Abstract
Kant held that under the concept of √2 falls a geometrical magnitude, but not a number. In particular, he explicitly distinguished this root from potentially infinite converging sequences of rationals. Like Kant, Brouwer based his foundations of mathematics on the a priori intuition of time, but unlike Kant, Brouwer did identify this root with a potentially infinite sequence. In this paper I discuss the systematical reasons why in Kant’s philosophy this identification is impossible.
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Notes
- 1.
Rehberg’s letter: AA, XI:205–206; Kant’s reply: AA, XI:207–210. Rehberg did not reply in turn, but much later published excerpts from Kant’s letter to him, together with his dissatisfied comments on it, in the first volume of his Saemtliche Schriften of 1828 (Rehberg 1828, pp. 52–60). With the publication of Kant’s Nachlass, also two drafts for his reply to Rehberg became known [AA, XIV:53–55, 55–59]. For an amusing description of Rehberg, see Jachmann’s letter to Kant of October 14, 1790, AA, XI:215–227, in particular p. 225. It is Jachmann’s letter that tells us that Rehberg’s letter came to Kant via Nicolovius. For detailed information on Rehberg’s life and work, see Beiser (2008).
- 2.
However, Stevin had already argued in 1585 that √8 is a number because it is part of 8, which is a number: ‘La partie est de la mesme matiere qu’est son entier; Racine de 8 est partie de son quarré 8: Doncques √8 est de la mesme matiere qu’est 8: Mais la matiere de 8 est nombre; Doncques la matiere de √8 est nombre: Et par consequent √8, est nombre.’ Of course, Stevin did not go on to provide an arithmetization of real numbers (Stevin 1585, p. 30).
- 3.
Kant did not publish this view in his lifetime, and it seems it first appeared in print in Rehberg’s later comments on their exchange (Rehberg 1828, pp. 52–60). However, three remarks to the same effect were published within a framework close to Kant’s in Solomon Maimon’s book on Kant’s philosophy, Versuch über die Transscendentalphilosophie of Autumn 1789 (Maimon 1790) (See pp. 374, 229/374, and 374, respectively.), in the year before Kant’s exchange with Rehberg (The title page states 1790, but see the editor’s remark in footnote 1 on p. II of the edition used here.). There seems to be no evidence as to whether Kant had seen Maimon’s remarks before writing to Rehberg (or later). (Warda’s list (Warda 1922) and the more comprehensive database ‘Kants Lektüre’ (http://web.uni-marburg.de/kant//webseitn/ka_lektu.htm) suggest that Kant did not own Maimon’s book. But that does not show that he did not see it at some point.) Note that Rehberg, in his later comments (Rehberg 1828), does not mention Maimon’s book either. We will come back to the exchange between Rehberg and Kant from a systematical point of view in Sect. 1.3.
- 4.
‘Daß nun die mittlere Proportionalgröße zwischen einer die = 1 und einer anderen welche = 2 gefunden werden könne, mithin jene kein leerer Begrif (ohne Object) sey, zeigt die Geometrie an der Diagonale des Qvadrats.’
- 5.
‘Das reine Schema der Größe aber (quantitatis), als eines Begriffs des Verstandes, ist die Zahl, welche eine Vorstellung ist, die die sukzessive Addition von Einem zu Einem (gleichartigen) zusammenbefaßt.’
- 6.
‘Es ist also nur die Frage warum für dieses Qvantum [√2] keine Zahl gefunden werden könne welche die Qvantität (ihr Verhaltnis zur Einheit) deutlich und vollständig im Begriffe vorstellt. … Daß aber der Verstand, der sich willkürlich den Begrif von √√2 macht, nicht auch den vollständigen Zahlbegrif, nämlich durch das rationale Verhaltnis derselben zur Einheit hervorbringen könne, …’
- 7.
‘daß sich zu jeder Zahl eine Qvadratwurzel finden lassen müsse, allenfalls eine solche, die selbst keine Zahl, sondern nur die Regel der Annäherung derselben, wie weit man es verlangt, …’
- 8.
‘eine … Reihe von Brüchen …, die, weil sie nie vollendet seyn kan, obgleich sich der Vollendung so nahe bringen läßt als man will, die Wurzel (aber nur auf irrationale Art) ausdrückt’.
