\right|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}\left|{0}\right\rangle&=\left\langle{0}\right|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{+}\left|{-1}\right\rangle=\hbar\sqrt{2}\,.\end{aligned}$$

  (27.222)

  Ordnen wir die Basisvektoren gemäß ${\boldsymbol{e}}_{1}=\left|{1}\right\rangle,\,{\boldsymbol{e}}_{2}=\left|{0}\right\rangle$ und ${\boldsymbol{e}}_{3}=\left|{-1}\right\rangle$, dann sind die zugehörigen Matrizen

  $${\boldsymbol{D}}_{3}=\hbar\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\,,\quad{\boldsymbol{D}}_{+}=\sqrt{2}\hbar\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\,.$$

  (27.223)

  Die noch fehlende Matrix ${\boldsymbol{D}}_{-}$ ist die Transponierte von ${\boldsymbol{D}}_{+}$. Daraus folgt

  $${\boldsymbol{D}}_{1}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\,,\quad{\boldsymbol{D}}_{2}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}&0\\ \mathrm{i}&0&-\mathrm{i}\\ 0&\mathrm{i}&0\end{pmatrix}\,.$$

  (27.224)

  Man findet die Vertauschungsregeln

  $$\left[{\boldsymbol{D}}_{1},{\boldsymbol{D}}_{2}\right]=\mathrm{i}\hbar{\boldsymbol{D}}_{3}\quad\text{und zyklisch.}$$

  (27.225)

• (e) Die lineare Abbildung ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i}\mapsto{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{i}$ von den Operatoren auf die $(2j+1)$‐dimensionalen Matrizen erhält die Struktur der Lie‐Algebra, d. h., die drei Matrizen $\{{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{1},{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{2},{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{3}\}$ bilden eine Darstellung der Drehimpulsalgebra. Insbesondere gilt: Werden den Operatoren ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{r}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{s}$ die Matrizen ${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{r}$ und ${\boldsymbol{D}}^{(j)}_{s}$ zugeordnet, dann wird dem Kommutator $[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{r},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{s}]$ der Kommutator dieser Matrizen zugeordnet:

  $$\langle jj_{3}^{\prime}|\,[{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{r},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{s}]\left|{jj_{3}}\right\rangle =\sum_{j_{3}^{\prime\prime}}\langle jj_{3}^{\prime}|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{r}|jj_{3}^{\prime\prime}\rangle\langle jj_{3}^{\prime\prime}|{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{s}\left|{jj_{3}}\right\rangle-\left(r\leftrightarrow s\right)$$
  $$ =\sum_{j_{3}^{\prime\prime}}(D^{(j)}_{r})_{j_{3}^{\prime}j_{3}^{\prime\prime}}(D^{(j)}_{r})_{j_{3}^{\prime\prime}j_{3}}-\left(r\leftrightarrow s\right)$$
  $$ =[{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{r},{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{s}]_{j_{3}^{\prime}j_{3}}\,.$$

  (27.226)

  Die Abbildung ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{i}\mapsto{\boldsymbol{D}}^{(j)}_{i}$ liefert für jedes halbganze j eine irreduzible Darstellung der Lie‐Algebra der Drehimpulse.

27.6

• (a) Für $m=\ell$ wird nicht abgeleitet, und man erhält

  $$P_{\ell}^{\,\ell}(\vartheta)=\frac{(-1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!}(2\ell)!\,\left(1-u^{2}\right)^{\ell/2}\,,$$

  (27.227)

  was wegen $u=\cos\vartheta$ genau das Resultat (27.131) ist.

• (b) Wir vergleichen die Relation (27.187) für $P_{\ell}^{\,m}$ mit der entsprechenden Relation für $P_{\ell}^{\,m-1}$. Man erkennt, dass man die zweite Funktion aus der ersten berechnen kann:

  $$P_{\ell}^{\,m-1} =\frac{(\ell+m-1)!}{(\ell+1-m)!}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}$$

  (27.228)
  $$ \cdot\left(1-u^{2}\right)^{(1-m)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left[\left(1-u^{2}\right)^{m(2}P_{\ell}^{\,m}\right]\,.$$

  Kürzt man noch im Vorfaktor, erhält man die Rekursionsrelation (27.132).

