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Sur la topologie d'un espace de fonctions entieres avec poids

  • Claude Servien
Conference paper
Part of the Lecture Notes in Mathematics book series (LNM, volume 524)

Sommaire

Un espace de fonctions entières sur ℂn étant défini comme limite inductive d'espaces de Banach de fonctions entières avec poids, on démontre que sous des hypothèses très générales sur les poids, la topologie de l'espace peut être définie par une famille de semi-normes pondérées, ce qui prolonge un résultat de B.A. TAYLOR et K.D. BIERSTEDT.

Soit V une famille de fonctions vj semi-continues inférieurement définies sur ℂn à valéurs dans ℝ+, telles que vj+1<vj(j≥1) et vj≥0.

On désigne par Ej l'espace des fonctions entières f telles que pour chaque j≥1, sup|f(z)vj(z)|<+∞, qui est un espace de Banach muni de la norme ||f||j=sup|f(z)vj(z)|.

On considère E=⋃Ej muni de la topologie limite inductive des Ej, que l'on notera les injections Ej→Ej+1 étant compactes, on sait que E est un espace de SILVA (cf. [2]).

On va décrire la topologie en termes de semi-normes pondérées. Pour celà, on introduit une famille K de fonctions semi-continues inférieurement: k définies sur ℂn à valeurs dans ℝ+,k>0, k>0, telles que pour tout j, pour tout z de ℂn, il existe une constante ∝j avec k(z)⩽∝jvj(z). Pour chaque k∈K, on définit une semi-norme sur E par

||f||k=sup|f(z)k(z)|, la famille de semi-normes ainsi construite (non nécessairement dénombrable) détermine une topologie localement convexe sur E que l'on notera T.

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Bibliographie

  1. [1]
    TAYLOR (B.A.).—A semi-norm topology for some DF-spaces of entire functions. Duke Math. Journal 38, p. 379–385, 1971.CrossRefMATHGoogle Scholar
  2. [2]
    BIERSTEDT (K.D.).—Induktite limites gewichteter Räume stetigen und & MEISE (R.) holomorpher funktionen. Journ. für Reine Ang. Math. (à par.)Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1976

Authors and Affiliations

  • Claude Servien
    • 1
  1. 1.Université P. et M. Curie MathématiquesParis

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