Magnetismus und elektrische Ströme

Kapitelvorwort

Wie lassen sich die Methoden der Elektrostatik auf die Magnetostatik übertragen?

Was unterscheidet magnetische Dipole von elektrischen?

Was ist Magnetisierung?

Warum schweben Supraleiter über Magneten?

Was ist eine magnetische Flasche?

Wie wird Strom erzeugt?

Wie wird elektrische Energie zum Verbraucher transportiert?

Wie schon in der Elektrostatik sind in vielen Anwendungen Polarisationseffekte der Materie zu berücksichtigen, die sich als Magnetisierung manifestieren. Diese kann – im Gegensatz zur Elektrostatik, wo Polarisation immer zu einer Abschwächung des elektrischen Feldes führt – sowohl abschwächend als auch verstärkend wirken. Extreme Verstärkungen treten durch das Phänomen des Ferromagnetismus auf, der entscheidenden Anteil an der technischen Bedeutung von Magnetismus hat.

Schrittweise werden wir in diesem Kapitel dann auch inhärent dynamische Situationen betrachten. Neben den Feldgleichungen werden wir insbesondere die Bewegungsgleichungen von geladenen Teilchen in gegebenen Magnetfeldern studieren, die sich wegen der Lorentz‐Kraft völlig anders verhalten, als man es von konservativen Kraftfeldern gewohnt ist.

Zum Schluss dieses Kapitels werden wir die makroskopische Beschreibung des Zusammenspiels von Materie und elektromagnetischen Feldern auf den uneingeschränkt zeitabhängigen Fall erweitern. Elektrische und magnetische Phänomene können dann nicht mehr getrennt behandelt werden, aber die Struktur der phänomenologischen Maxwell‐Gleichungen ist von gleicher Eleganz wie auf fundamentaler Ebene, auch wenn diese durch Materialgleichungen zu ergänzen sind, damit die Feldgleichungen gelöst werden können.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

15.1 • Coulomb‐Eichung in der Magnetostatik

Zeigen Sie, dass die in (15.9) angegebene Lösung der Vektor‐Poisson‐Gleichung bei natürlichen Randbedingungen die Coulomb‐Eichbedingung erfüllt, wenn ${\boldsymbol{\nabla}}\cdot{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}=0$ gilt.

15.2 •• Kreisförmige Leiterschleife

Berechnen Sie das Vektorpotenzial und das Magnetfeld einer kreisförmigen Leiterschleife mit Radius a und Stromstärke I in der Umgebung der Symmetrieachse (Abb. 15.27).

Lösungshinweis:

Verwenden Sie Zylinder‐ oder Kugelkoordinaten und überlegen Sie sich zuerst, welche Komponente von ${\boldsymbol{A}}$ als einzige nicht verschwindet. Entwickeln Sie den Integranden für das Vektorpotenzial nach einem geeigneten Parameter, der in der Nähe der Symmetrieachse klein wird.

Abb. 15.27

Kreisförmige Leiterschleife und Parametrisierung von Quell‐ und Aufpunkten in Kugelkoordinaten

15.3 •• Mittelwertsätze der Elektro‐ und Magnetostatik

Beweisen Sie die im Kasten „Vertiefung: Mittelwertsätze der Elektrostatik und der Magnetostatik“ angegebenen Ausdrücke für die Mittelung von ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$‐Feldern über eine Vollkugel mit Radius R mithilfe der in Aufgabe 13.12 bewiesenen Formel

$$\frac{3}{4\uppi R^{3}}\oint_{r=R}\mathbf{d}\boldsymbol{f}\frac{1}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}={{\boldsymbol{r}}^{\prime}}\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{r^{\prime 3}}&\mbox{f{\"u}r $r^{\prime}> R$}\\ \displaystyle\frac{1}{R^{3}}&\mbox{f{\"u}r $r^{\prime}<R$}\end{cases}.$$

(15.179)

Lösungshinweis:

Verwenden Sie die allgemeinen Lösungen der Potenziale bei natürlichen Randbedingungen.

15.4 • Induktion von Magnetisierungs‐Flächenströmen

In (15.69) bis (15.72) wurde das Magnetfeld bestimmt, das ein linienförmiger Strom parallel zu einem dia‐ oder paramagnetischen Halbraum hervorruft. Berechnen Sie die dabei induzierte Magnetisierungsflächenstromdichte und daraus den zugehörigen Gesamtmagnetisierungsstrom. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Bildstrom in (15.72).

15.5 •• Abschirmung von Magnetfeldern

Berechnen Sie den Faktor, um den ein äußeres homogenes Magnetfeld im Inneren einer Kugelschale (innerer Radius R ₁, äußerer R ₂) mit hoher Permeabilitätskonstante μ abgeschwächt wird (Abb. 15.28). Welche Reduktion wird für $\mu=10^{6}$ bei einer dünnen Schale mit $R_{2}=1{,}01R_{1}$ erreicht?

