Abstract
Moses Mendelssohn, once a member of a “Berlin Circle,” together with distinguished mathematicians such as Euler, was, like him, interested in “mathematical music.” But different from Euler, who was an expert in ‘natural’ tonal relationships, Mendelssohn wrote about an artificial way of solving the problem of intonation for organs, harpsichords and clavichords. He connected prescriptions of the ancient Greek Delian problem (of construing distances with the length of the cubic root of a given length) with the problem of equal temperament tuning. Thereby he gave an original proof for Newton’s prescription.
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Notes
- 1.
Meyer Kayserling, Moses Mendelssohn: Sein Leben und seine Werke, 2nd ed, revised and enlarged (Leipzig, 1888), 75.
- 2.
Johann Carl Fischer, Geschichte der Physik seit der Wiederherstellung der Künste und Wissenschaften bis auf die neuesten Zeiten. Sechster Band (Göttingen, 1805), 254.
- 3.
Alberto Conti, “Aufgaben dritten Grades: Verdoppelung des Würfels, Dreiteilung des Winkels” in Federigo Enriques, Fragen der Elementargeometrie: Die geometrischen Aufgaben; Ihre Lösung und Lösbarkeit, transl. and ed. Hermann Fleischer, 189–266 (Leipzig: B. G. Teubner, 1907); “Problemi di 3.o grado: Duplicazione del cubo – Trisezione dell’ angolo,” in Questioni riguardanti la geometria elementare, raccolte e coordinate da Federigo Enriques, 415–70 (Bologna: Ditta Nicola Zanichelli, 1900).
- 4.
Tiberius Cavallo, “Of the temperament of those musical instruments, in which the tones, keys, or frets, are fixed, as in the harpsichord, organ, guitar, &c.,” Phil. Trans. R. Soc. Lond. 78 (January 1788): 253–54.
- 5.
Adrianus Valerius, Nederlandtsche Gedenckklank (Haarlem, 1616), 168. The English text is as follows: “We gather together to ask the Lord’s blessing; He chastens and hastens His will to make known.”
- 6.
Harmonization attributed to Hassler.
- 7.
Cathérine Schmidt-Jones, “Tuning Systems,” Connexions (March 11, 2011), http://cnx.org/content/m11639/1.21/.
- 8.
Mark Lindley, “Stimmung und Temperatur,” in Hören, Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit, ed. Carl Dahlhaus et al. (Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1987), 6:142.
- 9.
E. J. Dijksterhuis, Simon Stevin (The Hague: Martinus Nijhoff, 1943), 270–76.
- 10.
Kayserling, Moses Mendelssohn, 75.
- 11.
Marpurgs historisch kritische Beiträge, Band 5, St. 2 (1761), 95–109; Moses Mendelssohn, vol. 2 of Gesammelte Schriften. Jubliäumsausgabe, (Berlin: Akademie-Verlag, 1929–; Stuttgart/Bad Cannstatt: Frommann-Holzboog, 1972), 189–99. Hereafter cited as JubA 2, followed by a colon and page number.
- 12.
JubA 2:197, corrected.
- 13.
Perhaps it is easier to write AE as √AB·AF and AH as √AF·AC. Then AE·AH = AF√AB·AC. From AB·AC = AF2 it follows that AE·AH = AF2, and therefore AE : AF = AF : AH.
- 14.
JubA 2:192. “Es kömmt also blos auf das bekannte problema deliacum an, das in dem Alterthum so viel Aufsehens gemacht hat.”
- 15.
Ivor Thomas, ed, Selections Illustrating the History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid, reprint, vol. 1 (London: William Heinemann; Cambridge, MA: Harvard University Press, 1951), chapter 9.1.
- 16.
Johann Christoph Sturm, Mathesis iuvenilis, das ist: Anleitung vor die Jugend zur Mathesin, der erste Theil (Nürnberg, 1714).
- 17.
JubA 2:193.
- 18.
Isaac Newton, Arithmetica Universalis: Sive De Compositione et Resolutione Arithmetica Liber, 2nd ed. (London, 1722), 303–4.
- 19.
JubA 2:193.
- 20.
JubA 2:197.
- 21.
J. H. van Swinden, Grondbeginsels der meetkunde (Amsterdam, 1790), 104.
- 22.
Van Swinden, Grondbeginsels, tabel 4.
- 23.
