Diffusione

Riassunto

L’equazione di diffusione o del calore per una funzione u = u (x, t), x variabile reale spaziale, t variabile temporale, ha la forma

$$ {u_t} - D{u_{xx}} = f $$

((2.1))

dove D è una costante positiva che prende il nome di coefficiente di diffusione. In dimensione spaziale n > 1, cioè quando x ∈ ℝⁿ, l’equazione di diffusione è

$$ {u_t} - D\Delta u = f $$

((2.2))

dove Δ indica l’operatore di Laplace:

$$ \Delta = \sum\limits_{k = 1}^n {{\partial _{{x_k}{x_k}}}} . $$

La denominazione “equazione di diffusione o del calore” è dovuta al fatto che essa è soddisfatta dalla temperatura in un mezzo omogeneo e isotropo rispetto alla propagazione del calore; f rappresenta l’ “intensità” di una sorgente esogena di calore, distribuita nel mezzo. D’altra parte, le (2.1), (2.2) costituiscono modelli di diffusione molto più generali, dove per diffusione si intende, per esempio, il trasporto di materia dovuto al moto molecolare del mezzo in cui essa è immersa. In tal caso, la soluzione u potrebbe rappresentare la concentrazione di un soluto o di un inquinante oppure anche una densità di probabilità. In ultima analisi si potrebbe dire che l’equazione sintetizza e unifica sotto una scala macroscopica una molteplicità di fenomeni assai differenti tra loro se osservati in scala microscopica.