Abstract
By following ideas of synthetic real projective geometry rather than classical algebraic geometry, maps in a finite-dimensional desarguesian projective space are used to generate normal curves. We aim at solving the problems of classification, automorphic collineations and generating maps of arbitrary non-degenerate normal curves and degenerate normal curves in desarguesian projective planes (also called degenerate conics). Properties of normal curves are shown, on one hand, by using methods of projective geometry as well as linear algebra and, on the other hand, by applying results on the non-existence of certain types of ordinary and generalized polynomial identities with coefficients in a not necessarily commutative field.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
References
Amitsur, S.A.: ‘Generalized Polynomial Identites and Pivotal Monomials’, Trans.Amer.Math.Soc. 114, 210–226 (1965).
Amitsur, S.A.: ‘Rational Identities and Applications to Algebra and Geometry’, J.Algebra 3, 304–359 (1966).
Artzy, R.: ‘The Conic y=x2 in Moufang Planes’, Aequ.Math. 6, 30–35 (1971).
Benz, W.: Vorlesungen über Geometrie der Algebren, Grundlehren Bd. 197,Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1973.
Bertini, E.: Introduzionealla geometria proiettiva degli iperspazi, Pisa: E. Spoerri, 1907.
Bertini, E.: Einführung in die projektive Geometrie mehrdimensionaler Räume, Wien: Seidel&Sohn, 1924.)
Berz, E.: ‘Kegelschnitte in desarguesschen Ebenen’, Math. Z. 78, 55–85 (1962).
Brauner, H.: Geometrie projektiver Räume I, Mannheim Wien-Zürich: BI-Wissenschaftsverlag, 1976.
Brauner, H.: Geometrie projektiver Räume II, Mannheim Wien-Zürich: BI-Wissenschaftsverlag, 1976.
Burau, W.: Mehrdimensionale projektive und höhere Geometrie, Berlin: VEB Dt.Verlag d.Wissenschaften, 1961.
Clifford, W.K.: ‘On the Classification of Loci’, Phil. Trans. Roy. Soc. II, 663–681 (1878) (in: Mathematical Papers, London: Macmillan & Co., 1882 ).
Cohn, P.M.: Free Rings and their Relations, London-New York: Academic Press, 1971.
Cohn, P.M.: Skew Field Constructions, LMS Lecture Note Ser. 27, Cambridge: Cambridge U.P., 1977.
Gordon, B., Motzkin, T.S.: ‘On the Zeros of Polynomials over Division Rings’, Trans.Amer.Math.Soc. 116, 218–226 (1965).
Gordon, B., Motzkin, T.S.: Correction ibid. 122, 547 (1966).
Havlicek, H.: ‘Normisomorphismen und Normkurven endlich-dimensionaler projektiver Desargues-Räume’, Monatsh.Math. 95, 203–218 (1983).
Havlicek, H.: ‘Eine affine Beschreibung von Ketten’, Abh. Math.Sem.Univ.Hamburg 53, 267–276 (1983).
Havlicek, H.: ‘Die automorphen Kollineationen nicht entarteter Normkurven’, Geom.Dedicata 16, 85–91 (1984).
Havlicek, H.: ‘Erzeugnisse projektiver Bündelisomorphismen’, Ber.Math.Stat.Sekt.Forschungszentr.Graz Nr.215 (1984).
Herstein, I.N.: ‘Conjugates in Division Rings’, Proc.Amer. Math.Soc. 7, 1021–1022 (1956).
Herzer, A.: ‘Die Schmieghyperebenen an die Veronese-Man-nigfaltigkeit bei beliebiger Charakteristik’, J.Geometry 18, 140–154 (1982).
Kötter, E.: ‘Die Entwicklung der synthetischen Geometrie’, J.Ber.DMV 5, 2.Heft, 1–486 (1901).
Krüger, W.: ‘Regelscharen und Regelflächen in dreidimensionalen desarguesschen Räumen’, Math.Z. 93, 404–415 (1966).
Krüger, W.: ‘Kegelschnitte in Moufangebenen’, Math.Z.120, 41–60 (1971).
Müller, E., Kruppa, E.: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, I.Bd.: Die linearen Abbildungen, Leipzig-Wien: F.Deuticke, 1923.
Ostrom, T. G.: ‘Conicoids: Conic-like figures in Nonpappian Planes’, in: Plaumann, P., Strambach, K. (Eds.): Geometry-von Staudt’s Point of View, Dordrecht: D.Reidel, 1981.
Pickert, G.: ‘Projectivities in Projective Planes’, in: Plaumann, P., Strambach K. (Eds.): Geometry-von Staudt’s Point of View, Dordrecht: D.Reidel, 1981.
Riesinger, R.: ‘Entartete Steinerkegelschnitte in nicht-papposschen Desarguesebenen’, Monatsh.Math. 89, 243–251 (1980).
Riesinger, R.: ‘Normkurven in endlichdimensionalen Desarguesräumen’, Geom.Dedicata 10, 427–449 (1981).
Riesinger, R.: ‘Geometrische Überlegungen zum rechten Eigenwert-Problem für Matrizen über Schiefkörpern’, Geom.Dedicata 12, 401–405 (1982).
Rosati, L.A.: ‘Su alcune varietà dello spazio proiettivo sopra un corpo non commutativo’, Ann.Mat.pura app Z.,IV Ser. 59, 213–227 (1962).
Rosati, L.A.,: ‘Sualcuni problemi di geometria non line-are sopra un corpo sghembo’, Atti Acad.naz.Lincei, VIII Ser., Rend., C Z.sci.fis.mat.natur 36, 615–622 (1964).
Schaal, H.: ‘Zur perspektiven Zerlegung und Fixpunktkonstruktion der Affinitäten von An(K)’, Arch.Math. 38, 116–123 (1982).
Segre, B.: Lectures on Modern Geometry, Roma: Ed. Cremonese, 1962.
Segre, C.: ‘Mehrdimensionale Räume’, in: Encyklopädie d. Math.Wiss. III 2, 2A, Leipzig: Teubner, 1921–1928.
Timmermann, H.: ‘Descrizioni geometriche sintetiche di geometrie proiettive con caratteristica p>0’, Ann.Mat. pura app Z., IV Ser. 114, 121–139 (1977).
Timmermann, H.: Zur Geometrie der Veronesemannigfaltigkeit bei endlicher Charakteristik, Habilitationsschrift, Hamburg: 1978.
Veronese, G.: ‘Behandlung der projectivischen Verhältnisse der Räume von verschiedenen Dimensionen durch das Princip der Projicirens und des Schneidens’, Math. Ann. 19, 161–234 (1882).
Author information
Authors and Affiliations
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1985 D. Reidel Publishing Company
About this chapter
Cite this chapter
Havlicek, H. (1985). Applications of Results on Generalized Polynomial Identities in Desarguesian Projective Spaces. In: Kaya, R., Plaumann, P., Strambach, K. (eds) Rings and Geometry. NATO ASI Series, vol 160. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-009-5460-1_2
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-009-5460-1_2
Publisher Name: Springer, Dordrecht
Print ISBN: 978-94-010-8911-1
Online ISBN: 978-94-009-5460-1
eBook Packages: Springer Book Archive