Zusammenfassung
Für die Anfangswertaufgabe spezieller Systeme parabolischer Differentialgleichungen, die eine nichtlineare Funktionaloperation enthalten, wird eine Folge von Näherungsproblemen Ak angegeben, k=k*, k*+1, ..., k* ⩾1. Jede der Aufgaben Ak besteht aus einem System zeitlich aneinander anschließender Anfangswertaufgaben Ak, k für die Wärmeleitungsgleichung, k=1, ..., k, die das ursprüngliche Problem lokal in der zeitlichen Variablen approximieren, und einem entsprechenden System von Fixpunktgleichungen, aus denen sich jeweils mit der Lösung der Aufgabe Ak, k die Anfangswerte für Ak, k+1 ergeben. Die Folge der Lösungen der Ak konvergiert gegen die (innerhalb der betrachteten Funktionenklasse eindeutig bestimmte) Lösung der ursprünglichen Anfangswertaufgabe. Das Verfahren ist konstruktiv und ermöglicht eine Fehlerabschätzung.
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Literatur
BATT, J. Ein Existenzbeweis für die Vlasov-Gleichung der Stellardynamik bei gemittelter Dichte, Arch. Rational Mech. Anal. 13 (1963), 296–308
BERS, L. JOHN, F. SCHECHTER, F. Partial Differential Equations, Interscience New York 1964
CHANDRASEKHAR, S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Clarendon Press Oxford 1961
COLLATZ, L. Funktionalanalysis und numerische Mathematik, Springer, Berlin 1964
CRONIN, J. Fixed Points and Topological Degree in Nonlinear Analysis, Amer.Math.Soc.Providence(R.I.) 1964
DINI, U. Sur la méthode des approximations successives pour les équations aux derivées partielles du deuxième ordre Acta Math. 25 (1902), 185–230
FRIEDMAN, A. Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall Englewood Cliffs N.J. 1964
HARTMAN, Ph. Ordinary Differential Equations, Wiley New York 1964
HÖLDER, E. Ueber die unbeschränkte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Bewegung in einer unbegrenzten Flüssigkeit, Math. Z. 37 (1933), 727–738
KAMKE, E. Differentialgleichungen reeller Funktionen, Akad.Verlagsgesellschaft, 3.Aufl. Leipzig 1956
KATO, T. On Classical Solutions of the Two-dimensional Non-stationary Euler Equation, Arch. Rat. Mech. An. 25 (1967), 188–200
KIRCHGÄSSNER, K. Neuere Ergebnisse zur Theorie der Navier-Stokesschen Gleichungen, Z. Angew. Math. Mech. 50 (1970), T 158–163
KNOPP, K. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer, 2. Aufl. Berlin 1926
KRASNOSEL'SKII, M.A. Translation Along Trajectories of Differential Equations, Amer. Math. Soc. Providence (R.I.) 1968
LADYŽENSKAJA, O.A. SOLONNIKOV, V.A. URAL'CEVA, N.N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Transl. of Math. Monographs, Vol. 23, Amer. Math. Soc. Providence (R.I.) 1968
LAKSHMIKANTHAM, V. LEELA, S. Differential and Integral Inequalities, Vol. I, II, Academic Press New York 1969
LERAY, J. Étude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique, J.Math.Pures Appl., série 9, 12 1–82 (1933)
LERAY, J. Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parois, J.Math.Pures Appl., series 9, 13, 331–418 (1934)
LICHTENSTEIN, L. Grundlagen der Hydromechanik, Springer Berlin 1929
Mc GRATH, F.J. Nonstationary Plane Flow of Viscous and Ideal Fluids, Arch.Rat.Mech.Analysis 27, 329–348 (1968)
MIKHLIN, S.G. Multidimensional Singular Integrals and Integral Equations, Pergamon Press New York 1965
MORGENSTERN, D. Beiträge zur nichtlinearen Funktionalanalysis, Dissertation, Techn.Universität Berlin (1952)
OSGOOD, W.F. Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung (dy/dx)=f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzschen Bedingung, Monatsh.Math.Phys. 9, 331–345 (1898)
OSWATITSCH, K. Physikalische Grundlagen der Strömungslehre S. FLÜGGE (ed.), C. TRUESDALL (co-ed.), Handbuch der Physik Vol. VIII/1, 1–124, Springer Berlin 1959
RAUTMANN, R. Ein Lösungsverfahren für die Eulerschen Gleichungen der Hydrodynamik, Z. Angew. Math. Mech. 45 (1967) T167–T171
RAUTMANN, R. Zur globalen Lösung der VLASOVschen Gleichung für Medien geringer Dichte mit relativistischer Korrektur, Z. Angew. Math. Mech. 48 (1968), T276–T279
RAUTMANN, R. Ueber Quasi-Lipschitzbedingungen für die Gradienten Newtonscher Potentiale, Z.Angew. Math. Mech., Sonderheft 1971/72
SERRIN, J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics, S. FLÜGGE, (ed.) C. TRUESDALL (co-ed.), Handbuch der Physik, Vol. VIII/1, 125–263, Springer Berlin 1959
WALTER, W. Differential-und Integral-Ungleichungen, Springer Berlin 1964
WALTER, W. Ueber sukzessive Approximation bei Volterra-Integralgleichungen in mehreren Veränderlichen, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A., I. Math. 345, Helsinki 1965
WALTER, W. On Nonlinear Volterra Integral Equations in Several Variables, J. Math. Mech. 16 (1967) 967–985
WALTER, W. Differential and Integral Inequalities, Springer Berlin 1970
WEISSINGER, J. Zur Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens, Mathematische Nachrichten 8, 193–212 (1952)
WINTNER, A. The Non-Local Existence Problem of Ordinary Differential Equations, Amer. J. Math. 67 (1945), 277–284
WLOKA, J. Funktionalanalysis und Anwendungen, de Gruyter Berlin 1971
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Rautmann, R. (1972). Ein Näherungsverfahren für spezielle parabolische Anfangswertaufgaben mit Operatoren. In: Ansorge, R., Törnig, W. (eds) Numerische Lösung nichtlinearer partieller Differential- und Integrodifferentialgleichungen. Lecture Notes in Mathematics, vol 267. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0061620
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