Abb. 15.28

Abschirmung von Magnetfeldern durch eine Kugelschale mit hoher Permeabilitätskonstante μ

15.6 • Selbstinduktivität eines Koaxialkabels

Berechnen Sie den Selbstinduktionskoeffizienten pro Längeneinheit eines Koaxialkabels, das aus einem zylindrischen Leiter mit Radius a und einer äußeren zylindrischen leitenden Hülle von vernachlässigbarer Dicke und Radius b besteht. Der Strom soll dabei in Längsrichtung entgegengesetzt im inneren und äußeren Leiter fließen, wobei der Stromfluss im inneren Zylinder gleichmäßig über den Querschnitt verteilt sein soll (Abb. 15.29).

Was ändert sich, wenn der innere Leiter ebenfalls durch einen Hohlzylinder mit vernachlässigbarer Wanddicke ersetzt wird?

Und was ändert sich, wenn der isolierende Zwischenraum durch ein Material mit Permeabilitätskonstante μ ausgefüllt wird?

Lösungshinweis:

Berechnen Sie den Selbstinduktionskoeffizienten über die Abhängigkeit der magnetische Feldenergie von der Stromstärke und berechnen Sie dafür das Magnetfeld aus dem Oersted’schen Gesetz (Ampère’sches Durchflutungsgesetz) unter Ausnutzung der Zylindersymmetrie.

Abb. 15.29

Koaxialkabel, bestehend aus einem zylindrischen Leiter mit Radius a und einer äußeren zylindrischen leitenden Hülle von vernachlässigbarer Dicke und Radius b

15.7 •• Gegeninduktion von zwei parallelen Kreisen

Zeigen Sie, dass der Gegeninduktionskoeffizient von zwei parallelen kreisförmigen Stromleitern mit Radius a bei $z=\pm h$ (Abb. 15.30) folgende Integraldarstellung hat:

$$L_{12}=\frac{\uppi a^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{2\uppi}\mathrm{d}\varphi\frac{\cos\varphi}{\sqrt{h^{2}+\frac{1}{2}a^{2}(1-\cos\varphi)}}.$$

(15.180)

Optional: Werten Sie dieses Integral unter Zuhilfenahme von mathematischer Computersoftware numerisch aus.

Abb. 15.30

Zwei parallele kreisförmige Stromleiter mit Radius a und Abstand $2h$

15.8 •• Magnetisches Moment bei Zyklotronbewegung

Berechnen Sie das magnetisches Moment ${\boldsymbol{m}}$ eines geladenen Teilchens mit Ladung q und Masse M, das durch ein homogenes Magnetfeld ${\boldsymbol{B}}$ auf einer Kreisbahn gemäß (15.128) gehalten wird. Vergleichen Sie die kinetische Energie T des Teilchens mit ${\boldsymbol{m}}\cdot{\boldsymbol{B}}$.

15.9 •• Feldlinien in einer magnetischen Flasche

Gegeben sei ein zylindersymmetrisches Magnetfeld der Form

$${\boldsymbol{B}}(\varrho,\varphi,z)=B_{\varrho}(\varrho,z)\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varrho}+B_{z}(z)\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}$$

(15.181)

mit einem bestimmten Profil $B_{z}(z)$. Berechnen Sie $B_{\varrho}$ sowie den Verlauf der magnetischen Feldlinien in der Zylinderkoordinate $\varrho$ als Funktion von z: $\varrho=\varrho(z)$.

15.10 •• Punktladung in homogenen ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$‐Feldern

Lösen Sie die Bewegungsgleichung für ein (nichtrelativistisches) geladenes Punktteilchen, wenn zusätzlich zu einem homogenen Magnetfeld in z‐Richtung wie in (15.125) ein homogenes elektrisches Feld mit beliebiger Richtung vorhanden ist.

Lösungshinweis:

Ein elektrisches Feld macht aus der homogenen Differenzialgleichung (15.125) für ${\boldsymbol{v}}(t)$ eine inhomogene. Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Addition einer speziellen inhomogenen Lösung zur allgemeinen homogenen Lösung. Suchen Sie daher nach der einfachsten inhomogenen Lösung. Es gibt eine, bei der keine Beschleunigungen in der xy‐Ebene auftreten.

Lösungen zu den Aufgaben

15.4

$$\boldsymbol{k}_{\mathrm{M}}=\frac{\mu-1}{\mu+1}\frac{I}{\uppi}\frac{d}{d^{2}+y^{2}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}$$

(15.182)

15.8

$T={\boldsymbol{m}}\cdot{\boldsymbol{B}}$

15.9

$B_{\varrho}(\varrho,z)=-\varrho B_{z}^{\prime}(z)/2$. Die Feldlinien dazu sind durch $\varrho(z)=C/\sqrt{B_{z}(z)}$ mit verschiedenen Konstanten C gegeben.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

15.1

Differenziation unter dem Integral führt auf

$$\begin{aligned}{\boldsymbol{\nabla}}\cdot{\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{r}})&=\frac{1}{c}\int\mathrm{d}V^{\prime}{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})\cdot{\boldsymbol{\nabla}}\frac{1}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}\\ &=-\frac{1}{c}\int\mathrm{d}V^{\prime}{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})\cdot{\boldsymbol{\nabla}}^{\prime}\frac{1}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}\\ &=-\frac{1}{c}\int\mathrm{d}V^{\prime}\,{\boldsymbol{\nabla}}^{\prime}\cdot\left(\frac{{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}\right),\end{aligned}$$

