Advertisement

Ein Näherungsverfahren für spezielle parabolische Anfangswertaufgaben mit Operatoren

II. Näherungsverfahren Für nichtlineare Anfangswertaufgaben Und Anfangsrandwertaufgaben
Part of the Lecture Notes in Mathematics book series (LNM, volume 267)

Zusammenfassung

Für die Anfangswertaufgabe spezieller Systeme parabolischer Differentialgleichungen, die eine nichtlineare Funktionaloperation enthalten, wird eine Folge von Näherungsproblemen Ak angegeben, k=k*, k*+1, ..., k* ⩾1. Jede der Aufgaben Ak besteht aus einem System zeitlich aneinander anschließender Anfangswertaufgaben Ak, k für die Wärmeleitungsgleichung, k=1, ..., k, die das ursprüngliche Problem lokal in der zeitlichen Variablen approximieren, und einem entsprechenden System von Fixpunktgleichungen, aus denen sich jeweils mit der Lösung der Aufgabe Ak, k die Anfangswerte für Ak, k+1 ergeben. Die Folge der Lösungen der Ak konvergiert gegen die (innerhalb der betrachteten Funktionenklasse eindeutig bestimmte) Lösung der ursprünglichen Anfangswertaufgabe. Das Verfahren ist konstruktiv und ermöglicht eine Fehlerabschätzung.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. [1]
    BATT, J. Ein Existenzbeweis für die Vlasov-Gleichung der Stellardynamik bei gemittelter Dichte, Arch. Rational Mech. Anal. 13 (1963), 296–308MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  2. [2]
    BERS, L. JOHN, F. SCHECHTER, F. Partial Differential Equations, Interscience New York 1964zbMATHGoogle Scholar
  3. [3]
    CHANDRASEKHAR, S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Clarendon Press Oxford 1961zbMATHGoogle Scholar
  4. [4]
    COLLATZ, L. Funktionalanalysis und numerische Mathematik, Springer, Berlin 1964zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  5. [5]
    CRONIN, J. Fixed Points and Topological Degree in Nonlinear Analysis, Amer.Math.Soc.Providence(R.I.) 1964Google Scholar
  6. [6]
    DINI, U. Sur la méthode des approximations successives pour les équations aux derivées partielles du deuxième ordre Acta Math. 25 (1902), 185–230MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  7. [7]
    FRIEDMAN, A. Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall Englewood Cliffs N.J. 1964zbMATHGoogle Scholar
  8. [8]
    HARTMAN, Ph. Ordinary Differential Equations, Wiley New York 1964zbMATHGoogle Scholar
  9. [9]
    HÖLDER, E. Ueber die unbeschränkte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Bewegung in einer unbegrenzten Flüssigkeit, Math. Z. 37 (1933), 727–738MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  10. [10]
    KAMKE, E. Differentialgleichungen reeller Funktionen, Akad.Verlagsgesellschaft, 3.Aufl. Leipzig 1956Google Scholar
  11. [11]
    KATO, T. On Classical Solutions of the Two-dimensional Non-stationary Euler Equation, Arch. Rat. Mech. An. 25 (1967), 188–200zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  12. [12]
    KIRCHGÄSSNER, K. Neuere Ergebnisse zur Theorie der Navier-Stokesschen Gleichungen, Z. Angew. Math. Mech. 50 (1970), T 158–163MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  13. [13]
    KNOPP, K. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer, 2. Aufl. Berlin 1926Google Scholar
  14. [14]
    KRASNOSEL'SKII, M.A. Translation Along Trajectories of Differential Equations, Amer. Math. Soc. Providence (R.I.) 1968Google Scholar
  15. [15]
    LADYŽENSKAJA, O.A. SOLONNIKOV, V.A. URAL'CEVA, N.N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Transl. of Math. Monographs, Vol. 23, Amer. Math. Soc. Providence (R.I.) 1968Google Scholar
  16. [16]
    LAKSHMIKANTHAM, V. LEELA, S. Differential and Integral Inequalities, Vol. I, II, Academic Press New York 1969Google Scholar
  17. [17]
    LERAY, J. Étude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique, J.Math.Pures Appl., série 9, 12 1–82 (1933)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  18. [18]
    LERAY, J. Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parois, J.Math.Pures Appl., series 9, 13, 331–418 (1934)Google Scholar
  19. [19]
    LICHTENSTEIN, L. Grundlagen der Hydromechanik, Springer Berlin 1929zbMATHGoogle Scholar
  20. [20]
    Mc GRATH, F.J. Nonstationary Plane Flow of Viscous and Ideal Fluids, Arch.Rat.Mech.Analysis 27, 329–348 (1968)MathSciNetGoogle Scholar
  21. [21]
    MIKHLIN, S.G. Multidimensional Singular Integrals and Integral Equations, Pergamon Press New York 1965zbMATHGoogle Scholar
  22. [22]
    MORGENSTERN, D. Beiträge zur nichtlinearen Funktionalanalysis, Dissertation, Techn.Universität Berlin (1952)Google Scholar
  23. [23]
    OSGOOD, W.F. Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung (dy/dx)=f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzschen Bedingung, Monatsh.Math.Phys. 9, 331–345 (1898)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  24. [24]
    OSWATITSCH, K. Physikalische Grundlagen der Strömungslehre S. FLÜGGE (ed.), C. TRUESDALL (co-ed.), Handbuch der Physik Vol. VIII/1, 1–124, Springer Berlin 1959Google Scholar
  25. [25]
    RAUTMANN, R. Ein Lösungsverfahren für die Eulerschen Gleichungen der Hydrodynamik, Z. Angew. Math. Mech. 45 (1967) T167–T171Google Scholar
  26. [26]
    RAUTMANN, R. Zur globalen Lösung der VLASOVschen Gleichung für Medien geringer Dichte mit relativistischer Korrektur, Z. Angew. Math. Mech. 48 (1968), T276–T279zbMATHGoogle Scholar
  27. [27]
    RAUTMANN, R. Ueber Quasi-Lipschitzbedingungen für die Gradienten Newtonscher Potentiale, Z.Angew. Math. Mech., Sonderheft 1971/72Google Scholar
  28. [28]
    SERRIN, J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics, S. FLÜGGE, (ed.) C. TRUESDALL (co-ed.), Handbuch der Physik, Vol. VIII/1, 125–263, Springer Berlin 1959Google Scholar
  29. [29]
    WALTER, W. Differential-und Integral-Ungleichungen, Springer Berlin 1964zbMATHGoogle Scholar
  30. [30]
    WALTER, W. Ueber sukzessive Approximation bei Volterra-Integralgleichungen in mehreren Veränderlichen, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A., I. Math. 345, Helsinki 1965Google Scholar
  31. [31]
    WALTER, W. On Nonlinear Volterra Integral Equations in Several Variables, J. Math. Mech. 16 (1967) 967–985MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  32. [32]
    WALTER, W. Differential and Integral Inequalities, Springer Berlin 1970zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  33. [33]
    WEISSINGER, J. Zur Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens, Mathematische Nachrichten 8, 193–212 (1952)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  34. [34]
    WINTNER, A. The Non-Local Existence Problem of Ordinary Differential Equations, Amer. J. Math. 67 (1945), 277–284MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  35. [35]
    WLOKA, J. Funktionalanalysis und Anwendungen, de Gruyter Berlin 1971zbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1972

Authors and Affiliations

There are no affiliations available

Personalised recommendations