- 9.
‘Begriffe irrationaler Verhaltnisse sind solche, die durch keine Annäherung erschopft werden können.’
- 10.
Note that, in the same sense, an infinite decimal expansion such as \(0.333\ldots \) would also be ‘an irrational way’ to express a magnitude, but in that case there is also the rational way of expressing it as a complete object, i.e. the fraction 1 ∕ 3. Hegel called the expression by infinite and hence incompletable means of something that can also be expressed finitely and hence completely a case of ‘bad infinity’ (‘schlechte Unendlichkeit’) (his example being the infinite decimal expansion 0.285714… and the fraction 2 ∕ 7) (Hegel 1979, pp. 287–289). I thank Pirmin Stekeler-Weithofer for bringing this to my attention.
- 11.
A, 480/B, 508; AA, XI:209; AA, XIV:57; AA, XVII:718.
- 12.
For example, both Euclid (Elements, Book VII, def. 2) and Diophantus (Arithmetic, Book I, Introduction) define numbers as multitudes of units; while Euclid did not accept rational numbers, Diophantus did, in the sense that, as Klein explains it, ‘by a fraction Diophantus meant nothing but a number of fractional parts’ (Klein 1968, p. 137).
- 13.
‘By number we understand not a multitude of units, but rather the abstract ratio of any one quantity to another of the same kind taken as unit. Numbers are of three sorts; integers, fractions, and surds: an integer is what the unit measures, the fraction what a submultiple part of the unit measures, and a surd is that with which the unit is incommensurable.’ (‘Per numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitatem quae pro unitate habetur rationem intelligimus. Estque triplex; integer, fractus & surdus: Integer quem unitas metitur, fractus quem unitatis pars submultiplex metitur, & surdus cui unitas est incommensurabilis.’) Newton, Arithmetica universalis, sive de compositione et resolutione arithmetica liber (Cambridge, 1707) as quoted and translated in Petri and Schappacher (2007, p. 344).
- 14.
Eudoxus’ theory of proportions was, however, of great importance to Kant’s views on the relations between arithmetic, geometry, and algebra. For an extensive treatment of that topic, see Sutherland (2006).
- 15.
I thank Carl Posy for drawing my attention to this.
- 16.
In an unpublished typescript (Tennant, 2010, Why arithmetize the reals? why not geometrize them? Unpublished typescript), Neil Tennant addresses the following question: ‘Who was the first major foundationalist thinker explicitly to reject (on the basis of reasons or argument, however inconclusive) recourse to geometric concepts or intuitions or principles or understanding, in the attempt to provide a satisfactory foundation for real analysis?’, and argues that it was Bolzano. I am grateful to Tennant for sharing his typescript with me.
- 17.
Cantor’s idea was first published, with credit, by Heine (1872, p. 173).
- 18.
Kant also used that term (e.g. AA, XI:208), but, as we will see, for him it did not refer to infinite sequences.
- 19.
As far as I know, Méray (1835–1911) and Cantor (1845–1918) have never been in contact; in particular, both as subject and as object Méray is completely absent from Cantor’s known, rich correspondence with the French (Décaillot 2008). Méray states his priority claim on p. XXIII of the ‘préface’ to Méray (1894).
- 20.
I do not know yet whether a reaction of Méray on Hankel’s work is known.
- 21.
- 22.
One is reminded of the footnote (there, concerning the term ‘analytic’) in section5 of the Prolegomena, which begins: ‘It is impossible to prevent that, as knowledge advances further and further, certain expressions that have already become classical, dating from the infancy of science, should subsequently be found insufficient and badly fitting’ (‘Es ist unmöglich zu verhüten, daß, wenn die Erkenntniß nach und nach weiter fortrückt, nicht gewisse schon classisch gewordne Ausdrücke, die noch von dem Kindheitsalter der Wissenschaft her sind, in der Folge sollten unzureichend und übel anpassend gefunden werden’) [AA, IV:276n.].
- 23.
Indeed, in his inaugural lecture ‘Intuitionisme en formalisme’ of 1912, Brouwer presented his position as fundamentally Kantian (Brouwer 1913, p. 85). That general qualification is absent from his later work; in the light of the considerations in the present paper, that seems, conceptually if not historically as well, to be no coincidence.
- 24.