(15.183)

wobei im letzten Schritt ${\boldsymbol{\nabla}}^{\prime}\cdot{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})=0$ ausgenutzt wurde. Betrachten wir zunächst ein endlich großes Volumen, dann kann mit dem Gauß’schen Satz das letzte Integral in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden:

$$\int_{V}\mathrm{d}V^{\prime}\,{\boldsymbol{\nabla}}^{\prime}\cdot\left(\frac{{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}\right)=\oint_{{\partial}V}\mathbf{d}\boldsymbol{f}^{\prime}\cdot\left(\frac{{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}\right).$$

(15.184)

Für die Existenz des Integrals in (15.9) ist es notwendig, dass der Integrand ${{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})}/{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}$ im Unendlichen abfällt, nämlich gerade so, dass Integrale über Kugelschalen für divergierende Radien gegen null gehen. Damit verschwindet das Oberflächenintegral im Limes $V\to\mathbb{R}^{3}$.

15.2

Das Vektorpotenzial ist für einen Kreisstrom um den Ursprung gegeben durch

$${\boldsymbol{A}}=\frac{1}{c}\int\mathrm{d}V^{\prime}\frac{{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}=\frac{I}{c}\oint_{r^{\prime}=a}\frac{{\mathbf{d}}\boldsymbol{r}^{\prime}}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|},$$

(15.185)

wobei ${\boldsymbol{A}}$ und ${\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}$ in kartesischen Komponenten aufzufassen sind. Für die Koordinaten sind Kugel‐ oder Zylinderkoordinaten eine angepasste Wahl. Mit der z‐Achse als Symmetrieachse ist in Kugelkoordinaten für $r^{\prime}=a$

$$\begin{aligned}({\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime})^{2}&=r^{2}+a^{2}-2ar\,\sin\vartheta\,(\cos\varphi\,\cos\varphi^{\prime}+\sin\varphi\,\sin\varphi^{\prime})\\ &=r^{2}+a^{2}-2ar\,\sin\vartheta\,\cos(\varphi-\varphi^{\prime})\end{aligned}$$

(15.186)

und

$${\mathbf{d}}\boldsymbol{r}^{\prime}=a\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi^{\prime}}\,\mathrm{d}\varphi^{\prime}=a\left[-\sin\varphi^{\prime}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{x}+\cos\varphi^{\prime}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{y}\right]\mathrm{d}\varphi^{\prime}.$$

(15.187)

Letzteres macht klar, dass ${\boldsymbol{A}}$ nur x- und y‐Komponenten hat. Die einzige nicht verschwindende Komponente ist dabei

$$\begin{aligned}A_{\varphi}&={\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}\cdot{\boldsymbol{A}}=\left[-\sin\varphi\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{x}+\cos\varphi\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{y}\right]\cdot{\boldsymbol{A}}\\ &=\frac{I\,a}{c}\int_{0}^{2\uppi}\mathrm{d}\bar{\varphi}\frac{\cos\bar{\varphi}}{\sqrt{r^{2}+a^{2}-2ar\,\sin\vartheta\,\cos\bar{\varphi}}},\\ &=\frac{I\,a}{c\sqrt{r^{2}+a^{2}}}\int_{0}^{2\uppi}\mathrm{d}\bar{\varphi}\frac{\cos\bar{\varphi}}{\sqrt{1-\lambda\,\cos\bar{\varphi}}}\end{aligned}$$

(15.188)

mit $\bar{\varphi}=\varphi-\varphi^{\prime}$ und

$$\lambda:=\frac{2ar}{r^{2}+a^{2}}\sin\vartheta\in[0,1].$$

(15.189)

(Die dazu orthogonale Projektion $\left[\cos\varphi\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{x}+\sin\varphi\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{y}\right]\cdot{\boldsymbol{A}}$ führt auf ein Integral mit $\sin\bar{\varphi}$ im Zähler des Integranden, das aus Symmetriegründen null ist.)

Der Integrand hat eine Singularität, wenn $\lambda=1$ ist, was aber nur auf dem Kreisstrom selbst ($r=a$ und $\vartheta=\uppi/2$) der Fall ist. Insbesondere für kleine Werte von $r\,\sin\vartheta\ll a$, also in der Nähe der Symmetrieachse, ist λ ein kleiner Parameter, nach dem der Integrand entwickelt werden kann. $\lambda\ll 1$ deckt übrigens nicht nur die Umgebung der z‐Achse, sondern auch das Fernfeld $r\gg a$ ab.

Ohne diese Entwicklung ist das Integral nicht durch elementare Funktionen darstellbar, sondern führt auf spezielle Funktionen, die vollständigen elliptischen Integrale (siehe hierzu die Lösung zu Aufgabe 15.7).

