Integraloperatoren in Räumen stetiger Funktionen

Zusammenfassung

Wir beginnen die Untersuchung von Integraloperatoren mit der Einschränkung, daß zunächst nur Integraloperatoren in Räumen stetiger Funktionen betrachtet werden sollen. Dazu wird in §7 die Integration stetiger Funktionen bezüglich eines positiven Maßes auf einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit eingeführt und es werden damit Integraloperatoren mit stetigem Kern definiert. In §8 wird für eine kompakte Mannigfaltigkeit M mit positivem Maß μ eine Klasse von Operatoren beschrieben, für welche die Fredholmtheorie in bezug auf das Dualsystem <C(M),C(M)> mit <f,g> = μ(fg) gültig ist. Man erhält hier die Ergebnisse der klassischen Theorie einschließlich der Sätze über die Entwicklung nach Eigenfunktionen eines normalen Integraloperators. Der §9 enthält Anwendungen dieser Ergebnisse auf Rand- und Eigenwertprobleme für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. In § 10 wird die Theorie auf nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten ausgedehnt. Ist das Maß μ beschränkt, so gibt es keine wesentlichen Änderungen: Man benutzt dasselbe Dualsystem wie in § 8, worin C (M) der Raum der beschränkten stetigen Funktionen auf M ist. Ist das Maß unbeschränkt, so arbeitet man mit dem Dualsystem <C(M),C(M,μ)>, worin C(M,μ) der Teilraum der absolut bezüglich μ integrierbaren Funktionen aus C(M) ist. Als Anwendung werden einige singuläre Rand- und Eigenwertprobleme behandelt.