That Brouwer here describes a sequence of nested intervals, and not of rationals, is not essential to the question at hand.
- 25.
‘Ein derartige unbegrenzte Folge ineinander geschachtelter … Intervalle nennen wir einen Punkt P order eine reelle Zahl P. Wir betonen, dass bei uns die Folge …selbst der Punkt P ist … Bei uns sind ein Punkt und daher auch die Punkte einer Menge immer etwas Werdendes.’
- 26.
‘Die Zeit ist an sich selbst eine Reihe (und die formale Bedingung aller Reihen).’ In Kemp-Smith’s translation, I have replaced ‘series’ by ‘sequence’.
- 27.
In an email, Lisa Shabel has confirmed to me that this indeed is included in her observation; I thank her for this clarification.
- 28.
Various places in Kritik der reinen Vernunft, the Prolegomena; also AA, XXIII:201.
- 29.
‘For the possibility of mathematics must itself be demonstrated in transcendental philosophy.” (‘Denn sogar die Möglichkeit der Mathematik muß in der Transscendentalphilosophie gezeigt werden.’) [A, 733/B, 761]; also A, 149/B, 188–189.
- 30.
‘Whatever the fact of the matter may be [on the relation between logic and the science of knowledge], this much is agreed: in any case logic remains, within its domain, unchanged, as far as the essential is concerned; and the transcendental question whether the logical propositions are capable and in need of a derivation from a higher, absolute principle, can have as little influence on logic itself and on the validity and evidence of its laws as the transcendental task, How are are synthetic judgements a priori possible in mathematics?, can have on pure mathematics regarding its scientific content. Like the mathematician as mathematician, so the logician as logician can calmly and safely continue his course of explaining and proving, without having to worry about the question of the transcendental philosopher and the philosopher of science, which lies outside his sphere: How is pure mathematics or pure logic as a science possible ?’ (‘Welche Bewandtniß es nun aber auch immer hiermit haben möge, so viel ist ausgemacht: in jedem Fall bleibt die Logik im Innern ihres Bezirkes, was das Wesentliche betrifft, unverändert; und die transscendentale Frage: ob die logischen Sätze noch einer Ableitung aus einem höhern, absoluten Princip fähig und bedürftig sind, kann auf sie selbst und die Gültigkeit und Evidenz ihrer Gesetze so wenig Einfluß haben, als auf die reine Mathematik in Ansehung ihres wissenschaftlichen Gehalts die transscendentale Aufgabe hat: Wie sind synthetische Urtheile a priori in der Mathematik möglich? So wie der Mathematiker als Mathematiker, so kann auch der Logiker als Logiker innerhalb des Bezirks seiner Wissenschaft beim Erklären und Beweisen seinen Gang ruhig und sicher fortgehen, ohne sich um die außer seiner Sphäre liegende transscendentale Frage des Transscendental-Philosophen und Wissenschaftslehrers bekümmern zu dürfen: Wie reine Mathematik oder reine Logik als Wissenschaft mäglich sei?’) [AA, IX:008].
- 31.
For phenomenologists, it is of interest that this is how Kant defines the notion of ‘evidence’:
When objective certainty is intuitive, it is called ‘evidence’ (‘Wenn die obiective Gewisheit anschauend ist, so heisst sie evidentz.’) [AA, XVI:375 (1769? 1770?)]
Mathematical certainty is also called evidence, as intuitive knowledge is clearer than discursive knowledge. (‘Die mathematische Gewißheit heißt auch Evidenz, weil ein intuitives Erkenntniß klärer ist als ein discursives.’) [AA, IX:70]
Concepts a priori (in discursive knowledge) can never be a source of intuitive certainty, i.e. evidence, however much the judgement may otherwise be apodictically certain. (‘Aus Begriffen a priori (im diskursiven Erkenntnisse) kann aber niemals anschauende Gewißheit, d.i. Evidenz entspringen, so sehr auch sonst das Urteil apodiktisch gewiß sein mag.’) [A, 734/B, 762]
But it is not a term that Kant actually uses often.
- 32.
‘Einige wenige Grundsätze, welche die Geometer voraussetzen, sind zwar wirklich analytisch und beruhen auf del Satze des Widerspruchs; … Und doch auch diese selbst, ob sie gleich nach bloßen Begriffe gelten, werden in der Mathematik nur darum zugelassen, weil sie in der Anschauung können dargestellet werden.’