Die Wurzel im Nenner des Integranden kann für $\lambda<1$ in eine Taylor‐Reihe entwickelt werden:

$$\frac{1}{\sqrt{1-\lambda\,\cos\bar{\varphi}}}=1+\frac{1}{2}\lambda\,\cos\bar{\varphi}+\frac{3}{8}\lambda^{2}\,\cos^{2}\bar{\varphi}+\ldots,$$

(15.190)

wobei nach der Integration nur ungerade Potenzen in λ auftreten:

$$\int_{0}^{2\uppi}\mathrm{d}\bar{\varphi}\frac{\cos\bar{\varphi}}{\sqrt{1-\lambda\,\cos\bar{\varphi}}}=\frac{\uppi}{2}\lambda+O(\lambda^{3}).$$

(15.191)

Damit ergibt sich für $\lambda\ll 1$

$$A_{\varphi}\approx\frac{I\,\uppi\,a^{2}}{c}\frac{r\,\sin\vartheta}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}},$$

(15.192)

woraus das ${\boldsymbol{B}}$‐Feld über ${\boldsymbol{B}}=\mathbf{rot}\,{\boldsymbol{A}}$ berechnet werden kann.

In Kugelkoordinaten ist

$$B_{r} =\frac{1}{r\,\sin\vartheta}\frac{{\partial}}{{\partial}\vartheta}\left(\sin\vartheta\,A_{\varphi}\right)$$

$$ \approx\frac{I\,\uppi\,a^{2}}{c}\frac{2\,\cos\vartheta}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}},$$

(15.193)

$$B_{\vartheta} =-\frac{1}{r}\frac{{\partial}}{{\partial}r}\left(r\,A_{\varphi}\right)$$

$$ \approx\frac{I\,\uppi\,a^{2}}{c}\frac{(r^{2}-2a^{2})\,\sin\vartheta}{(r^{2}+a^{2})^{5/2}},$$

(15.194)

$$B_{\varphi}=0.$$

(15.195)

Auf der z‐Achse verschwindet $\sin\vartheta$, während B _r auf der positiven z‐Achse positives Vorzeichen und auf der negativen z‐Achse negatives Vorzeichen hat. ${\boldsymbol{B}}$ zeigt also in positive z‐Richtung, mit

$${\boldsymbol{B}}|_{\mbox{$z$-Achse}}=\frac{I\,\uppi\,a^{2}}{c}\frac{2}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}.$$

(15.196)

Dieses Ergebnis ist auf der z‐Achse exakt, da dort der Entwicklungsparameter λ verschwindet. Der Vorfaktor ist dabei genau das magnetische Moment entsprechend (15.27):

$$|{\boldsymbol{m}}|=\frac{I\,\uppi\,a^{2}}{c}.$$

(15.197)

15.3

Unter Verwendung der allgemeinen Lösung für die Potenziale bei natürlichen Randbedingungen kann die Mittelung über eine Vollkugel wie folgt umgeformt werden:

$$\begin{aligned}\langle{\boldsymbol{E}}\rangle_{R}&=\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\int_{r<R}\mathrm{d}V\,{\boldsymbol{E}}({\boldsymbol{r}})=-\frac{3}{4\uppi R^{3}}\int_{r<R}\mathrm{d}V\,{\boldsymbol{\nabla}}\phi({\boldsymbol{r}})\\ &=-\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\oint_{r=R}\mathbf{d}\boldsymbol{f}\,\phi({\boldsymbol{r}})\\ &=-\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\oint_{r=R}\mathbf{d}\boldsymbol{f}\int\mathrm{d}V^{\prime}\,\frac{\rho({\boldsymbol{r}}^{\prime})}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}\\ &=-\,\int\mathrm{d}V^{\prime}\,\rho({\boldsymbol{r}}^{\prime})\,\,\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\oint_{r=R}\mathbf{d}\boldsymbol{f}\frac{1}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|},\end{aligned}$$

(15.198)

$$\begin{aligned}\langle{\boldsymbol{B}}\rangle_{R}&=\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\int_{r<R}\mathrm{d}V\,{\boldsymbol{B}}({\boldsymbol{r}})=\frac{3}{4\uppi R^{3}}\int_{r<R}\mathrm{d}V\,{\boldsymbol{\nabla}}\times{\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{r}})\\ &=\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\oint_{r=R}\mathbf{d}\boldsymbol{f}\times{\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{r}})\\ &=\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\oint_{r=R}\mathbf{d}\boldsymbol{f}\times\,\frac{1}{c}\int\mathrm{d}V^{\prime}\,\frac{{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}\\ &=-\,\frac{1}{c}\,\int\mathrm{d}V^{\prime}\,{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}}^{\prime})\,\times\,\,\frac{3}{4\uppi R^{3}}\,\oint_{r=R}\mathbf{d}\boldsymbol{f}\frac{1}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|}.\quad\qquad\end{aligned}$$

(15.199)

Mit (15.183) zerfallen beide Ergebnisse in zwei Anteile, einen über den Außenraum der Kugel, wo die Quellen mit

$$\frac{{\boldsymbol{r}}^{\prime}}{r^{\prime 3}}=-\left.\frac{{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}^{\prime}|^{3}}\right|_{{\boldsymbol{r}}=0}$$

(15.200)

so kombiniert werden, dass das Integral das im Ursprung erzeugte Feld darstellt, während für den Innenraum der Ausdruck für das elektrische bzw. magnetische Dipolmoment bezüglich des Ursprungs entsteht.

