Über die Erzeugung der Invarianten durch Integration

Zusammenfassung

Es liege eine endliche Gruppe von diskreten Substitutionen vor, die sieh auf die Variablen x ₁, x ₂,...x _n beziehen. Dann gibt es ein einfaches Verfahren, um alle Invarianten dieser Gruppe herzustellen. Man wende nämlich auf eine beliebige Funktion f(x ₁, x ₂,... x _n ) die sämtlichen Substitutionen der Gruppe an und bilde sodann die Summe aus allen so entstehenden Funktionen. Diese Summe stellt offenbar eine Invariante der Gruppe vor, und zwar die allgemeinste, da eine beliebige Invariante φ (x ₁, x ₂,...x _n ) jedenfalls durch die Annahme $f\left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) = \frac{1}{r}\varphi \left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right)$ erhalten wird, wo r die Anzahl der in der Gruppe enthaltenen Substitutionen bezeichnet. In ähnlicher Weise kann man bekanntlich auch die Invarianten yon unendlichen diskontinuierlichen Gruppen bilden. Ich habe nun den Gedanken verfolgt, dieses sich so zu sagen von selbst darbietende Verfahren zur Erzeugung der Invarianten auf die kontinuierlichen Gruppen zu übertragen, wo dann naturgemäss bestimmte Integrale an die Stelle der Summen treten. Dabei richtete ich mein Augenmerk zunächst auf die ganzen rationalen Invarianten der algebraischen Formen, also auf diejenigen ganzen rationalen Funktionen der Koeffizienten einer Form, die sich nicht ändern, wenn man auf die Variablen der Form eine beliebige lineare, homogene, unimodulare Substitution ausübt.