Zusammenfassung
Dieser Band enthält die entscheidenden Arbeiten über
Lineare Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, die David Hilbert und sein Schüler Erhard Schmidt in der Zeit von 1904 bis 1910 publiziert haben. Das Reizvolle an dieser Zusammenstellung besteht insbesondere darin, daß wir hier zwei Persönlichkeiten begegnen, die völlig unterschiedliche Auffassungen in der mathematischen Forschung repräsentieren.2)
Alle Hinweise auf Seitenzahlen von Publikationen, die in diesem Band fotomechanisch nachgedruckt worden sind, beziehen sich auf die jeweils am oberen Rand befindliche Originalpaginierung.
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References
Die folgende Einschätzung des Hilbertschen Arbeitsstils betrifft ausschließlich seine „Grundzüge“. In bezug auf die „Grundlagen“ würde man wohl zu einem völlig anderen Urteil kommen.
Blumenthal (1935, S. 412): „Von unserem heutigen Standpunkt erscheinen uns die Entwicklungen etwas ungelenk, wenn wir sie etwa mit der Kürze und Eleganz von E. Schmidts Beweisen vergleichen.“ Weyl (1944, S. 647): „Hilbert’s passage to the limit is laborious.“ Heuser (1986, S. 626): „Die 4. Mitteilung ist durch und durch klassische Analysis. In einer heroischen Anstrengung preßt sie dem passaggio dal discontinuo al continuo alles ab, was er zu geben vermag — und saugt ihm damit das Leben aus. Ihre Resultate brachten den funktionalanalytischen Stein ins Rollen, ihre Methoden wurden unter ihm begraben.“
Schmidt (1919, S. 565–566).
Dazu stellt Blumenthal (1935, S. 408) folgendes fest: „Mir scheint, daß sich auch für diese Untersuchungen Hilbert von vornherein ein axiomatisches Programm gesteckt hat.“ Vgl. auch das Ende des 4. Abschnitts dieses Nachworts.
Fredholm (1900).
Blumenthal (1935, S. 410).
Dabei handelt es sich insbesondere um den Schmidtschen Zugang und das Riesz-Fischer-Theorem.
Im wesentlichen Inauguraldissertation. Vgl. Fußnote *) auf S.433 von Teil 1.
Young (1981, S. 312). Vgl. auch Taylor (1982, S. 283).
Das Symbol L 2 - damals [L 2] — wurde bereits 1910 von Riesz in seiner Arbeit über Systeme integrierbarer Funktionen eingeführt und ist seitdem allgemein üblich. Dagegen hat sich die entsprechende Bezeichnung für den Hilbertschen Folgenraum, die — nach meinem Wissen — erstmalig bei Banach (1932, S. 12) auftritt, nur sehr zögernd durchgesetzt. Zwischenzeitlich wurden die folgenden Varianten benutzt: R∞ (Hellinger/Toeplitz 1927, S. 1434), Ω (Fréchet 1928, S. 83), F z (von Neumann 1932, S. 16), H o (Stone 1932, S. 14), σ2 (Köthe/Toeplitz (1934, S. 193) und H (Sz.-Nagy 1942, S. 1, vgl. auch S. 6).
Vgl. 4. Mitteilung, S. 177.
In der modernen Literatur nennt man einen linearen Operator zwischen Banachräumen vollstetig, wenn er jede schwach-konvergente Folge in eine stark-konvergente Folge überführt; Riesz (1913, S. 96).
Schoenflies (1908, S. 86,266 und 298).
Dieudonné (1981, S. 113): „Unfortunately, he follows Frobenius in his conception of the ‘Faltung’ of bilinear forms (instead of the natural idea of‘composing’ transformations).“
Fredholm (1903, S. 372): „En considérant l’équation \(\phi (x) + \int\limits_0^1 f (x,s)\phi (s){\rm{ds}} = \psi (x)\) comme transformant la fonction ϕ(x) en une nouvelle fonction ψ(x) j’écris cette même équation \(S_f \phi (x) = \psi (x)\), et je dis que la transformation S f appartient à la fonction f(x,y)“ Vgl. auch Heuser (1986, S. 604–611) und Monna (1973, S. 51 und 120).
Vgl. S. 1434–1438.
Darüber hat Schmidt am 12. Februar 1907 im Rahmen der Mathematischen Gesellschaft in Göttingen vorgetragen. Vgl. Fußnote 1) auf S. 53 des Rendiconti-Artikels.
Vermutlich war den Göttinger Mathematikern erst durch den Rieszschen Vortrag am 26. Februar 1907 klar geworden, daß das von Lebesgue (1902) eingeführte Integral grundlegende Bedeutung für ihre Untersuchungen haben könnte. Vgl. Fußnote 21).
Vgl. die Bemerkungen im 2. Abschnitt dieses Nachworts, S.290.