15.4

Mit der Definition (15.62) und der Stetigkeit der Tangentialkomponenten von ${\boldsymbol{H}}$ aufgrund der Abwesenheit von freien Flächenstromdichten folgt

$$\begin{aligned}\boldsymbol{k}_{\mathrm{M}}&=c\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{x}\times({\boldsymbol{M}}^{> }-{\boldsymbol{M}}^{<})|_{x=0}=\frac{c}{4\uppi}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{x}\times({\boldsymbol{B}}^{> }-{\boldsymbol{B}}^{<})|_{x=0}\\ &=\frac{c}{4\uppi}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}[B_{y}^{> }-B_{y}^{<}]|_{x=0}=\frac{\mu-1}{\mu+1}\frac{I}{\uppi}\frac{d}{d^{2}+y^{2}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{z}.\end{aligned}$$

(15.201)

Aufintegriert über y ergibt dies den Gesamtmagnetisierungsstrom auf der Grenzfläche, der in z‐Richtung fließt, wegen

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}y}{d^{2}+y^{2}}=\frac{\uppi}{d}$$

(15.202)

zu

$$I_{\mathrm{M}}=\frac{\mu-1}{\mu+1}{I}\equiv I^{\prime}.$$

(15.203)

15.5

Da keine freien Ströme vorhanden sind, kann mit einem skalaren magnetischen Potenzial (15.74) gearbeitet werden, ${\boldsymbol{H}}=-{\boldsymbol{\nabla}}\phi_{\mathrm{m}}$, für das in den drei Raumbereichen (Außenraum (a) und Innenraum (i) der Kugelschale sowie der Bereich der Kugelschale (s) selbst) jeweils die Laplace‐Gleichung gilt, ${\Updelta}\phi_{\mathrm{m}}=0$.

Die Randbedingung im Unendlichen ist durch ein homogenes ${\boldsymbol{B}}$‐Feld gegeben, das in Kugelkoordinaten mit z‐Achse in Richtung des asymptotischen Magnetfeldes durch einen Beitrag $\phi_{\mathrm{m}}=-B_{0}z=-B_{0}r\cos\vartheta$ beschrieben wird, wobei B ₀ die Stärke des Feldes ohne die Hohlkugel darstellt.

Da $\cos\vartheta=P_{1}(\cos\vartheta)$ ist, machen wir einen Ansatz, der von der allgemeinen zylindersymmetrischen Lösung der Laplace‐Gleichung (13.168) nur die Terme mit l = 1 beibehält. Im Außenraum können wir nur einen im Unendlichen regulären Term hinzugeben, damit die Randbedingung im Unendlichen aufrecht bleibt:

$$\phi_{\mathrm{m}}^{\mathrm{a}}=-B_{0}r\cos\vartheta+\frac{\alpha}{r^{2}}\cos\vartheta,\quad r> R_{2}.$$

(15.204)

Für den Bereich der Kugelschale gibt es zwei mögliche Terme:

$$\phi_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}=\left(\beta\,r+\frac{\gamma}{r^{2}}\right)\cos\vartheta,\quad R_{1}<r<R_{2},$$

(15.205)

während im Innenraum der im Ursprung singuläre Term wegzulassen ist:

$$\phi_{\mathrm{m}}^{\mathrm{i}}={\delta}\,{r}\cos\vartheta,\quad r<R_{1}.$$

(15.206)

Die Forderungen der Stetigkeit von $\phi_{\mathrm{m}}$ bei R ₂ und R ₁, aber Unstetigkeiten in ${\partial}_{r}\phi_{\mathrm{m}}$ gemäß

$${\partial}_{r}\phi_{\mathrm{m}}^{\mathrm{a}}(R_{2})=\mu\,{\partial}_{r}\phi_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}(R_{2}),\quad\mu\,{\partial}_{r}\phi_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}(R_{1})=\phi_{\mathrm{m}}^{\mathrm{i}}(R_{1})$$

(15.207)

liefern

$$\begin{aligned}\alpha-R_{2}^{3}\,\beta-\gamma&=R_{2}^{3}\,B_{0},\\ R_{1}^{3}\,\beta+\gamma-R_{1}^{3}\,\delta&=0,\\ 2\alpha+\mu R_{2}^{3}\,\beta-2\mu\gamma&=-R_{2}^{3}\,B_{0},\\ \mu R_{1}^{3}\,\beta-2\mu\gamma-R_{1}^{3}\,\delta&=0.\end{aligned}$$

(15.208)

Auflösen dieses linearen Gleichungssystems liefert für den Koeffizienten der Lösung im Inneren der Kugelschale

$$-\delta=B^{\mathrm{i}}=\frac{9\mu}{(2\mu+1)(\mu+2)-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu-1)^{2}}B_{0}.$$

(15.209)

Im Limes $\mu\gg 1$ vereinfacht sich das Verhältnis vom Feld im Inneren der Kugelschale zu B ₀:

$$B^{\mathrm{i}}/B_{0}\to\frac{9}{2\mu[1-(R_{1}/R_{2})^{3}]}.$$

(15.210)

Für $\mu=10^{6}$ bei $R_{2}=1{,}01R_{1}$ ist $B^{\mathrm{i}}\approx 0{,}000\,15\,B_{0}$.

