Convexity and Symmetrization in Classical and Relativistic Balance Laws Systems

Résumé

Les équations de la Physique-Mathématique et, en particulier celles de la Mécanique des milieux continus expriment usuellement des lois non linéaires de bilan. De même, on sait bien que les systèmes d’équations différentielles dont ci-dessus ont validité tout-à-fait générale et pourtant le nombre des équations est plus petit que celui des champs inconnus. Au but de balancer le système, il faut assigner des relation entre les champs: les équations constitutives. Dans la moderne théorie qui régit les équations constitutives, celles-ci devront à leur fois satisfaire à des principes gènèraux. En particulier, les classes qu’on petit accepter devront être telles que le système complet soit compatible avec les principes de objectivité et d’ entropie. On démande, de plus, en particulier pour les théories causales du type hyperbolique, que le densité d’entropie vérifie une condition naturelle de concavité, qui assure a priori la stabilité thermodynamique. On peut caractérizer d’une façon tout-à-fait générale, aussi dans le cas classique qu’en celui relativiste, les conséquences des ces principes sur la structure des équations constitutives; donc aussi sur celle des équations finales. H faut cependant ici remarquer qu’il-y-a une différence essentielle sur l’hypothèse de concavité de l’entropie lorsqu’on passe du cas classique à celui relativiste. En effet, dans les cas classique la dite hypothèse assure que le système differentiel est symétrique et hyperbolique; donc la bonne position (locale) pour le problème de Cauchy; au contraire, dans le cas relativiste, la concavité aussi que la symétrisation dépendent du choix de la congruence du genre temps. Comme cette congruence n’est pas constante en tant qu’elle est influencée par le champ même, on peut vérifier qu’en générale la condition de stabilité thermodynamique (concavité) n’implique pas la symétrisation du système. On peut toutefois démontrer l’existence d’une congruence privilégiée du genre temps pour laquelle la dite symétrisation est possible; congruence, celle-ci, qu’on peut obtenir par une convenable trasformation du type de Legendre a partir du quadri-vecteur d’entropie. Pour l’observateur privilégié, dont ci-dessus, la concavité implique pourtant la symétrisation. En ajoutant à cette condition l’hypothèse que les vitesses charactéritiques soient plus petites que la vitesse de la lumière, il est posssible démontrer que le système est symétrique hyperbolique par rapport à une congruence quelconque du genre temps. Les considérations générales dont ci-dessus sont ensuite appliquées à la moderne théorie de la thermodynamique étendue classique et relativiste.