Zusammenfassung
Die Untersuchungen von Herrn F. Mertens über die Resultante1) legen es nahe, gewisse für einen algebraischen Modul charakteristische Formen zu betrachten, die man passend als „Trägheitsformen“ des Moduls bezeichnen kann.
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Referenzen
F. Mertens, Über die bestimmenden Eigenschaften der Resultante von n Formen mit n Veränderlichen, Sitzungsberichte der k. Akademie d. Wissenschaften zu Wien, Bd. 93 (1886), S. 527–566, und Zur Theorie der Elimination, ebenda Bd. 108 (1899), S. 1173–1228 und S. 1344–1386.
Demonstratio nova altera, etc., Gott. Nachrichten, Bd. 7 (1832), S. 107–134, insbes. S. 111 [Werke, Bd. III,. S. 33–56, insbes. S. 36].
Vgl. L. Kronecker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Crelles Journal, Bd. 92 (1882), S. 1–122 [Werke, Bd. II, S. 237–387]. — D. Hilbert, Über die Theorie der algebraischen Formen, Mathem. Annalen, Bd. 36 (1890), S. 473–534. — J. König, Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Grössen, Leipzig 1903.
Enthält der zugrunde liegende Bereich B keine Unbestimmte, sind also die Koeffizienten aller in Betracht gezogenen Forman Zahlen eines bestimmten Rationalitätsbereiches, so besitzen die beiden Moduln M und M’ dieselbe Hilbert’sche charakteristische Funktion (Hilbert, a.a.O., S. 512).
Hilbert, a. a. O., S. 474. Das Theorem ist in seiner Ausdehnung auf den Fall anzuwenden, wo die Koeffizienten der Formen selbst ganze rationale Funktionen von Variablen (den „Unbestimmten“) sind.
Vgl. F. Mertens, a. a. O.
[[Der ursprüngliche, in den Annali di Matematica erschienene Beweis des Satzes 18 enthielt eine Lücke, auf die in einer Fussnote (Zusatz bei der Korrektur) hingewiesen wurde. Der hier folgende, in eckigen Klammern stehende Beweis ist, gemäss Anweisung von Hurwitz, seinem Tagebuch entnommen, und zwar wörtlich, abgesehen von Änderungen äusserlicher Art; vgl. das Tagebuch vom 22. März 1917 bis 20. Mai 1918, S. 54–55 des Heftes Nr. 77706/29 der Bibliothek der Eidg. Technischen Hochschule. — Anm. v. H. H.]]
Der Begriff der Irreduzibilität ist hier natürlich auf den zugrunde gelegten Bereich B zu beziehen (siehe oben S. 590). Übrigens ist es zweckmässig, im Folgenden als Bereich B alle ganzen rationalen Funktionen einer beliebigen Anzahl von Unbestimmten, zu denen auch die Koeffizienten der Formen f 1, f 2,..., f n gehören, mit beliebigen numerischen Koeffizienten zu wählen. Der bei der Bildung des Bereiches B benutzte Rationalitätsbereich besteht dann also aus der Gesamtheit aller (reellen und komplexen) Zahlen.
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Hurwitz, A. (1963). Über die Trägheitsformen eines algebraischen Moduls. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4160-3_43
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4160-3_43
Publisher Name: Springer, Basel
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