Zusammenfassung
Die Cauchy’sche Integralformel (2.5.1) lehrt, dass holomorphe Funktionen in einer offenen Kreisscheibe B durch ihre Werte auf dem Rand \(\partial B\) bereits eindeutig festgelegt sind (solange B und \(\partial B\) im Definitionsbereich liegen). Diese Beobachtung erlaubt eine überraschende Verallgemeinerung, für deren Beschreibung wir zunächst einen wichtigen topologischen Begriff einführen:
Mit diesem Begriff gelingt nun eine weitreichende Beschreibung der w-Stellen holomorpher Funktionen:
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Notes
- 1.
Mit \(z\in\mathbb{T}\) ist \(\mathbb{T}\subset U_{z}\), so dass diese Fortsetzung zumindest für \(z,w\in\mathbb{T}\) gilt.
- 2.
Die „natürliche“ Wahl \(U_{z}=\{w\in U:z\cdot w\in U\}\) ist i. Allg. kein Gebiet (Zeichnung!).
- 3.
Dabei bezeichnet \(\mathop{\mathrm{dist}}(z,\partial B)=\min_{\zeta\in\partial B}|z-\zeta|\) den Abstand von z zu \(\partial B\).
- 4.
In \(\mathbb{C}\) schreiben wir \(z\to\infty\), falls \(|z|\to\infty\).
- 5.
Sukzessives Abdividieren der Nullstellen zeigt, dass ein Polynom p vom Grad \(n\geq 1\) in \(\mathbb{C}\) eine Faktorisierung der Form \(p(z)=a_{n}(z-z_{1})\cdots(z-z_{n})\) besitzt.
- 6.
Da sich kompakte Teilmengen \(K\mathrel{\subset\subset}U\) durch endlich viele derartige Umgebungen überdecken lassen und jede Umgebung von z 0 eine kompakte Kreisscheibe um z 0 enthält, ist die lokal-gleichmäßige Konvergenz äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge, kurz kompakte Konvergenz genannt.
- 7.
Tatsächlich lässt sich \(\zeta(z)\) holomorph in die punktierte Ebene \(\mathbb{C}\setminus\{1\}\) fortsetzen.
- 8.
punktierte Kreisscheibe = Kreisscheibe ohne Mittelpunkt: \(B_{r}^{\prime}(z)=B_{r}(z)\setminus\{z\}\)
- 9.
Wie im Fall \(f(z)=\exp(1/z)\), wo 0 als Funktionswert nicht angenommen wird.
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Bornemann, F. (2016). Fundamentalsätze. In: Funktionentheorie. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0974-0_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0974-0_3
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-0973-3
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