Sistemi lineari

Riassunto

Un sistema lineare è un insieme di m equazioni algebriche lineari in n incognite x _j , ovvero

$$ \sum\limits_{j = 1}^n {a_{ij} x_j = b_i ,\quad i = 1, \ldots ,m} , $$

ove a _ij e b_i sono coefficienti dati. In forma compatta, si scrive

$$ Ax = b, $$

(3.1)

ove A ∈ ℝ^{m× n} è la matrice dei coefficienti a _ij , b ∈ ℝ^m il vettore dei coefficienti b _i , e x ℝⁿ il vettore delle incognite x _j . In generale, (3.1) ammette un’unica soluzione se e solo se m = n (sistemi quadrati) ed inoltre la matrice A è non singolare (o equivalentemente a rango massimo rank(A) = n, o con nucleo banale ker(A)={0}, si vedano i richiami di algebra lineare del Capitolo 2). Sistemi sovradeterminati (m > n) non ammettono in generale soluzione, se non nel senso generalizzato dei minimi quadrati: in tal caso, si cerca x ∈ ℝⁿ tale che

$$ \left\| {Ax - b} \right\|_2^2 = \mathop {\min }\limits_{y \in \mathbb{R}^n } \left\| {Ay - b} \right\|_2^2 . $$

(3.2)

Tutte e sole le soluzioni di (3.2) soddisfano le equazioni normali

$$ A^T Ax = A^T b, $$

che, se A ha rango massimo rank(A)= n, costituiscono un sistema lineare quadrato (n × n) e non singolare. Tuttavia, avremo modo di osservare (Laboratorio 3.5) che risolvere le equazioni normali non è la strategia numericamente più efficace per affrontare il Problema (3.2).