Abstract
Set theory has dutifully performed the tasks that its founder Georg Cantor intended it to do and many more than Cantor could even dream of. In the present historical survey we have tried to trace some of the ideas and problems that were developed. Considering the scope of the lectures we had to restrict our attention to a modest part of set theory. We have choosen to follow set theory from Cantor via Zermelo, Fraenkel, Von Neumann, Gödel to Cohen and we hoped in this way to be faithful to the spirit of Cantor. As a consequence many subjects had to be excluded, among them other variants of axiomatic set theory (e.g. Quine’s systems), the theory of types, topology, descriptive set theory (projective sets, etc.), hierarchy theory and many other subjects. Owing to the explosion in axiomatic set theory, following Cohen’s fundamental papers, we could only superficially touch the recent results. A reader interested in these new methods and results should turn to literature.
Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.
R. Dedekind
Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.
G. Cantor
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Bibliography
Ackermann, W. Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre. Math. Ann. 114 (1937) pp. 305–315.
Addison, J. W. Some consequences of the axiom of constructibility. Fund. Math. 46 (1959) pp. 337–357.
Ballauf, L. Review of G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Zeitschrift für exakte Philosophie 12 (1883) pp. 375–395.
Bell, E. Men of mathematics, II London (1937).
Bell, J. L. and A. B. Slomson. Models and ultraproducts. Amsterdam (1969).
Benacerraf, P. and H. Putnam (ed.). Philosophy of mathematics, selected readings. Englewood Cliffs (1964).
Bernays, P. A system of axiomatic set theory. J.S.L. 2 (1937) pp. 65–77, J.S.L. 6 (1941) pp. 1–17, J.S.L. 7 (1942) pp. 65–89, J.S.L. 8 (1943) pp. 89–106, J.S.L. 13 (1948) pp. 65–79, J.S.L. 19 (1954) pp. 81–96.
Bernays, P. and A. A. Fraenkel. Axiomatic set theory. Amsterdam (1958).
Bernays, P. Unendlichkeitsschemata in der axiomatischen Mengenlehre. In Essays on the foundations of mathematics. Jerusalem (1961).
Bernstein, F. Über die Reihe der transfiniten Ordnungszahlen. Math. Ann. 60 (1905) pp. 187–193.
Bernstein, F. Zum Kontinuumproblem. Math. Ann. 60 (1905) pp. 463–464.
Beth, E. W. Semantic construction of intuitionistic logic. Mededelingen der Kon. Ned. Ak.v. Wet. 18 (1956) no. 11.
Beth, E. W. The foundations of mathematics. Amsterdam (1959).
Bockstaele, P. Het intuïtionisme bij de Franse wiskundigen. Brussel (1949).
Boffa, M. Graphes extensionnels et axiome d’universalité. Zeitschr. für Math. Logik und Grundl. der Math. 14 (1968) pp. 329–334.
Boffa, M. Les ensembles extraordinaires. Bull. Soc. Math. Belgique 20 (1968) pp. 3–15.
Bois-Reymond, P. du. Über asymptotische Werte, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen. Math. Ann. 8 (1875) pp. 363–414.
Bolzano, B. Paradoxien des Unendlichen. Leipzig (1851), Darmstadt (1964).
Borel, E. Leçons sur la théorie des fonctions. Paris (1898).
Borel, E. Quelques remarques sur les principes de la théorie des ensembles. Math. Ann. 60 (1905) pp. 194–195.
Brouwer, L. E. J. Over de grondslagen der wiskunde. (On the foundations of mathematics). Amsterdam (1907). An English translation is to appear in the collected works.
Brouwer, L. E. J. Beweis der Invarianz der Dimensionszahl. Matth. Ann. 70 (1910) pp. 305–313.
Brouwer, L. J. E. Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I. Math. Ann. 93 (1925) pp. 244–257.
Brouwer, L. J. E. Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik III. Math. Ann. 96 (1926) pp. 451–489.
Cantor, G. Gesammelte Abhandlungen, edited by E. Zermelo. Berlin (1932). Reprinted Hildesheim (1966).