27.7

• (a) Die gemeinsamen Eigenvektoren von ${\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}$ und ${\hat{L}}_{3}$ sind die Zustände $\left|{\ell m}\right\rangle$, und es gilt ${\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}\left|{\ell m}\right\rangle=\hbar^{2}\ell(\ell+1)\left|{\ell m}\right\rangle$. Die Entartung des Eigenwertes ist $2\ell+1$. Deshalb sind die Energien des Hantelmoleküls gleich

  $$E_{\ell}=\frac{\hbar^{2}\ell(\ell+1)}{2I}\,,\quad\text{Entartung }2\ell+1\,.$$

  (27.229)

• (b) Man hat

  $$\begin{aligned}Y_{1\,0}&=\sqrt{\frac{3}{4\uppi}}\cos\vartheta\,,\\ Y_{1\,1}+Y_{1\,-1}&=-\mathrm{i}\sqrt{\frac{3}{2\uppi}}\sin\varphi\sin\vartheta\,,\\ Y_{1\,1}-Y_{1\,-1}&=-\sqrt{\frac{3}{2\uppi}}\cos\varphi\sin\vartheta\,,\end{aligned}$$

  (27.230)

  und die angegebene Funktion ist folgende Linearkombination dieser Kugelflächenfunktionen:

  $$\psi =\sqrt{\frac{2\uppi}{3}}N\left(\mathrm{i}(Y_{1\,1}+Y_{1\,-1})-(Y_{1\,1}-Y_{1\,-1})+\sqrt{2}Y_{1\,0}\right)$$
  $$ =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\uppi/4}Y_{1\,1}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\uppi/4}Y_{1\,-1}+Y_{1\,0}\right)\,.$$

  (27.231)

  Im letzten Schritt wurde die Normierungskonstante N so gewählt, dass ψ auf eins normiert ist, wobei benutzt wurde, dass die ${Y_{\ell m}}$ orthonormal sind. Bei einer Messung der verträglichen Observablen ${\boldsymbol{J}\kern-4.0pt\hat{\phantom{\boldsymbol{J}}}{}^{2}}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}_{3}$ misst man also nur die Wertepaare $(2\hbar^{2},-\hbar),\,(2\hbar^{2},0)$ und $(2\hbar^{2},\hbar)$, und jedes Paar wird mit derselben Wahrscheinlichkeit 1/3 gefunden.

27.8

• (a) Wir gewinnen die Auswahlregeln zur Parität, indem wir

  $${\hat{U}}(P){\hat{A}}{\hat{U}}^{-1}(P)=\pm{\hat{A}}\quad\text{und}\quad{\hat{U}}^{-1}(P)={\hat{U}}(P)\,$$

  (27.232)

  benutzen, mit einem $+$ für spiegelinvariante gerade Operatoren und einem $-$ für ungerade Operatoren. So ist ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ gerade und ${\hat{\boldsymbol{D}}}$ ungerade. Wegen ${\hat{U}}(P)\left|{n\ell m}\right\rangle=(-1)^{\ell}\left|{n\ell m}\right\rangle$ folgt

  $$\langle n^{\prime}\ell^{\prime}m^{\prime}|{\hat{A}}\left|{n\ell m}\right\rangle =\pm\langle n^{\prime}\ell^{\prime}m^{\prime}|{\hat{U}}(P){\hat{A}}{\hat{U}}^{-1}(P)\left|{n\ell m}\right\rangle$$
  $$ =\pm(-1)^{\ell+\ell^{\prime}}\langle n^{\prime}\ell^{\prime}m^{\prime}|{\hat{A}}\left|{n\ell m}\right\rangle\,.$$

  (27.233)

  Wir folgern, dass für den geraden Bahndrehimpuls ${\hat{\boldsymbol{L}}}$ die Summe der Drehimpulse $\ell+\ell^{\prime}$ gerade und für den ungeraden Dipoloperator ${\hat{\boldsymbol{D}}}$ ungerade sein muss.