- 33.
‘mathematica per constructionem conceptus secundum intuitionem sensitivam’ [AA, XVII:425 (1769? 1773–1775?)]; and various other places.
- 34.
‘die Mathematik, [die] ihren Gegenstand nirgend anders, als in der mäglichen Erfahrung hat’ [A, 314/B, 371n.]; ‘Folglich verschaffen die reinen Verstandesbegriffe, selbst wenn sie auf Anschauungen a priori (wie in der Mathematik) angewandt werden, nur so fern Erkenntniß, als diese, mithin auch die Verstandesbegriffe vermittelst ihrer auf empirische Anschauungen angewandt werden können’ [B, 147]; ‘[der] Mathematiker … der es auch blos mit mäglichen Gegenständen äußerer Sinne zu thun hat’ [AA, XX:418] (1790).
- 35.
Hence, as Kant emphasizes in reflection 6314 [AA, XVIII:616 (1790–1791)], for the representation of a number both time and space are necessary, as an image has a spatial character. See also 4629 [AA, XVII:614] from between 1771 and 1775.
- 36.
In the Kritik der Urteilskraft [AA, V:254], Kant distinguishes between ‘comprehensive’ and ‘progressive apprehension’ (‘comprehensive’ and ‘progressive Auffassung’), but to my mind in both cases what is aimed for is one (ideal) image; here I disagree with von Wolff-Metternich (1995, pp. 57–60).
- 37.
Kant does this at, e.g. AA, XIV:057 (draft to Rehberg) and AA, XI:208 (letter to Rehberg).
- 38.
‘Den Begriff der Größe überhaupt kann niemand erklären, als etwa so: daß sie die Bestimmung eines Dinges sei, dadurch, wie vielmal Eines in ihm gesetzt ist, gedacht werden kann. Allein dieses Wievielmal gründet sich auf die sukzessive Wiederholung, mithin auf die Zeit und die Synthesis (des Gleichartigen) in derselben.’
- 39.
‘Progression. Die Unendlichkeit der Reihe als solche ist möglich, aber nicht die Unendlichkeit des Aggregats. Jenes ist eine unendliche Möglichkeit (der Hinzuthuungen), dieses eine unendliche (wirkliche) Zusammennehmung.’
- 40.
‘Was nur durch die composition gegeben wird, ist darum immer endlich, obgleich die composition ins Unendliche geht.’
- 41.
‘Wenn eine Größe als ein Ding an sich selbst gegeben ist, so geht das Ganze vor der composition voraus, und da kann ich darum, daß diese zusammensetzung niemals vollendet werden und also die quantitas derselben niemals ganz erkannt werden kann, nicht schließen, daß ein solches qua unendliche quantum unmöglich sey. Es ist uns nur unmoglich, nach unserer Art großen zu messen es gantz zu erkennen, weil es unermeßlich ist. Daraus folgt nicht, daß nicht ein anderer Verstand ohne Messen das quantum als ein solches Ganz erkennen könne. Ebenso mit der Teilung.’ Also e.g. AA, XVIII:379 no. 5903.
- 42.
‘Im Unendlichen ist die Schwierigkeit, die totalitaet mit der unmöglichkeit einer synthesis completae zu vereinbaren. folglich ist die Schwierigkeit subiectiv. Dagegen ist das potentialiter infinitum (infinitum coordinationis potentialis) sehr wohl begreiflich, aber ohne totalitaet.’
- 43.
‘Wie der Wiederstreit der subiectiven Bedingungen oder ihre Voraussetzung die Wahrheit der obiectiven nachahme und unterschiebe. e.g. Ein Mathematisch unendliches ist möglich, weil es den regeln der Einsicht nicht wiederstreitet; es ist unmöglich, weil es den Bedingungen der comprehension wiederstreitet.’
- 44.
‘Welches sind die Grenzen der mathematischen Erkenntnis? Das, was a priori in der Anschauung kann vorgestellt werden, also Raum und Zeit und Veranderung in der Zeit.’
- 45.
‘Also ist die Zahl nichts anderes, als die Einheit der Synthesis des Mannigfaltigen einer gleichartigen Anschauung überhaupt, dadurch, daß ich die Zeit selbst in der Apprehension der Anschauung erzeuge.’