Cantor, G. Über ein neues und allgemeines Kondensationsprinzip der Singularitäten von Funktionen. Math. Ann. 19 (1882) pp. 588–594, also in [25].
Church, A. Alternatives to Zermelo’s assumption. Trans Am. Math. Soc. 29 (1927) pp. 178–208.
Cohen, P. J. A minimal model for set theory. Bull. Am. Math. Soc. 69 (1963) pp. 537–540.
Cohen, P. J. The independence of the continuum hypothesis I, II. Proc. Nat. Ac. Sci. USA 50 (1963) pp. 1143–1148, 51 (1964) pp. 105–110.
Cohen, P. J. Set theory and the continuum hypothesis. New York (1966).
Dalen, D. van. A note on spread cardinals. Compositio Mathematica 20 (1968) pp. 21–28.
Davis, M. The undecidable. N.Y. (1965).
Dedekind, R. Was sind und sollen die Zahlen? Brunswick (1888). Also in [34].
Dedekind, R. Gesammelte Mathematische Werke III. Braunschweig (1932).
Felgner, U. Models of ZF-set theory. Springer lecture notes (1971).
Fraenkel, A. A. Der Begriff‘definit’ und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms. Sitzungsberichte der Preussische Akademie der Wissenschaften, physikalische Klasse (1922) pp. 253–257. Also in Van Heyenoort [61] pp. 284–289.
Fraenkel, A. A. ZU den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. Math. Ann. 86 (1922) pp. 230–237.
Fraenkel, A. A. Einleitung in die Mengenlehre. Berlin (1928).
Fraenkel, A. A. and Y. Bar-Hillel. Foundations of set theory. Amsterdam (1958).
Frege, G. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle (1879).
Frege, G. Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Breslau (1884), Hildesheim (1961). English translation by J. L. Austin. Harper Torchbooks (1960).
Frege, G. Die Grundgesetze der Arithmetik. Jena (1893, 1903), Hildesheim (1962).
Frege, G. Begriffsschrift und andere Aufsätze, ed. I. Angelelli. Hildesheim (1964).
Galilei, G. Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden (1638). English translation in Dover Publications, N.Y. German translation in Ostwald’s Klassiker Nr. 11.
Gauss, C. F. Gesammelte Abhandlungen, Bd. VIII. Berlin (1932).
Gentzen, G. Beweisbarheit und Unbeweisbarheit von Anfangsfällen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie. Math. Ann. 119 (1943) pp. 140–161.
Gödel, K. The consistency of the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis. Proc. Nat. Ac. Science 24 (1938) pp. 556–557.
Gödel, K. Consistency proof for the generalized continuum hypothesis. Proc. Nat. Ac. Science 25 (1939) pp. 220–224.
Gödel, K. The consistency of the continuum hypothesis. Princeton (1940).
Gödel, K. What is Cantor’s continuum problem? Am. Math. Monthly 54 (1947) pp. 515–525. Also in [6] (revised and expanded).
Grattan-Guiness, I. An unpublished paper by Georg Cantor: Prinzipien einer Theorie der Ordnungstypen. Erste Mitteilung. Acta Mathematica 124 (1970) pp. 65–107.
Grzegorczyk, A. A plausible formal interpretation of intuitionistic logic. Indag. Math. 26 (1964) pp. 596–601.
Hájek, P. Modelle der Mengenlehre in denen Mengen gegebener gestalt existieren. Zeitschr. für Math.-Logik und Grundl. der Math. 11 (1965) pp. 103–115.
Hamel, G. Ein Basis aller Zahlen und die unstetige Lösungen der Funktionalgleichung \( f(x + y) = f(x) + f(y).\). Math. Ann. 60 (1905) pp. 459–462.
Hartogs, F. Über das Problem der Wohlordnung. Math. Ann. 76 (1915) pp. 438–443.
Hausdorff, F. Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Jahresberichte der DMV 13 (1904) pp. 570 ff.
Hausdorff, F. Grundzüge einer Theorie der geordnete Mengen. Math. Ann. 64 (1908) pp. 443–505.
Hausdorff, F. Nachgelassene Schriften 11. Stuttgart (1969).
