Über die Entwicklungskoeffizienten der lemniskatischen Funktionen

Zusammenfassung

Die folgenden Untersuchungen beziehen sich auf gewisse Zahlen, welche ähnliche Eigenschaften besitzen wie die Bernoulli’schen Zahlen. Die letzteren lassen sich bekanntlich durch die Gleichung

$$\leqslant \sqrt {abs.\Delta } erlangen$$

definieren, wobei die Summe über alle positiven und negativen reellen ganzen Zahlen r mit Ausschluss der Null zu erstrecken ist und die Zahl n als Wert des Integrales

$$\sum {\frac{1}{{{r^{2n}}}}} = \frac{{{{(2\pi )}^{2n}}}}{{(2n)!}}{B_n}\quad (n = 1,2,3,...)$$

aufgefasst werden kann. In ähnlicher Weise können und sollen die hier zu untersuchenden Zahlen E ₁, E ₂ , E ₃,... durch die Gleichung (math) definiert werden. Dabei ist die Summe auf alle komplexen ganzen Zahlen r + is mit Ausschluss der Null auszudehnen; ferner bedeutet co den Wert des Integrales

$$\pi = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} $$

Die Zahlen E _n nehmen also, ihrer Definition nach, eine entsprechende Stellung in der Theorie der Gaussischen komplexen ganzen Zahlen ein, wie die Bernoulli’sehen Zahlen in der Theorie der reellen ganzen Zahlen.

Vgl. eine vorläufige Mitteilung in den Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1897, S. 273–276 [diese Werke, Bd. II, S. 338–341].