Zur Theorie der algebraischen Zahlen

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit gebe ich eine neue Begründung der Idealtheorie, deren wesentliche Momente die folgenden sind. Zunächst wird der Nachweis geführt, dass sich die Ideale eines Körpers auf eine endliche Zahl von Klassen verteilen, wenn man äquivalente Ideale in dieselbe Klasse, inäquivalente in verschiedene Klassen rechnet. Dieser Nachweis gelingt leicht auf Grund eines Hilfstheoremes (Nr. I), das sich durch eine Verallgemeinerung des Ansatzes ergibt, auf welchem das bekannte Euklidische Divisionsverfahren zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers zweier rationalen ganzen Zahlen beruht. Nachdem die Endlichkeit der Zahl der Idealklassen festgestellt ist, ist es dann nicht schwer, zu zeigen, dass eine geeignete Potenz jedes Ideales ein Hauptideal ist, und hieraus ergeben sich weiter durch einfache Schlüsse die fundamentalen Sätze der Theorie. Man erkennt, dass diese Begründung der Idealtheorie, insofern bei ihr das erwähnte Hilfstheorem einen wesentlichen Hebel der Untersuchung bildet, sich darstellt als Verallgemeinerung der elementaren, auf dem Euklidischen Divisionsverfahren beruhenden Begründung der Teilbarkeitsgesetze im Gebiete der rationalen ganzen Zahlen.