Helmholtz, H. Zählen und Messen. In Philosophische Aufsätze, E. Zeller zu 50-jährigen Doktorjubiläum gewidmet. Leipzig (1887) p. 76.
Hessenberg, G. Grundbegriffe der Mengenlehre. Abhandlungen der Fries’schen Schule (1906).
Heyenoort, J. van. From Frege to Gödel, a source-book in mathematical Logic 1879–1931. Cambridge, Mass. (1967).
Hilbert, D. Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongress zu Paris 1900. Archiv der Math. und Physik, 3rd series 1 (1901) pp. 44–63, 213–237. Also in [65] p. 290 ff.
Hilbert, D. Über das Unendliche. Math. Ann. 95 (1926) pp. 161–190. Also in Van Heyenoort [61] pp. 367–392.
Hilbert, D. Die Grundlagen der Mathematik. Abh. a.d. Math. Sem. d. Hamb. Universität 6 (1928) pp. 65–85. Also in Van Heyenoort [61] pp. 464–479.
Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen Vol. 3. Berlin (1935).
Jensen, R. Modelle der Mengenlehre. Berlin (1967).
Kelley, J. L. General topology. Princeton (1955).
Kleene, S. C. Introduction to meta-mathematics. Amsterdam-New York (1952).
Klimovsky, G. The axiom of choice and the existence of maximal abelian subgroups. Rev. Un. Math. Argentina 20 (1962) pp. 267–287.
Kneebone, G. T. Mathematical logic and the foundations of mathematics. London (1963).
König, J. Zum Kontinuumproblem. Math. Ann. 60 (1905) pp. 177–180. Berichtigung ibid p. 462.
König, J. Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem. Math. Ann. 61 (1906) pp. 156–160. Also in Van Heyenoort [61] pp. 145–149.
Kowalewski, G. Bestand und Wandel. München (1950).
Kripke, S. Semantical Analysis of intuitionistic logic I. In Formal systems and recursive functions. Amsterdam (1965) pp. 92–130.
Kronecker, L. Über den Zahlbegriff. Journal für die reine und angewandte Mathematik 101 (1887) pp. 337–355.
Kronecker, L. Jahresbericht der Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1 (1890) pp. 23–25.
Kuratowski, K. and A. Mostowski. Set theory. (1968). Warszawa-Amsterdam
Lebesgue, H. Contribution a l’étude des correspondances de M. Zermelo. Bull. de la Soc. Math. de France 35 (1907) pp. 202–212.
Leibniz, G. Mathematische Schriften III, ed. Gerhardt (1855, 1856) pp. 536, 563.
Lévy, A. Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory. Pac. J. Math. 10 (1960) pp. 223–238.
Levy, P. Remarques sur un théorème de Paul Cohen. Revue de Métaphysique et de Morale 69 (1964) pp. 88–95.
Mahlo, P. Über linéaire transfinite Mengen. Leipziger Berichte math. phys. Klasse 63 (1911) pp. 187–225.
Mendelson, E. The axiom of Fundierung and the axiom of choice. Arch. Math. Logik und Grundlagenforschung 4 (1958) pp. 65–70.
Mendelson, E. Introduction to mathematical logic (especially Ch. 4). Princeton (1964).
Meschkowski, H. Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig (1967).
Mirimanoff, D. Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondemental de la théorie des ensembles. L’enseignement mathématique 19 (1917) pp. 37–52.
Monk, D. Introduction to set theory. N.Y. (1969).
Montague, R. Semantical closure and non-finite axiomatizability I. In Infinitistic Methods. Warszawa (1961).
Morse, A. A theory of sets. N.Y. (1965).
Mostowski, A. Über die Unabhängigkeit des Wohlordnungssatzes vom Ordnungsprinzip. Fund. Math. 32 (1939) pp. 201–252.
Mostowski, A. Thirty years of foundational studies. Oxford (1966).
Mostowski, A. Constructible sets with applications. Warszawa-Amsterdam (1969)
Mycielski, J. and H. Steinhaus. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Ac. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 10 (1962) pp. 1–3.
Mycielski, J. On the axiom of determinateness. Fund. Math. 53 (1964) pp. 205–224.