15.6

Wegen der Zylindersymmetrie hat das ${\boldsymbol{B}}$‐Feld nur eine Komponente $B_{\varphi}$, die durch das Oersted’sche Gesetz bei Integration entlang eines Kreises mit Radius r um die Zylinderachse durch

$$\oint_{\varrho={\mathrm{const}}}{\boldsymbol{B}}\cdot{\mathbf{d}}\boldsymbol{r}=2\uppi\,\varrho\,B_{\varphi}(\varrho)=\frac{4\uppi}{c}I(\varrho)$$

(15.211)

gegeben ist, wobei $I(\varrho)$ der eingeschlossene Strom ist. Ist der gesamte Strom in einer Richtung durch I gegeben, dann ist

$$I(\varrho)=I\left\{\begin{array}[]{c@{\quad}l}\varrho^{2}/a^{2}\hfil\quad&\text{f{\"u}r}\quad 0\leq\varrho\leq a\\ 1\hfil\quad&\text{f{\"u}r}\quad a\leq\varrho\leq b\\ 0\hfil\quad&\text{f{\"u}r}\quad\varrho> b.\end{array}\right.$$

(15.212)

Integration der magnetischen Feldenergie auf einer Länge l entlang der Zylinderachse gibt

$$W =\frac{1}{8\uppi}\int_{V}\mathrm{d}V\,{\boldsymbol{B}}^{2}=\frac{l}{4}\int_{0}^{b}\mathrm{d}\varrho\,\varrho\,B_{\varphi}^{2}(\varrho)=\frac{l}{4}\int_{0}^{b}\mathrm{d}\varrho\,\varrho\,\left(\frac{2I(\varrho)}{c\,\varrho}\right)^{2}$$

$$ =\frac{l}{4}\left(\frac{2I}{c}\right)^{2}\left[\int_{0}^{a}\mathrm{d}\varrho\,\frac{\varrho^{3}}{a^{4}}+\int_{a}^{b}\mathrm{d}\varrho\,\frac{1}{\varrho}\right]\stackrel{!}{=}\frac{1}{2}LI^{2}.$$

(15.213)

Ausführen der elementaren Integrale ergibt

$$L/l=\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{1}{2}+2\ln\frac{b}{a}\right).$$

(15.214)

Wird der innere Vollzylinder durch einen dünnen Hohlzylinder ersetzt, dann ist das Feld für $\varrho<a$ null, und L reduziert sich auf

$$L/l=\frac{2}{c^{2}}\ln\frac{b}{a}.$$

(15.215)

Ist der Raum zwischen a und b mit einem Medium mit Permeabilitätskonstante μ ausgefüllt, ist der Beitrag proportional zu $\ln(b/a)$ mit μ zu multiplizieren.

15.7

Die Definition der Gegeninduktionskoeffizienten in (15.100) führt auf das doppelte Linienintegral

$$L_{12}=\frac{1}{c^{2}}\oint_{\mathcal{L}_{1}}\oint_{\mathcal{L}_{2}}\frac{{\mathbf{d}}\boldsymbol{r}_{1}\cdot{\mathbf{d}}\boldsymbol{r}_{2}}{|{\boldsymbol{r}}_{1}-{\boldsymbol{r}}_{2}|}.$$

(15.216)

In Kugelkoordinaten oder auch Zylinderkoordinaten ist

$$\begin{aligned}({\boldsymbol{r}}_{1}-{\boldsymbol{r}}_{2})^{2}&=a^{2}(\cos\varphi_{1}-\cos\varphi_{2})^{2}+a^{2}(\sin\varphi_{1}-\sin\varphi_{2})^{2}+4h^{2}\\ &=2a^{2}\left[1-\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})\right]+4h^{2},\end{aligned}$$

(15.217)

$${\mathbf{d}}\boldsymbol{r}_{1}\cdot{\mathbf{d}}\boldsymbol{r}_{2}=a^{2}\,\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2})\,\mathrm{d}\varphi_{1}\,\mathrm{d}\varphi_{2},$$

(15.218)

und die Linienintegrale reduzieren sich auf zwei Integrationen über $\varphi_{1}$ und $\varphi_{2}$, jeweils von 0 bis $2\uppi$. Durch die Variablensubstitution $\varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}$ entkoppeln diese. Die Integration über $\varphi_{2}$ ergibt einen Vorfaktor $2\uppi$, und es bleibt das nicht durch elementare Funktionen lösbare Integral (15.184).

Symbolische Mathematiksoftware wie Maple oder Mathematica weiß, dass dieses Integral durch die speziellen Funktionen der vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art, $K(x)$ und $E(x)$, dargestellt werden kann, für die diverse Reihendarstellungen angegeben werden können. Das Resultat (15.184) lautet damit

$$L_{12} =\frac{4\uppi a}{c^{2}}f(h/a),$$

(15.219)

$$f(h/a) =\frac{1}{k}\left[(2-k^{2})K(k^{2})-2E(k^{2})\right],\quad k^{2}:=\frac{a^{2}}{a^{2}+h^{2}}$$

mit

$$K(m) =\int_{0}^{\uppi/2}(1-m\,\sin^{2}\theta)^{-1/2}\mathrm{d}\theta,$$

(15.220)

$$E(m) =\int_{0}^{\uppi/2}(1-m\,\sin^{2}\theta)^{+1/2}\mathrm{d}\theta.$$

(15.221)