Die Entwicklungsgeschichte des Riesz-Fischer-Theorems ist dramatisch. Anschließend an einen kurzen Artikel aus dem Jahre 1906veröffentlichte Riesz zwei inhaltlich gleiche Arbeiten, die am 9. März 1907 der Göttinger und am 11. März 1907 der Pariser Akademie der Wissenschaften vorgelegt wurden. In seiner Comptes-Rendus-Note vom 13. Mai 1907 stellt Fischer fest: „Le 11 mars, M. Riesz a présenté à l’Académie une Note sur les systèmes orthogonaux de fonctions. J’étais arrivé au même résultat et je l’ai démonstré dans une conférence faite à la Société mathématique à Brünn, déjà la 5 mars. Ainsi mon indépendance est évidente, mais la priorité de la publication revient à M. Riesz.“ Daraufhin hält es Riesz für notwendig, in den Comptes Rendus vom 24. Juni 1907 darauf hinzuweisen, daß er bereits am 26. Februar 1907 in Göttingen über seine Resultate vorgetragen habe. Aufgrund dieser Tatsachen handelt es sich bei dem folgenden Zitat von Young (1981, S. 309) wohl nur um ein boshaftes Gerücht: „Goettingen never forgave his part (damit ist Riesz gemeint; Anm. d. Hrsg.) in the Riesz-Fischer-Theorem, published after hearing the Seminar talk of Fischer.“ Vgl. auch Bernkopf (1966, S. 48–54), Birkhoff/Kreyszig (1984, S. 287), Siegmund-Schultze (1982, S. 64) und Taylor (1982, S. 270–281).
Immerhin ergab sich das Hausdorff-Young-Theorem, das zum Ausgangspunkt vieler interessanter Untersuchungen wurde. Vgl. Young (1912) und Hausdorff (1923).
Riesz (1910:a) machte die folgende Bemerkung: „In der vorliegenden Arbeit wird die Voraussetzung der quadratischen Integrierbarkeit durch jene der Integrierbarkeit von |f(x)|p ersetzt;… Die Untersuchung dieser Funktionenklassen wird auf die wirklichen und scheinbaren Vorteile des Exponenten p = 2 ein ganz besonderes Licht werfen; und man kann auch behaupten, daß sie für eine axiomatische Untersuchung der Funktionenräume brauchbares Material liefert.“
In diesem Zusammenhang muß man unbedingt auf das Werk von Helly hinweisen, der bereits 1921 das Konzept des normierten linearen Folgenraumes eingeführt hatte.
Die Bezeichnung „espace de Banach“ wurde von Fréchet (1928, S. 141) eingeführt. Banach selbst spricht in seiner Monographie (1932) vom „espace du type (B)“.
Übernommen von Bernkopf (1968, S. 346), der sich auf ein Gespräch mit Friedrichs beruft.
Banach (1932, S. 111). Heute wissen wir, dank Enflo (1973), daß das nicht immer möglich ist.
Vgl. etwa den Übersichtsartikel von Pelczyński (1984).
Dvoretzky (1961).
Eine aktuelle Darstellung findet man in dem Buch von Milman/Schechtman (1986). Dort wird auf S. 144 Schmidt (1948, S. 84–85) zitiert.
Gelegentlich wird auch die Bezeichnung B*-Algebra verwendet. Vgl. Dunford/Schwartz (1963, S.874). Neumark (1956, S.240) sprach von vollregulären normierten symmetrischen Ringen.
benutzen in diesem Nachwort die heute übliche Definition der Eigenwerte eines Operators Tdurch die Gleichung Tx=λx mit x≠o. Hilbert verwendete die reziproken Werte. Diese Auffassung hat auch ihre Vorteile, weil man dann die Eigenwerte als die Wurzeln der Fredholmschen Determinante erhält.
Vgl. Hellinger/Toeplitz (1927, S. 1524–1525).
Mitteilung, S. 461.
Die verwirrenden Nachwirkungen sind noch heute spürbar, wie z. B. der falsche Satz auf S. 118 in den „Ergänzenden Kapiteln“ zu Bronstein/Semendjajew „Taschenbuch der Mathematik“, Teubner-Verlag 1979, zeigt.
Man beachte den in der 4. Mitteilung (S. 194) bewiesenen Darstellungssatz für Einzelformen und die von Schmidt in seinem Rendiconti-Artikel (S. 64/65) konstruierte „Perpendikelfunktion“. Bemerkenswert ist auch die Tatsache, daß von Neumann im Jahre 1927 (S. 25) noch von Einzeloperatoren sprach, während er 1929 (S. 74) die Bezeichnung „Projektionsoperator“ verwendete.
Die Beziehungen zwischen den von Neumannschen und den Stoneschen Untersuchungen werden von Birkhoff/Kreyszig (1984, S. 309) beschrieben. Sie beziehen sich dabei auf einen Brief von Stone.
