Zusammenfassung
Die von Hill, Poincaré, Helge von Koch u. a. zuerst in Angriff genommene Theorie der linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, ist in jüngster Zeit Gegenstand tiefgreifender Untersuchungen von Hilbert 2) geworden, welche durch Toeplitz 3) wesentliche Vereinfachungen und Ergänzungen erfahren haben.
Diese Untersuchung ist bis auf die spaeter hinzugefugten Sätze der §§ 12 und 15 den 12. Februar 1907 in der Mathematischen Gesellschaft in Göttingen vorgetragen worden. Cf. Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung, Bd. XVI, pag. 167.
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References
Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Vierte Mitteilung) [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,. Math.-physikalische Klasse, 1906, S. 157–227].
Die Jacobi’sehe Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften, Math.-physikalische Klasse, 1907, S. 101–109 (Sitzung vom 23. Februar 1907)].
Die Fragestellung nach der Existenz einer beschränkten Resolvente (cf. § 15 Anm. 17) der vorliegenden Untersuchung), wie Hiliert das Problem formuliert, ist, wie ohne Schwierigkeit gezeigt werden kann, mit der obigen Fragestellung, ob die Convergenz von (5) genügt, um die Lösbarkeit der Gleichungen zu sichern, gleichbedeutend.
Wir sehen hier von den von Hilbert, l. c. X behandelten besonders interessanten speciellen Falle ab, wo sich das Coefficientensystem der Gleichungen aus der Einheitsform und dem einer sogen, vollstetigen Form zusammensetzt.
Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener (Göttingen 1905). Abgedruckt Math. Annalen, Bd. LXIII, S. 433–476. Siehe namentlich das letzte Capitel.
Vergl. zu diesem Kapitel die analogen Begriffsbildungen in der Thèse von Frêchet (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXII 1906) und in den Noten von Riesz (Comptes rendus 12ten November 1906, 18ten März, 2ten April, 24sten Juni 1907) und insbesondere die Noten von E. Fischer (Comptes rendus 13ten und 27ten Mai 1907), die unter Zugrundelegung eines anderen Funktionenraumes eine mit den Entwickehingen dieses Kapitels voellig analoge Theorie enthalten.
Die geometrische Deutung der in diesem Kapitel entwickelten Begriffe und Theoreme verdanke ich Kowalewski. Sie tritt noch klarer hervor, wenn A (x) statt als Funktion als Vector in einem Raume von unendlich vielen Dimensionen definiert wird. Die zugrunde gelegte Definition der Länge ‖A‖ und der Orthogonalität sind die von Study [Math. Annalen, Bd. LX, p. 372] in die Geometrie eingeführten.
VergL zudiesem § meine Dissertation § I.
Die Unterscheidung zwischen gewöhnlicher Convergenz und starker Convergenz entspricht der hilbert’schen Unterscheidung zwischen stetigen und vollstetigen Funktionen, l. c., S. 200.
Vergl. meine Dissertation, § 3. und J. P. Gram, Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate [Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. XCIV (1883), S. 41–73].
Vergl. J. P. Gram, l c. 10).
In der Fortsetzung dieser Untersuchung wird das Theorem bewiesen werden, das sich zu jedem linearen Funktionengebilde eine solche abzählbare Basis construiren lässt.
Vergl. J. P. Gram, l. c. 10).
Dieses Theorem findet sich auch bei Hilbert, l. c. 2).
Dieses Theorem ist von Hilbert und Toeplitz, l. c. 2), 3), unter der Voraussetzung, dass das Coefficientensysttm der Gleichungen das einer beschränkten quadratischen Form ist, bewiesen worden.
Das Theorem (b) ist von Hilbert und Toeplitz l. c. 2), 3) unter der Voraussetzung, dass das Coeffieientensystem der Gleichungen das einer beschraenkten quadratischen Form ist, bewiesen worden.
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© 1989 BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig
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Schmidt, E. (1989). Über die Auflösung Linearer Gleichungen mit Unendlich Vielen Unbekannten. In: Pietsch, A. (eds) Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Teubner-Archiv zur Mathematik, vol 11. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-84410-1_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-84410-1_5
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-322-00681-3
Online ISBN: 978-3-322-84410-1
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