Astratto
La nozione di cardinale in \(\mathit{ZF}\). Chiusura dell’insieme degli ordinali numerabili rispetto alle operazioni ordinali. Il cardinale di un insieme (sotto l’assioma di scelta) e l’aritmetica cardinale (sotto l’assioma di scelta).
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- 1.
Nella dimostrazione di quest’ultimo risultato, sfruttiamo l’assioma di rimpiazzamento.
- 2.
Si osservi che, per \(i\in I\), vale \(a_{i}=\emptyset \) sse \(b_{i}=\emptyset \), ed in tal caso \(B_{i}=\{ \emptyset \}\).
- 3.
Si definisca precisamente, in esercizio, tale funzione di dominio \(I\), che associa ad \(i\in I\) l’insieme non vuoto \(B_{i}\).
- 4.
Il lettore avrà intuito che, dal nostro punto di vista, si tratta addirittura di uno dei principali ingredienti che hanno portato alla nascita della teoria degli insiemi.
- 5.
Invitiamo il lettore ad esplicitare tale variante della formula \(A(x,y,z)\) dell’Osservazione 127.
- 6.
Il lettore è invitato a giustificare con precisione la non esistenza di modelli finiti (in senso intuitivo) della teoria degli insiemi.
- 7.
Il supporto di \(\mathcal{U}_{ \mathbb{N}}\) è un insieme (in senso intuitivo).
- 8.
Si noti che, ovviamente, una corrispondenza biunivoca (nel senso della teoria degli insiemi) è anche una corrispondenza biunivoca in senso intuitivo; è solo il viceversa che non sempre vale.
- 9.
Si dice spesso, in tal caso, che \(f\) è crescente (anche se non necessariamente strettamente crescente).
- 10.
Il lettore è invitato a farlo in esercizio: bisogna innanzi tutto dare un senso preciso, internamente alla teoria degli insiemi (con le operazioni di somma e prodotto tra ordinali finiti), alla funzione \(\alpha _{2}\) introdotta nella dimostrazione della Proposizione 6.
- 11.
In esercizio, il lettore potrà dimostrare direttamente che \(\omega \sim \omega +\omega \), cioè che esiste una funzione iniettiva da \(\omega +\omega \) in \(\omega \), senza passare da \(\omega \times \omega \).
- 12.
In particolare, se \(a\subseteq b\), e \(b\) è numerabile, allora tale è anche \(a\).
- 13.
Il lettore è invitato a giustificare con precisione questa affermazione.
- 14.
Si veda l’Osservazione 223 per maggiori dettagli sulle funzioni \(\alpha _{\gamma }\). Si noti, in particolare, che, almeno formalmente, \(\alpha _{2}\neq \alpha _{\underline{2}}\).
- 15.
La funzione \(\alpha _{\underline{0}}\) ha come dominio \(\underline{\omega ^{\underline{0}}}=\{\emptyset \}\), ricordando l’Osservazione 128.
- 16.
Il lettore è invitato, in esercizio, a seguire questa strada.
- 17.
A scanso di qualunque equivoco, si osservi che non vi sarebbe alcun reale vantaggio tecnico nell’usare il Teorema 32 invece del Teorema 33, visto che il risultato che vogliamo stabilire (la Proposizione 117) sfrutta comunque l’assioma di rimpiazzamento, necessario per dimostrare il teorema di forma normale di Cantor, da noi sfruttato sotto forma del Lemma 9.3.
- 18.
Si osservi che, ovviamente, può accadere che sia \(\beta \geqslant \omega \), ed è questo il caso più interessante.
- 19.
Invitiamo il lettore a ricostruire la dimostrazione di questa affermazione.
- 20.
Diremo che l’insieme \(a\) si inietta nell’insieme \(b\) quando esiste una funzione iniettiva di dominio \(a\) e codominio \(b\).
- 21.
Si noti che non stiamo qui parlando solo di \(\langle a,\in \rangle \) con \(a\subseteq \alpha \), bensì di tutti gli insiemi bene ordinati \(\langle a,r\rangle \) con \(r\subseteq a\times a\) e \(a\subseteq \alpha \).
- 22.
L’enunciato è interessante per i sottoinsiemi non finiti di \(\mathcal{P}( \omega )\); per quelli finiti è banalmente vero.
- 23.
Si noti peraltro che la Congettura 1 non necessita, per essere formulata, la presenza dell’assioma di scelta.
- 24.
- 25.
Anche in questo paragrafo menzioneremo esplicitamente quando faremo uso dell’assioma di scelta.