Vgl. von Neumann (1929, Fußnote auf S. 62).
Heuser (1986, Fußnote auf S. 198) macht dazu die folgende sarkastische Bemerkung: „Allerdings sind die Physiker so sehr auf Eigenwerte versessen, daß sie selbst dort welche finden, wo es gar keine gibt.“ Wie jedoch das hier behandelte Beispiel zeigt, verbirgt sich hinter so manchem wagehalsigen Ansatz unserer Fakultätskollegen ein echter mathematischer Inhalt.
Darstellungen dieser Theorie findet man bei Gelfand/Wilenkin (1964, S. 100–121) oder Maurin (1968).
Diese Spektraltheorie wird ausführlich im 3. Band von Dunford/Schwartz (1971) oder bei Dowson (1978) behandelt.
Eine moderne Darstellung findet man bei Luxemburg/Zaanen (1971, S. 253–269 und 392).
Sz. Nagy (1942, S. 23–25) und Ljusternik/Sobolew (1955, S. 180–185).
Vgl. Dunford/Schwartz (1963, S. 895–899) oder Neumark (1959, S. 260).
Eine knappe Einführung findet man bei Sakai (1971).
Einen guten Überblick über seine Beiträge gab von Koch (1910) in einem Vortrag, den er 1909 auf einem Mathematikerkongreß in Stockholm gehalten hat.
Vgl. Kowalewski (1950, S. 193).
Das ist der Hauptinhalt des 2.Teils der Schmidtschen Artikel-Serie.
Diese Arbeit wurde — nach meinem Wissen — erstmalig von Riesz (1913, S. 98) zitiert.
Solche Operatoren bilden alle beschränkten Teilmengen in präkompakte Teilmengen ab.
Vgl. Barnes/Murphy/Smyth/West (1982). Eine ausführliche Darstellung findet man bei Pietsch (1987, S. 135–149).
Wegen der Theorie der Approximationszahlen vergleiche man die beiden Monographien von Pietsch (1978,1987).
Schatten/von Neumann (1946,1948).
Die Idealtheorie für Operatoren in Hilberträumen wird in den Büchern von Schatten (1960) und Gohberg/Krein (1969) dargestellt. Vgl. auch Dunford/Schwartz (1963, S. 1088–1119).
Eine ausführliche Darstellung der Theorie der Operatorenideale gab Pietsch (1978).
In diesem Fall gilt sogar das Gleichheitszeichen.
Falls der Operator nur endlich viele oder gar keine Eigenwerte hat, setzt man die fehlenden λ1 gleich Null.
Ausführliche Darstellungen findet man in den Monographien von König (1986) und Pietsch (1987).
Vgl. Hille/Tamarkin (1931).
Eine Darstellung dieserTheorie (im Stile der fünfziger Jahre) wurde kürzlich von Ruston (1986) gegeben.
Wir verweisen auf das 4. Kapitel der Monographie von Pietsch (1987).
Hellinger/Toeplitz (1927, S. 1421–1422) machten dazu die folgende Bemerkung: „Betrachtet man diese ganze Theorie der unendlichen Determinanten im Rahmen der modernen Auflösungstheorie der unendlichen linearen Gleichungssysteme, so kann man feststellen, daß sie in mannigfacherWeise geeignet ist, darin verwendet zu werden, daß aber trotzdem einem Aufbau der Auflösungstheorie auf der Grundlage der unendlichen Determinanten von Natur enge und unübersteigliche Grenzen gezogen sind.“
Vgl. Hille (1948) und Krein (1971).
Aus dem großen Angebot von Literatur über nicht-lineare Funktionalanalysis zitieren wir: Dugundji/Granas (1982), Schwartz (1969) und Wainberg/Trenogin (1973).
Vgl. Dineen (1981)
Wie wichtig ein solches Hilfsmittel ist, erkennt man am Beispiel der lokalkompakten Gruppen, für die der Hilbert-Schüler Haar die Existenz eines invarianten Maßes nachgewiesen hat. Die dort entwickelte Theorie der Fourier-Transformation gehört ebenfalls in das Gebiet der unendlichdimensionalen Analysis. Vgl. Neumark (1959, S. 370–378 und 418–423).
Wir verweisen auf die Darstellungen von Kuo (1975) und Skorohod (1974).
Hilbert äußerte sich zu diesem Problem in seiner 4. Mitteilung (S.227) und in dem Artikel „Wesen und Ziel…“ (S. 72).
Es handelt sich hier um einen Auszug aus einem Verzeichnis aller Hilbertschen Doktoranden, das man im 3. Band (S. 431–433) seiner Gesammelten Abhandlungen findet.
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Hilbert, D., Schmidt, E. (1989). Nachwort. In: Pietsch, A. (eds) Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Teubner-Archiv zur Mathematik, vol 11. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-84410-1_6
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