- 46.
Maimon, in his Versuch über die Transscendentalphilosophie, also emphasizes the dependency on subjective conditions. Describing the division of a line segment into parts, he writes:
In case the parts are infinite [in number], then this division is, for a finite being, impossible, not, however, in itself. (Maimon 1790, p. 375) (‘Sind also die Theile unendlich, so ist diese Theilung, in Beziehung auf ein endliches Wesen, unmöglich, nicht aber an sich.’)
And, on infinite numbers:
An absolute understanding, on the other hand, thinks the concept of an infinite number without invoking a temporal sequence, all at once. Therefore, that which for the understanding [i.e. the human understanding] is, in accordance with its limitations, a mere idea, is, with respect to its absolute existence, a true object. (Maimon 1790, p. 228) (‘Bei einem absoluten Verstande hingegen, wird der Begrif einer unendlichen Zahl, ohne Zeitfolge, auf einmal, gedacht. Daher ist das was der Verstand [i.e. the human understanding] seiner Einschränkung nach, als bloße Idee betrachtet, seiner absoluten Existenz nach ein reelles Objekt.’)
It seems, then, that Maimon explicitly leaves open the possibility that infinite minds could admit into arithmetic not only whole and rational numbers, but also real numbers, as actually infinite sums of fractions. The human mind, however, cannot do this.
- 47.
‘[D]ie mathematischen Grundsätze … [sind] nur aus der Anschauung, aber nicht aus dem reinen Verstandesbegriffe gezogen’.
- 48.
‘Warum kann er [i.e. der Verstand], der Zahlen willkührlich hervorbringt keine √√2 Zahlen denken?’ From Rehberg’s letter and his later elaboration of his view (Rehberg 1828, p. 56), it is clear that by ‘willkürlich’ he does not mean ‘subject to no condition at all’. While he claims, against Kant, that it is a spontaneity that is unconstrained by the forms of time and space, he also thinks it is subject to constraints of a different kind (see footnote 50 below), and takes the impossibility, as he sees it, to think √2 in numbers as a proof of that fact.
- 49.
Longuenesse claims that Rehberg means by it ‘thinking in multiples or fractions of the unit, that is, in rational numbers’ (Longuenesse 1998, p. 262n.38). (Also Dietrich reads him that way (Dietrich 1916, p. 118).) I do not find evidence for this in Rehberg’s letter or his later comments. In effect, on that reading Rehberg is asking why the understanding cannot think an irrational number as a rational one. I read Rehberg differently; see the next footnote. (Of course, when Rehberg writes, ‘Es heißt zwar p. 182 der Critik, daß die Zahl eine successive Addition sey’ [XI:205], this formulation is neutral as to whether he agrees.)
- 50.
Rehberg’s own suggestion for an answer is that the ground of this impossibility lies in the transcendental faculty of the imagination and its connection to the understanding [AA, XI:206], which he thinks has a property that limits our capacity of generating numbers in such a way that thinking (a quantum) in numbers for us is limited to ‘discretely generated magnitudes’ (‘discretive erzeugten Größen’) (Rehberg 1828, pp. 57, 59); see also Parsons (1984, p. 111). In his letter he qualifies the nature of this faculty as ‘transcending all human capacities of investigation’ (‘alles menschliche Untersuchungsvermögen übersteigend’) [AA, XI:206], but nevertheless goes on to suggest the possibility of a ‘transcendental system of algebra’ (‘transscendentales System der Algebra’), which would serve to determine a priori, on the basis of principles, which equations we can solve and how. In one of the drafts for his reply, Kant says he can answer Rehberg’s question ‘without having to look into the first grounds of the possibility of a science of numbers’ (‘ohne auf die ersten Gründe der Moglichkeit einer Zahlwissenschaft zurüksehen zu dürfen’) [AA, XIV:55–56], but it is interesting that, decades earlier, he himself in a note had remarked: ‘Philosophical insight into geometrical and arithmetical problems would be excellent. It would open the way to an art of discovery. But it is very difficult.’ (‘Ein philosophisch Erkentniß der geometrischen und Arithmetischen Aufgaben würde vortreflich seyn. sie würde den Weg zur Erfindungskunst bahnen. aber sie ist sehr schweer.’) [AA, XVI:55 (1752–W.S. 1755/56)]
- 51.
