Über die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche

Zusammenfassung

Man kann bekanntlich jede Irrationalzahl a durch eine unbegrenzte Reihe von rationalen Brüchen

$$\frac{{{x_1}}}{{{y_1}}},\;\frac{{{x_2}}}{{{y_2}}},\;\frac{{{x_3}}}{{{y_3}}},\; \ldots $$

((1))

derart annähern, dass, abgesehen vom Vorzeichen,

$$\alpha- \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}}< \frac{1}{{y_n^2}}\quad \left( {n = 1,\;2,\;3 \ldots } \right)$$

((2))

ist. Dieser Satz ergibt sich unmittelbar aus der Lehre von den Kettenbrüchen; er lässt sich aber auch durch andere sehr verallgemeinerungsfähige Methoden beweisen. Ich erinnere insbesondere an die Methode von Hermite¹), welche insofern bemerkenswert ist, als sie ein weitergehendes Resultat liefert.