Van Swinden, Grondbeginsels, tabel 4.
- 24.
JubA 2:193. “Es sey mir erlaubt, dasjenige zu beweisen, was der Newton als bekannt voraussetzt. Große Genies erreichen das Ziel mit einem Schritt, wohin sich gemeine Geister durch eine lange Reihe von Schlüssen müssen leiten lassen.”
- 25.
Alberto Conti, “Aufgaben dritten Grades: Verdoppelung des Würfels, Dreiteilung des Winkels,” in Federigo Enriques, Fragen der Elementargeometrie: Die geometrischen Aufgaben; Ihre Lösung und Lösbarkeit, transl. and ed. Hermann Fleischer, 189–266 (Leipzig: B. G. Teubner, 1907). This is an extended version of Conti, “Problemi di 3.0 grado: Duplicazione del cubo – Trisezione dell’ angolo,” in Questioni riguardanti la geometria elementare, raccolte e coordinate da Federigo Enriques, 415–70 (Bologna: Ditta Nicola Zanichelli, 1900).
- 26.
B. Carrara, Sui tre problemi classici degli antichi in relazione di recenti risultati della scienza. Cf. Rivista di Fisica, Matematica e Scienze Naturali (Pavia, 1902–1903). Quoted in Conti, “Aufgaben dritten Grades,” 211 ff.
- 27.
Conti, “Aufgaben dritten Grades,” 211.
- 28.
J. B. Biot, Traité de Physique Expérimentale et Mathématique. Tome Second (Paris, 1816), 70.
- 29.
Biot, Traité de Physique, 71. “Cavallo, physicien exact et ingénieux, rapporte dans les Transactions philosophiques, qu’ayant accordé soigneusement une harpe ordinaire sur ces principes, en se servant d’un bon monochorde, l’exécution s’y est trouvé très-bonne dans tous les tons et dans tous les modes.”
- 30.
Cavallo, Of the temperament, 254.
- 31.
Robert Smith, Harmonics; or, The Philosophy of Musical Sounds, 2nd ed., much improved and augmented (London, 1759), 223.
- 32.
Fischer, Geschichte der Physik, 563. “Es ist schon im Th. IV, S. 254, angeführt worden, daß die gleichschwebende Temperatur diejenige ist, bey welcher die möglichste Annäherung an die Reinigkeit für alle Consonanzen zugleich erhalten wird. Wie diese gleichschwebende Temperatur geometrisch construirt werden könne, hat Moses Mendelssohn in Marpurg’s historisch-kritischen Beyträgen zur Aufnahme der Musik, im 2ten Stücke des 5ten Bandes, gezeigt.”
- 33.
Fischer, Geschichte der Physik, 254. “Diese gleichschwebende Temperatur ist nun ohne allem Zweifel diejenige, bei welcher die möglichste Annäherung an die Reinigkeit für alle Consonanzen zugleich erhalten wird. Die ganzen Töne schreiten sämmtlich durch das Verhältniß 8909/10000 fort, welches von 8/9 sehr wenig abweicht; die Quinten und Quarten weichen nur um den zwölften, und die Terzen um die dritten Theil eines Comma ab, welches dem Unterschiede des größern und kleinern Tons (8/9 : 9/10 = 80/81) gleich ist, und für die größte dem Gehör erträgliche Abweichung von der Reinigkeit angenommen wird. Gleichwohl haben die Tonkünstler bey der gleichschwebenden Temperatur diese große Schwierigkeit gefunden, daß die Stimmung nicht anders, als nach einem genau eingetheilten Monochord möglich ist; überdem haben sie auch dieß als ein Nachtheil angeführt, daß in der gleichschwebenden Temperatur alle Grundtöne einander völlig gleich werden, wodurch die schätzbaren Vortheile verloren giengen, welche man sonst aus der Mannichfaltigkeit des Charakters der Tonleitern von verschiedenen Grundtönen ziehe, und welche kein Tonsetzer von Gefühl gern aufopfern werde.”
- 34.
Sir James Jeans, Science and Music (Cambridge: Cambridge University Press, 1937).
- 35.
Sir James Jeans, Science and Music, 185.
- 36.
Smith, Harmonics, 167.
- 37.
Smith, Harmonics, 124–25.
- 38.
Approximately the tempered third is higher than the true by the interval 126:125. See Baron John William Strutt Rayleigh, The Theory of Sound. 2nd ed., revised and enlarged, vol. 1 (London: Macmillan, 1926), 11.