Neumann, J. von. Zur Einführung der transfiniten Zahlen. Acta literarum ac scientiarum Regiae Universitatis Hungariae Francisco Josephina. Sectio scientiarum math. 1 (1923) pp. 199–208. Also in Van Heyenoort [61] pp. 346–354.
Neumann, J. von. Eine Axiomatisierung der Mengenlehre. Journal für die reine und angewandte Math. 154 (1925) pp. 219–240. Also in Van Heyenoort [61] pp. 393–413.
Neumann, J. von. Eine Axiomatisierung der Mengenlehre. Math. Zeitschrift 27 (1928) pp. 669–752.
Neumann, J. von. Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre. Journ. für die reine und angewandte Math. 160 (1929) pp. 227–241. Also in [99] pp. 494–508
Neumann, J. von. Collected works. Vol. I. Oxford (1961).
Noether, E., ed. J. Cavaillès. Briefwechsel Cantor-Dedekind, Paris (1937). Also in J. Cavaillès. Philosophie mathématique. Paris (1962).
Peano, G. Démonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires. Math. Ann. 37 (1890) pp. 182–288.
Peano, G. Formulaire de mathématiques. Vol. 1, 2, 3, 4. Turin (1895-1903).
Peano, G. Additione. Revista del Mathematica 8 (1906) pp. 143–157.
Peano, G. Sulla definizione di funzione. Atté della Reale Accademia dei lincei. Classe di scienze fisiche, mathematische e naturali 20 (1911) pp. 3–5.
Pierce, C. S. On the algebra of logic, a contribution to the philosophy of notation. Am. J. Math. 7 (1885) pp. 180–202.
Pinl, M. Kollegen in einer dunklen Zeit. Jahresberichte Deutsche Mathematiker Vereinigung 71 (1969) pp. 167–228.
Poincaré, H. Science et méthode. Paris (1908). English translation in Dover Publications.
Poincaré, H. Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik. Leipzig (1910)
Proceedings of the AMS. Summer institute on axiomatic set theory (1967) UCLA (1971).
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, ed. I. G. Petrovsky. Moscow (1966).
Quine, W. V. O. Set theory and its logic. Cambridge, Mass (1963).
Richard, J. Les principes des mathématiques et le problème des ensembles. Revue générale des sciences pures et appliquées 16 (1905) pp. 541. Also in van Heyenoort [61] pp. 142–144.
Rieger, L. Chechosiovak Math. J. 7 (1957) pp. 323–357.
Robinson, R. M. The theory of classes, a modification of Von Neumann’s system. J.S.L. 2 (1937) pp. 29–32.
Rogers, H. jr. Theory of recursive functions and effective computability. New York (1967).
Rosser, J. B. Simplified independence Proofs. Boolean valued models of set theory. N.Y. (1969).
Rubin H. and J. E. Rubin. Equivalents of the axiom of choice. Amsterdam (1963).
Rubin, J. E. Set theory for mathematicians. Amsterdam (1967).
Russell, B. On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types. Proc. of the London Math. Soc. 4 (1907) pp. 29–53.
Schilp, ed. The philosophy of Bertrand Russell. New York (1944).
Schoenfliess, A. Entwicklung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen. Leipzig und Berlin, (1900) 2nd ed. (1913).
Schoenfliess, A. Die Krisis in Cantor’s Mathematischem Schaffen. Acta Mathematica 50 (1927) pp. 1–23.
Schoenfliess, A. Zur Erinnerung an Georg Cantor. Jahresberichte DMV 31 (1922) pp. 97–106.
Schröder, E. Nova Acta Leopoldina 71 (1898).
Schütte, K. Beweistheorie. Berlin (1960).
Scott, D. Prime ideal theorems for rings, lattices and Boolean algebras. Bull. Am. Soc. 60 (1954) pp. 390.
Scott, D. The notion of rank in set-theory. Summaries of Talks — Summer Institute for Symbolic Logic, Cornell University (1957).
Scott, D. Measurable cardinals and constructible sets. Bull. Ac. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astr. Phys. 9 (1961) pp. 521–524.
Scott, D. A proof of the independence of the continuum hypothesis. Math. Systems Theory 1 (1967) pp. 89–111.
