Probabilità condizionata

Abstract

In uno spazio di probabilità $({\Omega},\mathcal{F},P)$, siano $X$ una variabile aleatoria e $\mathcal{G}$ una sotto-${\sigma}$-algebra di $\mathcal{F}$. In questo capitolo introduciamo i concetti di distribuzione e attesa di $X$ condizionate a $\mathcal{G}$. Ricordando che una ${\sigma}$-algebra può essere interpretata come un insieme di ‘‘informazioni’’, l’attesa di $X$ condizionata a $\mathcal{G}$ rappresenta la miglior stima del valore aleatorio $X$ in base alle informazioni contenute in $\mathcal{G}$. Tanto più $\mathcal{G}$ è grande, tanto migliore e più dettagliata è la stima di $X$ data dall’attesa condizionata: quest’ultima, dal punto di vista matematico, è definita come una variabile aleatoria che gode di determinate proprietà. I concetti di attesa e distribuzione condizionata sono alla base della teoria dei processi stocastici e di tutte le applicazioni della teoria della probabilità in cui si vuole modellizzare un fenomeno aleatorio che evolve nel tempo: in tal caso è necessario descrivere non solo l’evoluzione del valore aleatorio $X$ ma anche quella delle informazioni che, col passare del tempo, diventano disponibili e permettono di stimare $X$.

We have not succeeded in answering all our problems – indeed we sometimes feel we have not completely answered any of them. The answers we have found have only served to raise a whole set of new questions. In some ways we feel that we are as confused as ever, but we think we are confused on a higher level, and about more important things.

Earl C. Kelley