- 39.
Auguste Langel, De stem, het oor en de muziek (Gouda: G. B. van Goor Zonen, n.d.), 146.
- 40.
Hermann von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, 4th rev. ed. (Braunschweig 1877), 527. “Der Sänger, welcher sich an einem temperirten Instrumente einübt, hat gar kein Princip, nach welchem er die Tonhöhe seiner Stimme sicher und genauer abmessen könnte.”
- 41.
Alexander Wood, The Physics of Music, 4th ed. (London: Methuen, 1947), 194. The remark is based on Helmholtz’s own report: Helmholtz, Lehre von den Tonempfindungen, 666.
- 42.
Kayserling, Moses Mendelssohn, 77; 2nd ed. 64–65. “Ohne ein Instrument im eigentlichen Sinne des Wortes spielen, oder die Töne im Singen treffen zu können, war er im Stande, alle Verhältnisse in der Musik, die Versetzungen der Accorde, die verschiedenen Combinationen der Töne u.s.w. leicht auszurechnen.”
Bibliography
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Cavallo, Tiberius. The elements of natural or experimental philosophy. Vol. 2. London, 1803.
Cavallo, Tiberius. “Of the temperament of those musical instruments, in which the tones, keys, or frets, are fixed, as in the harpsichord, organ, guitar, &c.” Phil. Trans. R. Soc. Lond. 78 (January 1788): 238–54.
Conti, Alberto. “Aufgaben dritten Grades: Verdoppelung des Würfels, Dreiteilung des Winkels.” In Federigo Enriques, Fragen der Elementargeometrie: Die geometrischen Aufgaben; Ihre Lösung und Lösbarkeit, translated and edited by Hermann Fleischer, 189–266. Leipzig: B. G. Teubner, 1907. Originally published as “Problemi di 3.o grado: Duplicazione del cubo – Trisezione dell’ angolo.” In Questioni riguardanti la geometria elementare, raccolte e coordinate da Federigo Enriques, 415–70 (Bologna: Ditta Nicola Zanichelli, 1900).
Dijksterhuis, E. J. Simon Stevin. The Hague: Martinus Nijhoff, 1943.
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Kayserling, Meyer. Moses Mendelssohn: Sein Leben und seine Werke. Nebst einem Anhange ungedruckter Briefe von und an Moses Mendelssohn. Leipzig, 1862. 2nd ed., revised and enlarged. Leipzig, 1888. Page references are to the first edition, unless otherwise stated.
Langel, Auguste. De stem, het oor en de muziek. Gouda: G. B. van Goor Zonen, n.d. Originally published Paris, 1867, as La Voix, l’Oreille et la Musique.
Lindley, Mark. “Stimmung und Temperatur.” In Hören, Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit, edited by Carl Dahlhaus et al., 6:109–331. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1987.
Mendelssohn, Moses. Gesammelte Schriften. Jubiläumsausgabe. Berlin: Akademie-Verlag, 1929–; Stuttgart/Bad Cannstatt: Frommann-Holzboog, 1971–.
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Rayleigh, Baron John William Strutt. The Theory of Sound. 2nd ed., revised and enlarged. Vol. 1. London: Macmillan, 1926.
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Smith, Robert. Harmonics; or, The Philosophy of Musical Sounds. Cambridge, 1749. 2nd ed., much improved and augmented. London, 1759. Page references are to the 2nd ed.
Sturm, Johann Christoph. Mathesis iuvenilis, das ist: Anleitung vor die Jugend zur Mathesin, der erste Theil. Nürnberg, 1714.
Swinden, J. H. van. Grondbeginsels der meetkunde. Amsterdam, 1790.
Thomas, Ivor, ed. Selections Illustrating the History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. Repr. ed. Vol. 1. London: William Heinemann; Cambridge, MA: Harvard University Press, 1951.
Valerius, Adrianus. Nederlandtsche Gedenckklank. Haarlem, 1616.
Wood, Alexander. The Physics of Music. 4th ed. London: Methuen, 1947.
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Visser, H. (2011). Mendelssohn’s Euclidean Treatise on Equal Temperament. In: Munk, R. (eds) Moses Mendelssohn's Metaphysics and Aesthetics. Studies in German Idealism, vol 13. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-2451-8_5
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