Given Kant’s remarks quoted at the end of Sect. 1.2, I disagree with Friedman’s claim that for Kant, ‘the fact of the irrationality of √2, which is presumably a fact of pure arithmetic, is itself based on successive enumeration and hence on time’ (Friedman 1992, p. 116, original emphasis). What depends on time is rather the possibility for humans to come to know that fact. See also Kant’s letter to Schultz of November 25, 1788 [AA, X:556–557] and Parsons’ comments on it (Parsons 1984, pp. 116–117).
- 52.
This is known as Theaetetus’ Theorem, although Plato’s dialogue to which it owes its name gives no proof; for the ancient history of the theorem and its proofs, see Mazur (2007). Kant (who does not call the theorem by that name) may well have seen it, with a proof, in Sect. 137 of Johann Segner’s Anfangsgründe der Arithmetik (von Segner 1764) to which he refers, in a different context, at B, 15. The method to extract the square root of larger numbers that Kant refers to at AA, XI:209 corresponds to the method given by Segner in Sect. 136. (The same material is also present in Michael Stifel’s Arithmetica Integra (Stifel 1544) of which Kant owned a copy (Warda 1922, p. 40).)
- 53.
Note that the procedure to extract roots in effect starts with the same test.
- 54.
‘so stellet sie alle Behandlung, die durch die Größe erzeugt und verändert wird, nach gewissen allgemeinen Regeln in der Anschauung dar’.
- 55.
Compare AA, XVII:397 no. 4046 (1769? 1771?): ‘The omnitudo collectiva in One or totality rests on the positione simultanea. From the multitudine distributiva I can conclude to the unitatem collectivam, but not from the omnitudine, because the progression is infinite and not complete.’ (‘Die omnitudo collectiva in Einem oder totalitaet beruhet auf der positione simultanea. Aus der multitudine distributiva kan ich auf die unitatem collectivam schließen, aber nicht aus der omnitudine, weil die Progression unendlich ist und nicht complet.’); also AA, XVII:700 (around 1775–1777): ‘The infinite of continuation or of collection. The infinitely small of composition or decomposition. Where the former is the condition, the latter does not occur.” (‘Unendlich der Fortsetzung oder der Zusammennehmung. unendlich klein der composition oder decomposition. Wo das erstere die Bedingung ist, findet das letztere nicht statt.’)
- 56.
Note that ideal, adequate givenness of a potentially infinite sequence does not consist in its being given as an actually infinite sequence (for that would contradict the essence of the object qua potentially infinite), but in the givenness of the whole finite initial segment generated so far, however large the number of its elements may be, together with the open horizon that indicates the ever present possibility to construct further elements of the sequence. The absence of such further elements from an intuition of the sequence at a given moment does not make it an inadequate intuition, because they do not yet even exist. In contrast, the reason why our intuition of a physical object at a given moment is necessarily inadequate is precisely that, as a matter of three-dimensional geometry, any concrete view of it hides parts that do at that moment exist.
- 57.
The order relation is represented by the relation between left and right, but that already requires an act of the understanding: do we take the order in a sequence to be from left to right, or from right to left?
- 58.
‘It is true that in Kant’s thought the categorial (logical) functions play a great role; but he never arrives at the fundamental extension of the concepts of perception and intuition over the categorial realm’ (‘In Kants Denken spielen zwar die kategorialen (logischen) Functionen eine große Rolle; aber er gelangt nicht zu der fundamentalen Erweiterung der Begriffe Wahrnehmung und Anschauung über das kategoriale Gebiet.’) (Husserl 1984, p. 732).
- 59.
‘dessen ganzes Vermögen im Denken besteht, d.i. in der Handlung, die Synthesis des Mannigfaltigen, welches ihm anderweitig in der Anschauung gegeben worden, zur Einheit der Apperception zu bringen, der also für sich gar nichts erkennt, sondern nur den Stoff zum Erkenntniß, die Anschauung, die ihm durchs Object gegeben werden muß, verbindet und ordnet’. See also A, 51/B, 75; B, 138–139; A, 147/B, 186; B, 302–303n.; A, 289/B, 345; Prolegomena sections 22, 39 and 57.
