Abstract
Except for the well-known blossoming of theoretical physics with the group around Werner Heisenberg at the University of Leipzig at the end of the 1920s, the tradition of mathematical physics had been analyzed in only a few aspects, in particular the work of Carl Neumann and his contributions to the shaping of mathematical physics in general and the theory of electrodynamics in particular. However, the establishment of mathematical physics and its strong position at the University of Leipzig, with Neumann as its leading figure in the last third of the nineteenth century, formed important preconditions for the later upswing. That process is analyzed in this article, focusing on the work of Neumann. It includes a discussion of his ideas on the structure of a physical theory and the role of mathematics in physics as well as his impact on the interaction of mathematics and physics.
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Fechner (1831).
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A survey of the development of mathematics at Leipzig’s university is given in (Girlich and Schlote). For a detailed description of the changes in 1868 see Schlote (2001, 230–234).
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Neumann had received high appreciation in this respect for his book about Riemann’s theory of Abelian integrals, which opened up for many contemporary mathematicians a path to Riemann’s new ideas about multi-valued functions of complex variables (Neumann 1865b).
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Neumann (1858).
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Neumann (1863).
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“[…] jene elektrischen Vorgänge im Innern des Körpers auf die Lichtbewegung influiren” (Neumann 1863, 5). All translations from the German are mine. They are not word for word but describe only the content in the main.
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Neumann (1865a, 31).
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[…] alle Erscheinungen, die in der Natur vor sich gehen, auf möglichst wenige Grundvorstellungen, d. i. auf möglichst wenige unbegreiflich bleibende Dinge zurückzuführen. Je grösser die Anzahl von Erscheinungen ist, welche von einer physikalischen Theorie umfasst werden, und je kleiner gleichzeitig die Anzahl der unerklärbaren Dinge ist, auf welche jene Erscheinungen zurückgeführt werden, um so vollkommener wird die Theorie zu nennen sein (Neumann 1865a, 17; author’s italic).
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Neumann (1868).
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Neumann (1869, 257). (As regards the content of that article, Neumann still followed the line of his former publications and inspected the conditions under which the theorem of virtual displacement could be derived in an exact deductive manner.)
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Wenn das eigentliche Ziel der mathematischen Naturwissenschaft, wie allgemein anerkannt werden dürfte, darin besteht, möglichst wenige (übrigens nicht weiter erklärbare) Principien zu entdecken, aus denen die allgemeinen Gesetze der empirisch gegebenen Thatsachen mit mathematischer Nothwendigkeit emporsteigen, also Principien zu entdecken, welche den empirischen Thatsachen aequivalent sind, – so muss es als eine Aufgabe von unabweisbarer Wichtigkeit erscheinen, diejenigen Principien, welche in irgend einem Gebiet der Naturwissenschaft bereits mit einiger Sicherheit zu Tage getreten sind, in sorgfältiger Weise zu durchdenken, und den Inhalt dieser Principien womöglich in solcher Form darzulegen, dass jener Anforderung der Aequivalenz mit den betreffenden empirischen Thatsachen wirklich entsprochen werde (Neumann 1870a, 3; author’s italic).
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Pulte, 400. For a detailed discussion see Chap. VI, sect 3. In regard to the terms of the “classical” and “modern concept of science” he referred to Diemer (Diemer).
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“Ich [Neumann, K.-H. S.] dagegen glaube, daß wesentliche Fortschritte [in der theoretischen Physik, K.-H. S.] nur in sehr langer Zeit zu erwarten sind, und daß dazu in erster Linie eine genaue Durcharbeitung des schon Vorhandenen erforderlich ist” (Library, University of Leipzig, Dep. of Handwritings, N 96 (Legacy O. Wiener), letter from Neumann to O. Wiener, November 29, 1902; author’s italic).