• (b) Die Drehimpulsoperatoren vertauschen mit ${\hat{\boldsymbol{L}}{}^{2}}$ und ändern somit die Quantenzahl $\ell$ nicht. Es gilt also eine erste Auswahlregel $\ell=\ell^{\prime}$. Im Folgenden sei $\ell$ festgehalten und nicht mehr geschrieben. Die $2\ell+1$‐dimensionalen Matrizen ${\boldsymbol{D}}_{3}$ und ${\boldsymbol{D}}_{+}$ mit Matrixelementen

  $$\begin{aligned}(D_{3})_{m^{\prime}m}&=\langle m^{\prime}|{\hat{L}}_{3}\left|{m}\right\rangle=\hbar m\delta_{m^{\prime}m}\,,\\ (D_{+})_{m^{\prime}m}&=\langle m^{\prime}|{\hat{L}}_{+}\left|{m}\right\rangle=\hbar c_{+}(m)\,\delta_{m,m^{\prime}+1}\,,\\ (D_{-})_{m^{\prime}m}&=\langle m^{\prime}|{\hat{L}}_{-}\left|{m}\right\rangle=\hbar c_{-}(m)\,\delta_{m,m^{\prime}-1}\end{aligned}$$

  (27.234)

  wurden bereits in Aufgabe 27.5 bestimmt. Daraus folgen nun sofort die Matrixelemente von ${\hat{L}}_{1}$ und ${\hat{L}}_{2}$:

  $$(D_{1})_{m^{\prime}m} =\frac{\hbar}{2}\left(c_{+}(m)\,\delta_{m^{\prime},m+1}+c_{-}(m)\,\delta_{m^{\prime},m-1}\right)\,,$$
  $$(D_{2})_{m^{\prime}m} =\frac{\hbar}{2\mathrm{i}}\left(c_{+}(m)\,\delta_{m^{\prime},m+1}-c_{-}(m)\,\delta_{m^{\prime},m-1}\right)\,.$$

  (27.235)

  Die Matrixelemente der Drehimpulskomponenten ${\hat{L}}_{1},{\hat{L}}_{2}$ sind also nur ungleich null für $m^{\prime}=m\pm 1$, und diejenigen von ${\hat{L}}_{3}$ sind nur ungleich null für $m^{\prime}=m$.

• (c) Wir berechnen die Auswahlregeln bezüglich m und $m^{\prime}$ und schreiben deshalb nur diese Quantenzahl. Wir benutzen die Vertauschungsrelation

  $$[{\hat{L}}_{3},{\hat{V}}_{3}]=0,\quad[{\hat{L}}_{3},{\hat{V}}_{\pm}]=\pm\hbar{\hat{V}}_{\pm}\,.$$

  (27.236)

  Die erste Relation führt auf

  $$\begin{aligned}\hbar m\langle m^{\prime}|{\hat{V}}_{3}\left|{m}\right\rangle&=\langle m^{\prime}|{\hat{V}}_{3}{\hat{L}}_{3}\left|{m}\right\rangle\\ &=\left\langle{m^{\prime}}\right|{\hat{L}}_{3}\hat{V}_{3}\left|{m}\right\rangle\\ &=\hbar m^{\prime}\left\langle{m^{\prime}}\right|\hat{V}_{3}\left|{m}\right\rangle\,,\end{aligned}$$

  (27.237)

  und daraus folgt die Auswahlregel $m^{\prime}=m$ für den Operator ${\hat{V}}_{3}$. Die Vertauschungsrelation mit ${\hat{V}}_{+}$ impliziert

  $$\begin{aligned}\hbar\langle m^{\prime}|\hat{V}_{+}\left|{m}\right\rangle&=\langle m^{\prime}|[{\hat{L}}_{3},\hat{V}_{+}]\left|{m}\right\rangle\\ &=\hbar(m^{\prime}-m)\langle m^{\prime}|\hat{V}_{+}\left|{m}\right\rangle\,,\end{aligned}$$

  (27.238)

  woraus die Auswahlregel $m^{\prime}=m+1$ für diesen Operator folgt. Die Vertauschungsrelation mit ${\hat{V}}_{-}$ impliziert

  $$\begin{aligned}-\hbar\langle m^{\prime}|\hat{V}_{-}\left|{m}\right\rangle&=\langle m^{\prime}|[{\hat{L}}_{3},\hat{V}_{-}]\left|{m}\right\rangle\\ &=\hbar(m^{\prime}-m)\langle m^{\prime}|\hat{V}_{+}\left|{m}\right\rangle\,,\end{aligned}$$

  (27.239)

  was auf die Auswahlregel $m^{\prime}=m-1$ für ${\hat{V}}_{-}$ führt. Insgesamt erhalten wir für die Komponenten jedes Vektoroperators die Auswahlregel $|m-m^{\prime}|\leq 1$.