- 60.
According to Kant, in pure mathematics all questions have a definite answer (or else the senselessness of the question can be demonstrated), and the same holds for transcendental philosophy and pure ethics [A, 476/B, 504ff.]; see for discussion Posy (1984, pp. 127–128). The general reason Kant gives for this is that in these purely rational sciences, ‘the answer must issue from the same sources from which the question proceeds’ (‘die Antwort aus denselben Quellen entspringen muß, daraus die Frage entspringt’) [A, 476/B, 504]. It seems to me that, when the details of this answer are spelled out for the case of pure mathematics, the condition of completeness that is imposed by Kant’s requirement of an image must enter into the explanation. For intuitionistic mathematics is equally wholly concerned with spontaneous constructions in a priori intuition—where Kant speaks of questions raised by pure reason as concerned with its ‘inner constitution’ (innere Einrichtung) [A, 695/B, 723], Brouwer calls mathematics ‘inner architecture’ (Brouwer 1949, p. 1249). But in intuitionism, the most we can justify in general is the weaker claim that there are no unanswerable questions, as ¬ ¬(p ∨ ¬p) is demonstrable while p ∨ ¬p is not. For example, consider a potentially infinite lawless sequence of natural numbers α (which, as follows from the considerations in the present paper, for Kant would not be a mathematically constructible concept). We cannot, in general, show that \(\exists n(\alpha (n) = 0) \vee \neg \exists n(\alpha (n) = 0)\), due to the open-endedness of such a sequence. We can show ∃n(α(n) = 0) as soon as we have indeed chosen 0 in the sequence, but we are never obliged to make that choice. On the other hand, we can at any time show \(\neg \neg (\exists n(\alpha (n) = 0) \vee \neg \exists n(\alpha (n) = 0))\) (which also shows that the original question is not senseless). Intuitionism, however, accepts Kant’s claim for questions that ask whether a given construction of finite character is possible in a given finite system; e.g. Brouwer (1949, p. 1245).
- 61.
‘Die Unendlichkeit der Synthesis in einer Reihe [ist] wie im progressu blos potential.’
- 62.
XVIII:378 no. 5897 around 1780–1789?: ‘Was nur durch die composition gegeben wird, ist darum immer endlich, obgleich die composition ins Unendliche geht.’
- 63.
‘eine Irrationalzahl … ist … wirklich keine Zahl, sondern nur eine Großenbestimmung durch eine Regel des Zählens’ [AA, XIV:57] Compare in one of the drafts: ‘a square root, if necessary one that is itself no number, but only the rule to approximate it as closely as one wishes’ (‘eine Qvadratwurzel …, allenfalls eine solche, die selbst keine Zahl, sondern nur die Regel der Annäherung zu derselben, wie weit man es verlangt’) [AA, XI:210].
- 64.
Compare on this point also Wittgenstein: “‘We know the infinity from the description.” Well, then only this description exists and nothing else.’ (“‘Wir kennen die Unendlichkeit aus der Beschreibung.” Nun, dann gibt es eben nur diese Beschreibung und nichts sonst.’) (Wittgenstein 1964, p. 155).
- 65.
‘(5) Die Unendlichkeit der Zeit bedeutet nichts weiter, als daß alle bestimmte Größe der Zeit nur durch Einschränkungen einer einigen zum Grunde liegenden Zeit mäglich sei. Daher muß die ursprüngliche Vorstellung Zeit als uneingeschränkt gegeben sein. Wovon aber die Teile selbst, und jede Größe eines Gegenstandes, nur durch Einschränkung bestimmt vorgestellt werden können, da muß die ganze Vorstellung nicht durch Begriffe gegeben sein (denn die enthalten nur Teilvorstellungen), sondern es muß ihnen unmittelbare Anschauung zum Grunde liegen.’
- 66.
Here also, Brouwer and Husserl disagree with Kant; e.g. Brouwer (1907, pp. 104–105), claims that the one-dimensional temporal intuitive continuum is given as an object without requiring the givenness of any other object (in particular, no exterior object is required in addition); for Husserl, see Husserl (1928), in particular pp. 436–437 and 471–473.
- 67.
