Morphological Image Processing

Abstract

In processing the color and grayscale images, which occur mostly, their binary version is often used. In morphological processing of images, pixels are added or removed from the images. The structure and shape of the objects are analyzed so that they can be identified. The basic operations in this processing are binary convolution and correlation, that is based on logical operations rather than arithmetic operations. Dilation and erosion are the basic operations, and rest of the operations and algorithms are based on these operations. Morphological processing is also extended to gray-level images using the minimum and maximum operators.

Exercises

8.1 Find the dilation of x(m, n) and h(m, n).

$$ h(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 1\\ 0&{} {\varvec{1}}&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1 \end{array} \right] $$

(i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 1&{} 0 \end{array} \right] $$

(ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

(iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

8.2 Find the erosion of x(m, n) and h(m, n).

$$ h(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 0\\ 1&{} {\varvec{0}}&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

(i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

(ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

(iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 1&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 0 \end{array} \right] $$

8.3 Find the opening of x(m, n) and h(m, n).

$$ h(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 0\\ 1&{} {\varvec{1}}&{} 1\\ 0&{} 1&{} 0 \end{array} \right] $$

(i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 1&{} 1&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 1&{} 0 \end{array} \right] $$

(ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1 \end{array} \right] $$

(iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 1&{} 0&{} 0&{} 1 \end{array} \right] $$

8.4 Find the closing of x(m, n) and h(m, n).

$$ h(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 1\\ 0&{} {\varvec{1}}&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1 \end{array} \right] $$

Verify the output using the equivalent expression in terms of the opening operation.

(i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 1 \end{array} \right] $$

(ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 1&{} 0&{} 0&{} 1\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

(iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 1&{} 0\\ 1&{} 0&{} 1&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 0 \end{array} \right] $$

8.5 Find the hit-and-miss transformation of x(m, n) and $h_{h}(m, n)$ and $h_{ms}(m, n)$.

$$ h_{h}(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 1\\ 0&{} {\varvec{0}}&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] \quad h_{ms}(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} {\varvec{0}}&{} 0\\ 1&{} 0&{} 1 \end{array} \right] $$

* (i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1 \end{array} \right] $$

(ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 0&{} 0&{} 1\\ 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1 \end{array} \right] $$

(iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 1\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1 \end{array} \right] $$

8.6 Find the thinned version of x(m, n).

(i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

* (ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1 \end{array} \right] $$

(iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 0 \end{array} \right] $$

8.7 Find the skeleton of x(m, n).

(i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

(ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0 &{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

* (iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 1&{} 1&{} 1 \end{array} \right] $$

8.8 Extract the boundary of x(m, n).

(i)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$

* (ii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0 \end{array} \right] $$

(iii)

$$ x(m, n)=\left[ \begin{array}{l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l@{\quad }l} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0\\ 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 1&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array} \right] $$