- 26.
La formula \(\mathit{Cn}(x)\) esprime dunque il fatto che \(x\) è un cardinale.
- 27.
Si noti, in particolare, che non è necessario l’assioma di scelta per definire il cardinale di un ordinale.
- 28.
Si noti che \(\langle \mathit{card}(\alpha ),r_{f}\rangle \) “non è più” l’ordinale \(\mathit{card}(\alpha )\) ma semplicemente l’insieme \(\mathit{card}(\alpha )\) che è stato bene ordinato secondo il buon ordine dell’ordinale \(\alpha \), così come è stato trasmesso dalla corrispondenza biunivoca \(f\).
- 29.
Con la notazione \(\mathcal{P}(\lambda ^{2})\) s’intende l’insieme potenza del prodotto cartesiano di \(\lambda \) con sé stesso (e non l’insieme potenza del prodotto ordinale di \(\lambda \) con sé stesso).
- 30.
Qui \(\omega +\omega \) denota la somma ordinale di \(\omega \) con sé stesso: per l’Osservazione 212, non può essere \(\mathit{card}( \omega +\omega )<\omega \) in quanto \(\omega +\omega \) è un ordinale infinito.
- 31.
Si noti che la Proposizione 119, cioè il fatto che \(\bigcup_{\beta \in \lambda }\aleph _{\beta }\) sia un cardinale, non viene sfruttata.
- 32.
Di conseguenza, \(\aleph _{\alpha +1}\) è il primo ordinale che non si inietta in \(\aleph _{\alpha }\).
- 33.
Dimostrare l’uguaglianza di due ordinali, invece, equivale a dimostrare che, come buoni ordini, sono tra loro isomorfi (Proposizione 81).
- 34.
Se \(\mathit{On}\) fosse un insieme, scriveremmo \(\mathit{On}^{2}\) invece di \(2\mathit{On}\); ma non è il caso, ed abbiamo scelto questa notazione per sottolineare questo aspetto.
- 35.
Si noti che, se avessimo definito l’ordine su \(2\mathit{On}\) come l’ordine lessicografico (senza cioè introdurre la condizione sul sup), non sarebbe stato possibile definire \(S_{\xi }(A)\) per isolamento in questo modo, in quanto “sotto” una coppia \(\langle \alpha +1,\beta \rangle \) ci sarebbero state tutte le coppie \(\langle \alpha ,\gamma \rangle \) dove \(\gamma \) è un qualsiasi ordinale.
- 36.
Il lettore è invitato a giustificare con precisione il fatto che \(2\mathit{On}\) non è un insieme.
- 37.
S’intende, sia nel Punto (i) che nel Punto (ii), che le operazioni infinite (rispettivamente di somma e prodotto) si applicano alla famiglia \((k_{i})_{i\in \lambda }\), dove \(k_{i}=k\), per ogni \(i\in \lambda \).
- 38.
Stiamo dunque implicitamente sfruttando la Proposizione 119.
- 39.
Poiché \(k_{i}\) e \(k'_{i}\) sono ordinali, per ogni \(i\in I\), la formula \(k_{i}\leqslant k'_{i}\) equivale alla formula \(k_{i}\subseteq k'_{i}\).
- 40.
Per definizione degli insiemi \(pr(P_{i})\), se \(\varphi \in P_{i}\), allora \(\varphi (i)\in pr(P_{i})\).
- 41.
Si rammenti che, per la Proposizione 119, \(F(\bigcup_{\delta \in \gamma }\delta )\) è un cardinale.
- 42.
In caso contrario, cioè se in \(\mathcal{U}\) tutti i cardinali sono accessibili, è proprio \(\mathcal{U}\) a soddisfare \(\mathit{ZF}+\mathit{AS}+\neg \mathit{CI}\).
- 43.
Riferimenti bibliografici
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Dehornoy, P.: La théorie des ensembles. Introduction à une théorie de l’infini et des grands cardinaux. Calvage et Mounet, Paris (2017)
Jech, T.J.: The Axiom of Choice. North-Holland, Amsterdam (1973)
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Tarski, A.: Sur quelques théorèmes qui équivalent à l’axiome du choix. Fundam. Math. 5(1), 147–154 (1924). http://eudml.org/doc/213923
Zellini, P.: Breve storia dell’infinito, settima edizione. Adelphi, Milano (2006)
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Abrusci, V.M., Tortora de Falco, L. (2018). I cardinali. In: Logica . UNITEXT(), vol 111. Springer, Milano. https://doi.org/10.1007/978-88-470-3968-1_9
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