[By ‘absolute’, I take Kant here to mean ‘not in relation to any objects whose appearances are temporally determined’, in analogy to his explanation of the term ‘absolute space’ in the note at A, 429/B, 457.]
- 68.
‘die Zeit wird nicht als dasjenige angesehen, worin die Erfahrung unmittelbar jedem Dasein seine Stelle bestimmte, welches unmöglich ist, weil die absolute Zeit kein Gegenstand der Wahrnehmung ist’. Also A, 32–33/B, 49; A, 37/B, 54; B, 219; B, 225; B, 226; B, 233; B, 257.
- 69.
Following Böhme (1974, p. 272), I take it that Kant is referring not to time as such but to time in this relation to space and movement when he writes that ‘The pure image … of all objects of the senses in general is time’ (‘Das reine Bild … aller Gegenstände der Sinne aber überhaupt, die Zeit’) [A, 142/B, 181–182].
- 70.
AA, XIV:55 (1790): ‘But without space, time itself would not be represented as a magnitude and this concept would have no object at all.’ (‘Aber ohne Raum würde Zeit selbst nicht als Größe vorgestellt werden und überhaupt diese Begriff keine Gegenstand haben.’)
- 71.
AA, XX:410–423, in particular 417ff. Written for, and indeed used by, Johannes Schultz; see the latter’s ‘Rezension von Johann August Eberhard, Philosophisches Magazin’ (Schultz 1790), and Kant’s letters to Schultz of Summer 1790: AA, XI:183; AA, XI:184; AA, XI:200; AA, XI:200–201.
- 72.
That concise phrase occurs in a longer passage that Kant deleted; but the content of the passage agrees with the main text (in particular pp. 420–421). The sentence containing this phrase runs: ‘For that one can extend a line into the infinite, or surfaces as far as one wishes, this potential infinity, which is the only one that the mathematician needs to base his determinations of space on, presupposes that actual (but only metaphysically real) infinity and is possible only under this presupposition.’ (‘Denn daß man eine Linie ins Unendliche fortziehen oder Ebenen so weit man will aus einander rücken kan diese potentiale Unendlichkeit welche der Mathematiker allein seinen Raumesbestimmungen zum Grunde zu legen nöthig hat setzt jene actuelle (aber nur metaphysisch wirkliche) Unendlichkeit voraus und ist nur unter dieser Voraussetzung möglich.’) [AA, XX:418].
- 73.
As the Transcendental Aesthetic is concerned with metaphysical infinity, not mathematical infinity, it gives necessary, but not sufficient conditions for mathematical cognition. These need to be completed by the Axioms of Intuition. See for a detailed discussion of this point (Sutherland 2005).
- 74.
See on this point (Michel 2003, p. 112).
- 75.
In this sense, for Kant potentially infinite sequences would seem to be even more problematic than actually infinite ones; the latter might still be representable in an image by other minds than ours.
- 76.
This is not to suggest that Husserl actually influenced Brouwer; rather, in my view, the ideas that Brouwer independently developed are best understood in the framework that Husserl provides. See van Atten (2007) for a phenomenological analysis of Brouwer’s choice sequences.
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Acknowledgements
Earlier versions were presented at CUNY, New York, November 6, 2008; at REHSEIS, Paris, January 16, 2009; at the Oskar Becker Tagung, Bad Neuenahr/Ahrweiler, February 6, 2009; at IHPST, Paris, March 23, 2009; at Philosophy and Foundations of Mathematics: Epistemological and Ontological Aspects (a conference dedicated to Per Martin-Löf on the occasion of his retirement), Uppsala, May 7, 2009; at the meeting of the Société des études kantiennes en langue française, Lyon, September 8, 2009; at the joint philosophy-mathematics seminar (CEPERC/UFRAM) in Marseille, March 10, 2010; and at the logical-philosophical seminar at Charles University, Prague, March 28, 2011. I thank the audiences for their questions and comments, and also Carl Posy, Ofra Rechter, Lisa Shabel, Pirmin Stekeler-Weithofer, Neil Tennant, Robert Tragesser, and an anonymous referee.
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van Atten, M. (2012). Kant and Real Numbers. In: Dybjer, P., Lindström, S., Palmgren, E., Sundholm, G. (eds) Epistemology versus Ontology. Logic, Epistemology, and the Unity of Science, vol 27. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-4435-6_1
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