(Die Bezeichnung „vollständig“ für diese elliptischen Integrale bezieht sich dabei auf die obere Integrationsgrenze $\uppi/2$; für allgemeine obere Integrationsgrenzen spricht man von unvollständigen elliptischen Integralen.) Damit lassen sich folgende asymptotische Ausdrücke angeben:

$$f(h/a)\sim\left\{\begin{matrix}\displaystyle\ln\frac{4a}{h}-2&\;h\ll a\\ \displaystyle\frac{\uppi}{16}\frac{a^{3}}{h^{3}}&\;h\gg a.\end{matrix}\right.$$

(15.222)

In Abb. 15.31 werden diese mit der vollen Funktion $f(h/a)$ verglichen.

Abb. 15.31

Gegeninduktionskoeffizient von zwei parallelen kreisförmigen Leitern: $f(h/a)=L_{12}/(4\uppi a/c^{2})$ als Funktion von $h/a$ zusammen mit den asymptotischen Ausdrücken (15.226)

15.8

Ein Teilchen, das sich mit einer Geschwindigkeit $v_{\perp}$ senkrecht zu ${\boldsymbol{B}}$ bewegt, wird gemäß (15.128) auf eine Kreisbahn ${\boldsymbol{x}}(t)$ mit Radius $a=v_{\perp}Mc/(qB)$ gezwungen. Die zugehörige Stromdichte ist

$${\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}})=q{\boldsymbol{v}}\delta({\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{x}}(t)).$$

(15.223)

Das magnetische Moment lässt sich am einfachsten berechnen, wenn als Koordinatenursprung der Kreismittelpunkt gewählt wird. Dann steht ${\boldsymbol{v}}$ senkrecht zum Ortsvektor im Integral von (15.23), und man erhält unmittelbar den (zeitunabhängigen) Wert

$${\boldsymbol{m}}=\frac{1}{2\,c}\,\int\mathrm{d}V\,{\boldsymbol{r}}\times{\kern 1.0pt}{\boldsymbol{j}}({\boldsymbol{r}})=\frac{1}{2\,c}aqv_{\perp}\hat{\boldsymbol{B}}=\frac{q^{2}a^{2}}{2Mc^{2}}{\boldsymbol{B}}.$$

(15.224)

Die kinetische Energie des Teilchens ist

$$T=\frac{M}{2}v_{\perp}^{2}=\frac{M}{2}\frac{q^{2}a^{2}B^{2}}{M^{2}c^{2}}.$$

(15.225)

Somit ist $T={\boldsymbol{m}}\cdot{\boldsymbol{B}}$.

15.9

In Zylinderkoordinaten ist

$${\mathrm{div}\,}{\boldsymbol{B}}=\frac{1}{\varrho}\frac{\partial}{\partial\varrho}\left(\varrho\,B_{\varrho}\right)+\frac{1}{\varrho}\frac{\partial}{\partial\varphi}B_{\varphi}+\frac{\partial}{\partial z}\,B_{z}=0.$$

(15.226)

Im vorliegenden Fall ist $B_{\varphi}=0$ und B _z unabhängig von $\varrho$. Damit ist

$$\varrho\,B_{\varrho}(\varrho,z)=-B_{z}^{\prime}(z)\int_{0}^{\varrho}\mathrm{d}\varrho^{\prime}\varrho^{\prime}=-B_{z}^{\prime}(z)\frac{\varrho^{2}}{2},$$

(15.227)

wobei die Integrationskonstante durch die Forderung fixiert wurde, dass $B_{\varrho}$ auf der Symmetrieachse verschwinden muss.

Feldlinien sind an jedem Punkt tangential zum Feld. Eine Feldlinie, die in Zylinderkoordinaten durch $\varrho(z)$ gegeben ist, hat an jedem Punkt eine Steigung, die durch das Verhältnis $B_{\varrho}/B_{z}$ gegeben ist:

$$\frac{\mathrm{d}\varrho(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{B_{\varrho}}{B_{z}}=-\frac{\varrho}{2}\frac{B_{z}^{\prime}(z)}{B_{z}(z)}.$$

(15.228)

Separation der Variablen ergibt

$$\frac{1}{\varrho}\frac{\mathrm{d}\varrho(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}\ln\varrho(z)}{\mathrm{d}z}=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\ln B_{z}(z)}{\mathrm{d}z}$$

(15.229)

mit der Lösung

$$\varrho(z)=C\left[B_{z}(z)\right]^{-1/2}.$$

(15.230)

In Abb. 15.32 sind die Feldlinien für ein Profil dargestellt, bei dem durch die Überlagerung von zwei tanh‐Funktionen das Magnetfeld auf das Vierfache des Wertes im Zentrum ansteigt, wenn man sich von diesem in positiver oder negativer z‐Richtung entfernt. Auch dargestellt ist die Bahnkurve für ein Teilchen, das sich entsprechend der Energiebilanz (15.131) darin auf einer Spiralbahn bewegt. Diese wird an einem Punkt, an dem B _z einen für die Anfangsgeschwindigkeiten v _z , $v_{\perp}$ kritischen Wert erreicht, gestoppt und reflektiert.