Sheperdson, J. Inner models for set theory I, II, III. J.S.L. 16 (1951) pp. 161–190, J.S.L. 17 (1952) pp. 225–237, J.S.L. 18 (1953) pp. 145–167.
Shoenfield, J. R. Mathematical logic. Reading, Mass (1967).
Sierpinski, W. Sur une hypothèse de M. Lusin. Fund. Math. 25 (1935) pp. 132–135.
Sierpinski, W. L’hypothèse généralisé du continu et l’axiome du choix. Fund. Math. 34 (1947) pp. 1–5.
Skolem, Th. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre. Matematikerkongressen i Helsingfors den kw]4–7 Juli 1922. Den femte Skandinawiska matematiker-kongressen, Redogörelse. Also in [136] pp. 137–152 and van Heyenoort [61] pp. 290–301.
Skolem, Th. Einige Bemerkungen zu der Abhandlung von E. Zermelo: “Über die Definitheit in der Axiomatik”. Fund. Math. 15 (1930) pp. 337–341. Also in (136] pp. 275–279.
Skolem, Th. Über die Nichtcharakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen. Fund. Math. 23 (1934) pp. 150–161. Also in [136] pp. 355–366.
Skolem, Th. Selected works in logic, ed. J. E. Fenstad. Oslo (1970).
Solovay, R. 2ℵ0 can be anything it ought to be. In The theory of models. Amsterdam (1965) pp. 433–434.
Souslin, N. Problème 3. Fund. Math. 1 (1920) p. 223.
Specker, E. Verallgemeinerte Kontinuumshypothese und Auswahlaxiom. Archiv der Math. 5 (1954) pp. 332–337.
Specker, E. Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs-und Auswahlaxiom). Zeitschrift für math. Logik u. Grundlagen d. Math. 3 (1957) pp. 173–210.
Steinitz, E. Theorie der algebraischen Körper, Berlin, 1930.
Tarski, A. and A. Lindenbaum. Communication sur les recherches de la théorie des ensembles. Comptes rendus Soc. Sci. et Lettres de Varsovie, Classe III 19 (1926) pp. 299–330.
Tarski, A. Über unerreichbare Kardinalzahlen. Fund. Math. 30 (1938) pp. 68–89.
Tarski, A. Some problems and results relevant to the foundation of set theory. Proc. 1960 Intern. Congr. Logic Math. and Phil. Science. Stanford (1962) pp. 125–135.
Tarski, A. and J. H. Keisler. From accessible to inaccessible cardinals. Fund. Math. 53 (1964) pp. 117–199.
Troelstra, A. S. Principles of intuitionism. Berlin (1969).
Ulam, S. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre. Fund. Math. 15 (1930) pp. 140–150.
Vitali, G. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna (1905).
Wang, Hao. A survey of mathematical logic. Peking-Amsterdam (1963).
Wittgenstein, L. Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik. Oxford (1956) (with English translation).
Young, W. H. and G. C. Young. Review of “The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier series” by E. W. Hobson. Math. Gazette 14 (1928) pp. 98–104.
Zermelo, E. Beweis das jede Menge wohlgeordnet werden kann. Math. Ann. 59 (1904) pp. 514–516. Also in van Heyenoort [61] p. 139.
Zermelo, E. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. Math. Ann. 65 (1908) pp. 107–128. Also in [61] pp. 183–198.
Zermelo, E. Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Math. Ann. 65 (1908) pp. 261–281. Also in van Heyenoort [61] pp. 199–215.
Zermelo, E. Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik. Fund. Math. 19 (1929) pp. 339–344.
Zermelo, E. Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Fund. Math. 16 (1930) pp. 29–47.
Rights and permissions
Copyright information
© 1972 Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen, The Netherlands
About this chapter
Cite this chapter
Van Dalen, D. (1972). Set theory from Cantor to Cohen. In: Sets and integration An outline of the development. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-010-2718-2_1
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-010-2718-2_1
Publisher Name: Springer, Dordrecht
Print ISBN: 978-94-010-2720-5
Online ISBN: 978-94-010-2718-2
eBook Packages: Springer Book Archive