Über die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante

Zusammenfassung

In der vorliegenden Abhandlung bezeichnet der Buchstabe P stets eine positive ungerade Zahl, die grösser als 1 ist und ausser durch 1 durch keine Quadratzahl teilbar ist. Ferner bedeutet h(D) die Anzahl der Klassen, in welche die eigentlich primitiven positiven Formen

$$a{x^2} + 2bxy + c{y^2}$$

der negativen Determinante

$${b^2} - ac = - D$$

zerfallen. Wenn zur. Abkürzung der Schreibweise

$$\frac{1}{8}P = \omega$$

gesetzt wird, so bestehen nach Dirichlet¹) die folgenden Gleichungen, welche die Klassenzahlen durch Summen von Legendre-Jacobischen Zeichen darstellen:

$$I.\;\;h(P) = \sum\limits_0^{4\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 3\;(\bmod .4),$$

$$II.\;\;h(P) = 2\sum\limits_0^{2\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 1\;(\bmod .4),$$

$$III.\;\;h(2P) = 2\sum\limits_0^{3\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 3\;(\bmod .4),$$

$$IV.\;\;h(2P) = 2\left\{ {\sum\limits_0^\omega {\left( {\frac{s}{P}} \right) - \sum\limits_{3\omega }^{4\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} } } \right\},\;falls\;P \equiv 1\;(\bmod .4).$$