Abb. 15.32

Teilchen in einer magnetischen Flasche. Das Magnetfeld ist rotationssymmetrisch um die z‐Achse; das Teilchen bewegt sich auf einer Spiralbahn um diese und wird gestoppt und dann reflektiert, wenn es in den Bereich höherer Feldstärke kommt

15.10

Wir können durch Drehen des Koordinatensystems um die z‐Achse immer erreichen, dass das ${\boldsymbol{E}}$‐Feld in der yz‐Ebene liegt, d. h. keine x‐Komponente besitzt. Die Differenzialgleichung (15.125) verallgemeinert sich dann auf

$$\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\omega_{B}\;v_{y}\\ -\omega_{B}\;v_{x}\\ 0\end{pmatrix}+\frac{q}{m}\begin{pmatrix}0\\ E_{y}\\ E_{z}\end{pmatrix},\quad\omega_{B}=\frac{qB}{mc}.$$

(15.231)

Die Bewegung in z‐Richtung kann unabhängig von der in der xy‐Ebene gelöst werden und ist durch

$$z(t)=\frac{qE_{z}}{2m}t^{2}+v_{z}(0)\,t+z(0)$$

(15.232)

gegeben.

Für die Bewegung in der xy‐Ebene lässt sich eine beschleunigungsfreie Bahn durch $v_{y}\equiv 0$ und $\omega_{B}v_{x}=\frac{q}{m}E_{y}$ wählen. In diesem Fall balanciert die Lorentz‐Kraft $\propto{\boldsymbol{v}}\times{\boldsymbol{B}}$, die dann nur eine y‐Komponente besitzt, gerade die elektrostatische Kraft durch die y‐Komponente von ${\boldsymbol{E}}$. Diese Driftgeschwindigkeit hat den Wert

$$v_{x}^{\mathrm{Drift}}=\frac{cE_{y}}{B},$$

(15.233)

sodass die Annahme einer nichtrelativistischen Bewegung nur gilt, wenn $E_{y}\ll B$ ist (siehe Aufgabe 18.7 und 18.8 für den relativistischen Fall).

Die allgemeine Lösung ergibt sich somit durch Addition dieser gleichförmigen Driftbewegung in x‐Richtung und der beschleunigten Bewegung in z‐Richtung gemäß (15.236) zur homogenen Lösung ohne elektrisches Feld, der schraubenförmigen Bahn (15.131 ):

$${\boldsymbol{x}}(t)={\boldsymbol{x}}(0)+\left(\begin{matrix}\displaystyle a\;\sin{\omega_{B}t}+\frac{cE_{y}}{B}t\\ \displaystyle a\;[\cos{\omega_{B}t}-1]\\ \displaystyle\frac{qE_{z}}{2m}t^{2}+v_{z}(0)t\end{matrix}\right)$$

(15.234)

mit $a=v_{x}(0)/\omega_{B}$, wobei wieder angenommen wurde, dass zum Zeitpunkt t = 0 keine Geschwindigkeitskomponente in y‐Richtung vorliegt (was durch Wahl des Zeitnullpunktes immer erreicht werden kann). Die Form der Bewegung hängt nun nur vom Anfangswert $v_{x}(0)$ ab. Ist dieser null, also das Teilchen anfangs komplett in Ruhe bezüglich der xy‐Ebene, dann beschleunigt E _y das Teilchen in y‐Richtung, woraufhin die Lorentz‐Kraft zu einer Ablenkung in x‐Richtung führt, die schließlich die Oberhand bekommt und das Teilchen auf den Ausgangswert der y‐Koordinate zurückwirft. Es entsteht dabei aber eine Driftbewegung in x‐Richtung, also senkrecht auf ${\boldsymbol{B}}$ und ${\boldsymbol{E}}$, wobei die Bahnkurve eine sogenannte Zykloide (Radlaufkurve) bildet. Das ist die Bahn, die ein Punkt auf dem Rand eines Rades durchläuft, wenn das Rad auf einer Geraden abgerollt wird. Ist $v_{x}(0)$ kleiner als null, dann entsteht eine verkürzte Zykloide, die einem Punkt innerhalb des Rades entspricht; ist $v_{x}(0)$ größer als null, dann liegt ein analog mitgeführter Punkt außerhalb des Abrollradius (Abb. 15.33 ). Diese modifizierten Zykloiden werden auch Trochoiden genannt.

Abb. 15.33

Bahnkurve eines geladenen Punktteilchens im Feld homogener ${\boldsymbol{B}}$- und ${\boldsymbol{E}}$‐Felder in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld. Ist die Geschwindigkeit in dieser Ebene anfänglich null, entsteht eine Zykloide (Radlaufkurve; grün). Ist die Anfangsgeschwindigkeit ungleich null in Richtung oder entgegen der Richtung der Driftbewegung, entsteht eine verkürzte (blau) oder verlängerte (rot) Zykloide (auch Trochoiden genannt). Die Anfangswerte von y sind hier so gewählt, dass die verschiedenen Radlaufkurven zu einem auf der x‐Achse rollenden Rad gehören