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Denn wollten wir eine physikalische Theorie nicht von irgend welchen unbegreiflichen und hypothetischen Grundvorstellungen, sondern von Sätzen ausgehen lassen, die den Stempel unumstösslicher Sicherheit an sich tragen, die durch sich selber die Bürgschaft unangreifbarer Wahrheit bieten, so würden wir gezwungen sein, zu den Sätzen der Logik oder Mathematik unsere Zuflucht zu nehmen. Aus derartigen rein formalen Sätzen eine physikalische Theorie deduciren zu wollen, würde aber ein Ding der Unmöglichkeit sein (Neumann 1870a, 12; author’s italic).
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- 17.
Neumann (1870a, 13).
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Neumann (1870a).
- 19.
Neumann (1873).
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Neumann (1874). The whole volume of the “Abhandlungen […]” is dated 1874. However, the numbers of the volume were published separately. Neumann’s treatise was published as number 6 in 1873.
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Neumann (1878). The whole volume of the “Abhandlungen […]” is dated 1878. The numbers of the volume were published separately. Neumann’s treatise was published as number 2 in 1874. In regard to Neumann’s debate with Helmholtz, Helmholtz’s contributions to electrodynamics as well as the development of electrodynamics see: Buchwald; Kaiser 1993; Darrigol 2000, sect. 6.3, 2.2, Appendix 7.
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Vielmehr hat der Mathematiker im Gebiete der Physik eine wichtige und nicht zu unterschätzende Aufgabe. Sie besteht darin, die einstweilen vorhandenen physikalischen Vorstellungen näher zu erforschen, ihre Consequenzen nach allen Seiten mit möglichster Strenge zu verfolgen; mit einem Wort, sie besteht darin, diese Vorstellungen deductiv zu entwickeln. Solche deductive Entwickelungen werden, namentlich wenn sie in festen und möglichst geradlinigen Zügen ausgeführt sind, dazu dienen, die Uebersichtlichkeit des betreffenden Gebietes zu vergrössern; sie werden beitragen, um gewissermassen unserm geistigen Blick allmählig diejenige Weite und Schärfe, namentlich aber diejenige Ruhe und Sicherheit zu geben, welche zu einer glücklichen Induction d. i. zum Emportauchen neuer und besserer Vorstellungen erforderlich sind (Neumann 1878, 196f; author’s italic).
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Neumann (1878, 98). “Als Controle eines noch hypothetischen physikalischen Gesetzes können nur solche Fälle benutzt werden, deren Wirklichkeit oder Realisirbarkeit nachgewiesen ist.”
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Neumann (1908).
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Neumann (1870b).
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Neumann (1877).
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Gauss (1813, 9).
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The ‘inner problem’ asks for the potential function of points inside the surface, the ‘outer problem’ for points on the outside of the surface.
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For an analysis of Neumann’s work on potential theory see Schlote (2004).
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This refers to lecture courses with a stronger orientation towards physics like “Electrodynamics”, “Theory of heat”, “Theory of light”, or “Hydrodynamics” and much less to courses with a larger amount of mathematical aspects like “Analytical mechanics” or “Introduction to mathematical physics”.
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It could be supposed that Lie, who followed F. Klein as the chair of geometry in 1886, could fill the gap in mathematical physics. However, he focused his research on the theory of continuous groups and the application of group theory to differential equations and sketched only roughly the importance of his results to physics. His results were mostly seen as a special topic in pure mathematics and did not get a high appreciation in his time. Lie repeatedly pointed out in several of his lectures the importance of his results to physics, but he worked out in detail only a few instances like the application of the transformation of contact in geometrical optics. The significance of Lie groups and Lie algebras with all its implications in mathematical physics was realised only some decades later.
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Drude (1894).
References
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Schlote KH (2001) Zur Entwicklung der mathematischen Physik in Leipzig (I) – Der Beginn der Neumannschen Ära. NTM Internat Schriftenreihe Gesch u Ethik Naturwiss Techn Med ns 9:229–245
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Schlote, KH. (2013). The Emergence of Mathematical Physics at the University of Leipzig. In: Barbin, E., Pisano, R. (eds) The Dialectic Relation Between Physics and Mathematics in the XIXth Century. History of Mechanism and Machine Science, vol 16. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-5380-8_6
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